重庆市某中学2024届高考适应性月考卷（三）数学试卷及答案

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(三)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.已知集合A={x|x=4k,kGZ|,B={x|x=4m+l,m£Z},C=|x|x=4n+2,nGZ|,D={x|x=4t+3,tlZ},若aGB,bCC,

则下列说法正确的是

A.a+b£AB.a+b^BC.a+b£CD.a+bGD

2.己知a-be[5,27],a+bG[6,30],则7a-5b的取值范围是

A.[-24,192]B.[-24,252]C.[36,252]D.[36,192]

3.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a力1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+x11的图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.己知非零向量石，b的夹角为2兀/3,且满足(值+司则向量在向量b方向上的投影向量为

A.一；bB《bC.-^bD.-，b

4222

5.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点M在C上，直线1：2x・y+6=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，若aAMB

面积的最小值为，拳则p=

A.44B.4C.4或44D.1或4

6.把二项式(返+3)8的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为p,有理项两两不相邻的概率为

q，贝ijR=

q

A.5B，7C.4D，7

54

7.已知等差数列园的前n项和为S”,对任意的neN,均有SsWSn成立，则型的值的取值范围是

«6

A.(3,+oo)B.[3,+00)

C.(-co,-3)U[3,+oo)D.(-00,-3]U[3,+oo)

8.已知函数f(x)的定义域为(0,+8),导函数为f(x),不等式(x+l)[2f(x)+xf⑼,xf(x)恒成立，且K6)=看,则不

等式f(x+4)〈自提的解集为

(x+铲

第1页共4页

A.(-00,4)B.(0,2)

C.(-4,2)D.(-4,4)

二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求

的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.分别经过以下选项中的图象变换之后，能得到函数y=sin(3x-£)的图象的是

A.先将y=cosx的图象上各点的横坐标缩小为原来的士再将图象关于x轴翻折

B.先将产sinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的：，再向右平移《个单位长度

C.先将y=sinx的图象向右平移看个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的g

D.先将y=cosx的图象向左平移兀个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的g

10.已知向量m=(2《),H=@4),其中a>0,b>0,则下列说法正确的是

A.若n可以作为平面向量的一组基底，则log2ab#-3

mn

B.若记1-则22a+b=1

C.若a+b=l,则记有最小值6+4V2

D.若|m|=|n|>4vx则；e(1-y)

11.已知定义在R上的函数f(x)=xsinx-入cosx(X>-l),记f(x)在[-kmk?t](kGN.)上的极值点为XL，…,Xn(x1<

x2<•••<Xn)共n个，则下列说法正确的是

A.n=2(k+l)

BM+I=0

C.当k=l时,对任意X>-1,XI,X2,,Xn均为等差数列

D.当k=2时，存在使得Xi,X2,…,Xn为等差数列

12.已知函数f(x)=a冈-|]oga|x||(a)0)且a/l),则下列说法正确的是

A.若函数y=f(x)有4个零点,则0<a<l

B.当0<a<l时，函数产f(x)有4个零点

C.若函数尸f(x)有2个零点,则a>l

D.当a>l时，函数尸f(x)有2个零点

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

2

13.已知在等比数列|an|中，az,ai。是方程x-13x+14=0的两个实数根，则a6=.

14.已知Fi(0,-c),Fz(0,c)是双曲线E:£-今=l(a〉0,b>0)的下、上焦点，直线y=x+c与x轴交于A点，与双

曲线的渐近线在第三象限内交于B点，且相+而=2币，则双曲线的渐近线方程为.

第2页共4页

15.已知函数f(x)满足：①f(x)的图象过点(吟；②f(x)是偶函数；③对任意的非零实数Xi，X2，f(xD=

f(X2),Xi，X2,喧)=f(X2),请写出一个满足上述条件的函数f(x)=.

16.在三角函数部分，我们研究过二倍角公式cos2x=2cos，-l,我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根

据你的研究结果解决如下问题：在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AW，cosC+

4cos3A-3cosA=0,则4tanA+氤曷的取值范围是----.

四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

2023年9月23日，第19届亚洲运动会在杭州正式开幕.这是1990年第11届北京亚运会、2010年第16

届广州亚运会之后，中国第三次主办亚运盛会，也进一步激发了中国全民参与体育活动的热情.为调查

学生对亚运会相关知识的了解情况，某中学进行了亚运会知识问答测试，将得分在70分及以上的学生

称为“亚运迷”.现将该学校参与知识问答活动的学生的得分(满分100分)进行了统计，得到如下的频

分布列和数学期望E©).

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=V13cosa)x-cos(3x—)—sin2a)x(a))0),e(0g)且tan=2V3,

f(x)的最小正周期为兀

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数y=f(x)在区间信时上的值域.

19.(本小题满分12分)

已知数列｛an｝满足an+i=a„+k,neN+,keR.

(1)若a,=l且数列(加｝是递增数列，求实数k的取值范围；

(2)若a尸3且k=0,求数列｛aQ的通项公式.

20.(本小题满分12分)

第3页共4页

已知4ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2asinB=V3b,AC-AB=|AB|2.

(1)若b=2,求△ABC的面积；

(2)若D为AABC所在平面内一点，且D与B不在直线AC的同一侧,CD=3AD=6,求四边形ABCD面积

的最大值.

21.(本小题满分12分)

已知椭圆C：5+/=l(a)b>0)的上、下顶点分别为A,B,左顶点为D,4ABD是面积为次的正三角

形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆外一点M(m,0)的直线交椭圆于P,Q两点，已知点P与点P关于x轴对称，直线PQ与x轴

交于点K；若NAKB是钝角，求m的取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=率,g(x)=acosx.

(1)求证:x6(0?时,

(2)当xC(-方。)U(0,9时,f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当xe(-驯U第)时，［f(x)卢g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

第4页共4页

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（三）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案DDDABABC

【解析】

1.由题意设。=4m+1,2=4〃+2,其中加，〃都是整数，则〃+。=4（m+〃）+3,其中加+〃是

整数，可以是奇数也可以是偶数，故〃+故选D.

I/H+/7=7,=6,

2.]§：la-5h=m(a-h)+n(a+h)=(m+n)a-(m-n)hf所以《解得＜1所以

[m-n=jy[n=1,

7a-5b=6(a-b)+(a+b)；又〃一。w[5,27J,a+be[6930],所以

7。-5/?=6(。-6)+(。+/?)£[36,192],故选D.

3.•・%°=1,，/(力二，"一2且awL恒过定点(1，一1)，w=Ln=-\,/.^(x)=l+—,其图

x

象不经过第四象限，故选D.

4.因为(4+B)_l_4,所以(4+石)・4=4~+4・6=0，，1。|2-21。11石1=。，1。1=2出1，所以Q在

一

分方向上的投影向量为丁a后•b北二一：1〃-*，故选A.

\b\-\b\4

5.不妨设4-3,0）,8（0,6）,由|叫=3后，区枷）向„=y>知（九./濡=逐.设

P=4,故选B.

6.=C；・X4F,其中0WrW8,reN,当厂=0,2,4,6,8时为有理项,

故有5项有理项，4项无理项，故?=士"，4=士公，故2=冬冬=5,故选A.

A9A9qA4•A5

7.由题意知S5是等差数列｛4｝的前〃项和中的最小值，必有4<0,公差d>0,若％=0,

数学参考答案♦第1页（共10页）

此时邑=$5，S4,S5是等差数列｛4｝的前〃项和中的最小值，此时％=q+4d=0,即

%a.+7d3d.

q=-4d,则』=七77=7=3;若％<。，4>0,此时55是等差数列｛《,｝的前〃项和

。6十CL

中的最小值，此时％=4+4"<0,«6=«,+5J>0,即一5<3<-4,则

a

色+7a

❷=幺12=/一=1+—2—e(3,+00),综合可得：”的取值范围是[3,+00),故选B.

4q+5d色+5a+5%

dd

8.由(x+l)[2/(x)+矿(x)]>V(x),可得2xf(x)+x2/(x)>^^,即(/〃x))'>,

x+lx+\

令gM=x2f(x),则0>乌-g'(x)=8印二S'(?OD.令G(%)=^，

x+1x+1x+1

。(幻=(铝)=以岑芥也>0,所以G(x)在(0,+8)上是单调递增.不等式

f(x+4)<"，等价于空空外3<3,即G(x+4)=要必<3,

(x+4)x+5x+5

6(6)=幽=亚当=3,所求不等式即G(x+4)<G(6).由于G(x)在(0,+8)上是单调递

77

增函数，所以x+4<6,解得x<2,且x+4>0,即x>-4,故不等式的解集为(-4,2),

故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号9101112

答案ABDACDBCBC

【解析】

9.函数y=sin(3x-W)=-cos3x,A选项，将y=cosx的图象上各点的横坐标缩小为原来的;

得丫=8§3%，再将图象关于x轴翻折得到y=-cos3x的图象；B选项，将丫=§山工的图象

上各点的横坐标缩小为原来的,，得旷=$出3]，再向右平移四个单位长度得

36

y=sin31-己)=5由(3无-3的图象；C选项，将y=sinx的图象向右平移己个单位长度

数学参考答案♦第2页(共10页)

得…小-"的图象，再将各点的横坐标缩小为原来的g得）ysin,-：）的图象；D

选项，将丁=85工的图象左平移兀个单位长度得y=-cos%,再将各点的横坐标缩小为原来

的;得了=一8$31的图象，故选ABD.

10.Vw=^2,〃=]54）,・,•根•〃=.对A：若小〃可以作为平面向量的一组基

底，则m,n不平行，故—X：-2x4w0,故log,abw-3,故A正确；对B：若"z〃，

ab8

一一424Z?+2cl

则”・〃=一+=——=0,故〃+26=0,2〃+b的值不确定，故B错误；对C：若

abab

a+h=l,则而.3=3+g=(a+力(±+^]=6+竺+学》6+2、^^=6+4及,当且

ao\aoja

a=2-41

仅当<丁=石=＜l时取等号，故C正确；对D：由|相|二|川〉472,知

b=y/2-]

«+/?=1

4+与=\+16>32,故士-《=12旦/>16,故弓=牛=^^=1+早w(l,

a~h~a~h~b~a~JLX14J

b2b2b2

b(s、

故一£1，-r~,故D正确，故选ACD.

aI2)

11./F(x)=(2+l)sinx+xcosx,令f,(x)=0,则(/l+l)sinx=-xcosx,当cosx=0时，

sinx=±l,则(/l+l)sinx=-xcosx无解，此时f(x)无极值点；当cosx^O时，

tanx=--J—x(2>-l),数形结合知：y=tanx与y=--^--x(2>-l)在

2+1A+l

xe[-E,也]伏£此)上有〃=2k+l个交点，对应f(x)在[-E,E](Z£N,)上的极值点为

4*…，工2川（王＜马＜一・＜工21），且玉+工21=%+工2£=演=.•♦=%+/+2=°，

%—1=0,故A错误，B正确；当k=l时，〃=3,并且玉+演=2%2=0，故王，孙玉为等

差数列，C正确；当攵=2时，n=5,并且％+匕=/+/=2%3=0,

%E1—2兀,一:兀）,*2€（一兀,一3兀]，故要使百，和…，*5为等差数列，只需X|,x2f工3（二°）

为等差数列，即等价于芯=2々成立即可，故

数学参考答案♦第3页（共10页）

tan%=--------Xj=tan2x2=---------x2)

'+1ntan2/=2tan々，由二倍角公式：

tanx,=--------x.

~2+1

C2tanx,-故一兀，兀）时无解，故当人时，不存

tan2占=-----=2tanx,,Ian%=0=/-g=2

-

"l-tanx2

在4〉-1使得“孙…，/为等差数列，D错误，故选BC.

12.令/*）=/"—|log.|冗||=0,贝ij/=|iog,|刈，y=d*与y=|log“l尤II都是偶函数，故考虑

%>0时:y=d*与y=|log.|x||=|log.x|的图象的交点；当0<。<1时，作出函数

y=优，y=|log.x|的图象易得：函数y=",y=|log〃x|的图象有两个交点，所以当

x

0<。<1时，函数/（九）=a-1logf/X|的零点个数为2；当。>1时，作出函数

y=",y=|logMl的图象，此时两个函数图象的交点个数取决于方程优=logax的解的个

数，y="与y=log.x的函数图象关于丁=1对称，故临界情况是y=相与y=k）gaX都与

a=x,X=

>=x相切，此时有（a=xx=>xlnxv=Inx=1=>故当x>0时:

[axIna=1

时，函数y=〃'，y=|log.x|的图象有3个交点，〃时，函数y=yHlogrtx|

的图象有2个交点，时，函数y=，，y=|log〃x|的图象有1个交点.综上所述：

时，函数y=/（x）的图象有2个零点；0<。<1或〃=£时，函数y=/（x）的图象

有4个零点；1<4〈蔡时，函数y=/（x）的图象有6个零点，故选BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

.1

答案Vl4y=±-xlogjxl（答案不唯一）

2生）

【解析】

2

13.・・・。2，%是方程X-13X+14=0的两个实数根，Aa2+a10=13,a2aI0=14,故

a2>0,«10>0,根据等比数列的性质有：a；=%4o=14且〃（）=4•/>。，故4=济1

数学参考答案♦第4页（共10页）

14.直线y=x+c,过上焦点5（0,c）且倾斜角为:，由而+即=2彳知A是8鸟的中点,

由玛（0,c）,A（-c,0）,得8（-2c,-c）,故双曲线的渐近线方程为y=±gx.

、

三

15.对数函数符合了=;10-，结合/（x）是偶函数：可令/（x）=iog"xi,代入点

&I],解得。=4,故/(x)=log/x|.

16.三倍角公式：cos3A=cos(2A+A)=cos2AcosA-sin2AsinA=(2cos2A-l)cosA-

2(1-cos24)cosA=4cos3A-3cosA,故cosC+cos3A=0=cosC=-cos3A=

八4兀

0<A<一,

2

COS(TT-3A)=C=兀-3A=>8=2A,AABC为锐角三角形，故-0<2A<-,解得

2

0<7i-3A<-,

2

兀4兀」J6,A1"A1（7出

-<A<-,ift—<tanA<1,4tanA+——~~-=4tanA+——-。

643tan(B-A)tanA

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（I）由频率分布直方图可知：分数低于70分的学生所占比例为40%,分数低于80

分的学生的所占比例为70%,

所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数在［70,80）

内.（2分）

由70+10x。5°一°4)=2*73.3,

0.70-0.403

所以该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数约为73.3分.

（5分）

（2）根据按比例的分层抽样：抽取的“亚运迷”学生3人，“非亚运迷”学生2人,

自的所有可能取值分别为0,1,2,（6分）

12

P《=0)=WC0='1,P(^=l)=^c'Cl=_3,尸C=2)=WC=±3,

Cj10C；5C；10

（9分）

数学参考答案♦第5页（共10页）

所以€的分布列为:

012

133

P

io5io

所以数学期望E(9=0xA+lx|+2x4=g..................................(10分)

18.(本小题满分12分)

2］

解：(1)由tan(p—2^3,知sin9=y.—>coscp='■,——=',

V13V13

.........................................................................(1分)

故fM=coscox•(COSGX+2V3sincox)-sin2cox=cos2tyx-sin2cox+6sin2cox

=V5sin2ox+cos2ox=2—sin2ft>x+'cos2sl=2sinf2cox+工］,

22I6；

.........................................................................（4分）

2兀

所以T=卢=兀，解得。=1,

2（0

所以/U)=2sinf2x+^J.

（5分）

兀7T兀兀

(2)由工£不，(P，得+,2(p+—

12636

n(5n7兀）

20+一w—，~6）

616

ITITJT7T

y=2sinx在xw丁彳上单调递增，在xw彳，20+工上单调递

_32J\_26_

减，......................................................................(7分)

2sin—=V3,2sin—=2,2sinf2^+—=V3sin2(p+cos2(p=4?>._2lan"+1_‘an§

32I6)l+tan>l+tan2^?

,.......................................................................(11分)

兀］「1

所以函数y=/(x)在区间-><P上的值域为->2.

.......................................................................(12分)

数学参考答案•第6页（共10页）

19.（本小题满分12分）

解：（1）由““+1>4”，知=4；+k=1+%>4=[,故上>0.

..............................................................................................................................（2分）

当&>。时，显然。”>0,且“।-4=片-“3=（4+%）4-4,1），

故4+1-与4,一见-I同号，故对一切"eN+都有an+i>a„.

综上所述：实数k的取值范围是（0,+8）.................................................................（5分）

（2）若q=3且k=0,则a“+|=a；.

由4=3>0,知>0,

两边取对数：Ina,*]=Ina：=2Ina“，且ln〃1=ln3,................................................（8分）

故lna“=ln3・2j故4==32”'，

2

故数列｛4｝的通项公式为a,=3'"'（«eN+）.............................................................（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（1）在△ABC中，由2asin3=&

可得：2sinAsinB=V5sin8,而sin8>0,

所以sinA=且，即4=殳或A=@.

233

由尼•丽=|而『，知8=^，

7T71

故A=f,C=[..........................................................................................................（3分）

36

由人=2,知c=1,a=下h

故△ABC的面积为S“BC=；acsin8=g.............................................................（5分）

（2）在440）中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos£>=40-24cosD,

..............................................................................................................................（7分）

I

故ARCDAARC

SnD\-U=S+S4_^1/A1VcLzn~—8AC~H—2x2x6xsinD=5>/3—3A/3COSD+6sinD

=5V3+3V7sin（D-^）,

其中sin*=-cosp=^y^,...............................................................................（11分）

jr

所以，当。=]+e时，5.8°取得最大值56+377..............................................（12分）

数学参考答案♦第7页（共10页）

口

21.（本小题满分12分）

a-y/3ba=氏,

解：（1）由已知得9厂n,

^AABD=ab=<3[b=L

....................................................................（2分）

所以椭圆C的标准方程为友+丁=1........................................（4分）

工+丫2=1,

（2）设直线P'Q的方程为x=（y+”（fX。），联立方程3-

x=ty+n,

得：（/+3）y2+2tny+（n2-3）=0.

2tn

设p,a，%），。（“必），则由韦达定理：2。

n-3

”二K

....................................................................（6分）

由点P与点P关于亢轴对称知P（X，-凹），

由M,P，。三点共线知=即口一=3^,即一—=丁』一，

x2-mx,-mty2+n-mtyt+n-m

故一aM-（«-m）y2=ty[y2+（n-m）yt,即2tyfy2+（n-ni）｛yx+j2）=0.

....................................................................（8分）

/。、士斗士询~n2-3.、2tn2tnm-Gt2t（nm-3）

代入韦达定理：2/•-~~-=-~—='，/=n0,

t2+3t2+3t2+3/+3

3

由rwO,知”=一,

m

故直线尸@与x轴交于定点。1.....................................（10分）

2

由0）在椭圆C：方~+丁2=1外，得：加£（一8，-百）U（G，+00）,

由/AKB是钝角，知IOK|<|0A|=b=1（0为坐标原点），

3

即一£（0,1）,解得/ww（-00,-3）U（3,+8）,

m

综上所述：加的取值范围是（ro,-3）U（3,+8）.

（12分）

数学参考答案♦第8页（共10页）

口

22.(本小题满分12分)

(1)证明：xw(0,鼻时，求证/(x)<l等价于求证sinxvx.

令夕(x)=sin%-x,则。'(x)=cosx-1W0,故p(x)在(0,上单调递减，

故p(x)<9(0)=0,不等式成立............................................(2分)

“、e人~、”、/、sinx-^Jtcosx

(2)解：令/(工)=/(1)一g(x)=------------------.

x

因为F(-x)=F(x)