2023年北京顺义区高三一模数学试题及答案

顺义区2023届高三第二次统练

数学试卷

考1.本试卷共5页，共两部分,21道小题，满分150分.考试时间120分钟。

生2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育1D号。

须3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。

知4.在答题k上，选择题用2B铅笔作答,其它试题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

⑴已知集合4=,8=i*IO<%W3］，则4U8=

(A)/l-2<x这3}(B)>.tl0<x<2；-(C){xl-2<r^01(D)jxl2<x<3|

(2)若圆(a1)2+y=4与)轴交于丸R两点，则=

(A)2(B)4(C)2次(D)24

(3)下列函数中，既是假函数又在区间(0,+8)上单调递增的是

(A)y=cosx(B)y=elxl(C)y=Igx(D)y=—

y

(4)已知抛物线r=2px(p>0)的准线过双曲线不-/=1的一个焦点，则p=

(A)l(B)2(C)4(D)8

(5)已知函数/(x)=log2(4+1)-x,则不等式/(x)>0的解集是

(A)(l,+co)(B)(0,+oo)(C)(0,l)(D)(-l,0)U(l,+oc)

(6)如图,在矩形中"8=3,40=1,点P为CD的中点,

则方•DB+AP•DB=

3

(A)0(B)-

(C)731(1))273

高二数学试卷第1页(共5页)

(7)在正方体中，点M,N分别是棱DDl

和线段Be、上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN

(A)有且仅有1条

(B)有且仅有2条

(C)有且仅有3条

(D)有无数条

(8)在平面直角坐标系."))中，角。与角3均以Ox为始边,

它们的终边关于x轴对称.若sina=1■，贝I]cos(a-j3)=

34

(A)l(B)-(C)j(D)0

(9)已知faJ是无穷等差数列，其前项和为S“，则」a.｝为递增数列”是“存在"eN'使得

6“>0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(10)2022年足球世界杯在卡塔尔举行,32支参赛队通过抽签分为八个小组.每个小组分别

有4支球队，共打6场比赛，每支球队都必须和同组其他3支球队进行且只进行一场

比赛.小组赛积分规则为:胜1场积3分，平1场积1分，负1场枳0分,每个小组积分

前两名的球队出线.若小组赛结束后，同一小组的甲、乙两支球队分别积6分和5

分，则

(A)甲、乙两队一定都出线(B)甲队一定出线，乙队可能未出线

(C)甲、乙两队都可能未出线(D)甲、乙两支球队至少有•支未出线

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5道小题，每题5分。共25分，把答案填在答题卡上。

(11)若复数2=巨耳,则以=________.

1

(12)在(2七)*的展开式中的系数为.

(13)设等比数列1的公比为q(g>0),其前"和为S“，且a尸;,%=2,则a5=;

Ss_•

(14)能说明“若/(x)W/(2)对任意的xe[0,21都成立，则/(x)在[0,2]I.单调递增”为假命

题的一个函数是.2

高二数学试卷第2页(共5贞)

(15)已知小,x,，…/20r均为正数，并且；+2一+—+/-=1,给出下列四个结论：

I+X]1+X21+%20”

①./2,…,*2023中小于1的数最多只有一个；

②小，的,…，工加3中小于2的数最多只有两个；

③XI,x2，…,*纣23中最大的数不小于2022；

④如，叼，…，了20”中最小的数不小于水蚩

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题共6道题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(16)(本小题13分)

在△ABC中，a=6,sin.4=；sin8.

(I)求6；

(U)在下列•:个条件中选择一个作为已知，使△48。存在11唯一确定，并求△48C的

面积.

条件①：乙8=守21T；

条件②：BC边上中线的长为/万；

条件③：sin£=sin24.

注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

(17)(本小题13分)

如图，在氏方体圈G"中一48=4,.4。=.町=2,7?是,4冏的中点,

平面ACE与棱G，相交于点F.

(I)求证:点尸为G，的中点；

(n)若点G为棱M上一点,u，cuc,

求点G到平面4Cb的距离.

3

高二数学试卷第3页(共5页)

(18)(本小题14分)

精彩纷呈的春节档电影丰富了人们的节日文化生活，春节小长假期间大批观众走

进电影院.某电影院统计了2023年正月初一放映的四部影片的上座率,整理得到如下

数据：

影片排片场次匕座率(%)

A12364245505762687380858894

B1035404652656578849095

C9353847556065738285

D9343746546064728184

(I)从以上所有排片场次中随机选取1场,求该场的上座率大于70%的概率；

(U)假设每场影片的上座率相互独立.从影片A,B,C的以上排片场次中各随机抽取

1场，求这3场中至少有2场上座率大于70%的概率；

(ID)将影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的方差分别记为s；和

试比较s；和$的大小.(结论不要求证明)

(19)(本小题15分)

已知函数/(X)-X'+COS.V.

(1)求曲线y=/(*)在点(0,/(()))处的切线方程;

(n)求函数/(工)在［-2小2扪上的最大值和最小值；

(IH)设g(g)=/'(%),证明:对任意的s>l,有g(s)-g(l)<3s-3l.

4

高二数学试卷第4页(共5页)

(20)(本小题15分)

22

已知椭圆(?：「+1=1(a>〃>0)过点4(0,2)和8(0,-2),且(1=a'6.

(I0

(I)求椭圆c的方程；

(n)过点Z)(0,l)斜率为k的直线/交椭圆C于M,N,直线MA,NB分别交直线

y=t(-2<t<2)于点P,Q.若IOPI=I0QI,求f的值.

(21)(本小题15分)

已知实数集4=|%,做，…，4}("学3),定义w(A)={Ia,吗已.

(I)若4=1-2,0,1,2)—

(n)若@(4)=10,-6,-8,-12,12,18,24],求集合4；

(ID)若4中的元素个数为9,求以，4)的元素个数的最小值.

5

高二数学试卷第5页(共5页)

顺义区2023届高三第二次统数学试卷参考答案

一、选择题ADBCCBDBAA

二、填空题

31

(11)y/5(12)8(13)8,—

(14)f(x)x12(答案不唯一)

(15)①②③(答对一个得2分，答对两个得3分，全部答对得5分，有错误不给分)

三、解答题

(16)(本小题13分)

3

解：(I)因为sinATinB,

2

在△ABC中,由正弦定理」一」一，...............................2分

sinAsinB

可得当，......................................................3分

2

又因为a6,

所以64...........................................................5分

(II)选择条件①按公式酌情给分，最高4分；

选择条件②

设BC边上的中线为AD,则AD屈,CD3

.....o

在△AC。中.由余弦定理得J]

4232府2

cAC2CD2AD21

cosC-----------------""y77

2.ACCD2.4»331

2垃

因为cosCC.o,n.所以sinC1\cos2C......11分

~3~1

2&

所以△ABC的面积为SLibsinC工6.4.8e...........13分

?9

选择条件③

方法1：

由题设，因为sin2A2sinAcosA所以sin82sinAcosA6分

因为sinA-sinB,所以sin83sin8cos4

因为8.01,所以sin8,0,.....................................7分

所以cosAJ......................................................8分

由余弦定理"b2c22hccosA

可得：................................9分

6

3616c22.4，

3

整理得8c600,解得c6或——（舍），.......................10分

3

因为cosA4.o,n，所以sinA1&>s2A.....................11分

所以AABC的面积为S%csinA-5-4.6弛8也...........13分

223

方法2:由题设,因为sin2A2sinAcosA,所以sinB2sinAcos4..................6分

3

•3

m

因为sinA-S2所以sin83sinBcosA

在△ABC中,因为方“，所以BA,即5-i。,一.所以sinB,0,……7分

2

所以cosA1...................................................................................................8分

因为cosAAOEJJ^SEA1Jos2A方二，

所以sin84inA匕毡~延，...............................9分

3339

r,7

所以cos8dsin2B—,.....................................................................10分

9

因为ABCn.

所以sinesinA8sinAcosficosAsinB这*Z.L处里,

.............................................................................................................................II分

所以△ABC的面积为SLz/?sinC1-6.4—80......................13分

223

方法3:因为sin8sin2A且'°汨’2A.0,2外

所以824：：或82A,.............................................................................7分

因为人。，所以32An..........................................................................8分

又因为ABC=n.

所以4=。即。c=6.........................................................................................9分

所以aABC为等腰三角形，设AC边上的高为8。，则4。=2,

由勾股定理AD&&、.............................................................11分

所以△ABC的面积为S1b.BD=J*4户80.............................13分

7

(17)(本小题13分)

(D证明：方法1：因为平面ABCO〃平面.

平面AGED平面ABCDAC,

平面ACEn平面A8G4EF,

所以E/〃AC.--------------------3分

连接A£.

因为AA〃CG，A4]CCv

所以四边形M.C.C是平行四边形.

所以AG〃AC»EFuAG.------------------------------------------5分

因为E是AQ的中点，

所以点F为G。的中点.----------------------------------------------6分

方法2：连接4£.

因为AAi〃CG，CCp

所以四边形A41GC是平行四边形.

所以AC〃AG，-----------------------------------------------1分

因为AC/平面AJB£D],

所以AC//平面A8IG。「一一3分

因为AC平面ACE,平面ACEn平面ABG4EF,

所以AC〃EF.——5分

所以"〃AG.

因为七是A2的中点，

所以点F为CR的中点.----------------------------------------------6分

(H)解方法।因为DA,。。,。/%两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系。xyz.

则AU，U,⑺4LW六，⑺“JU,U,q

则记(2,4,0),AE^(1,0,2).

设平面ACE的法向量为相(x,y,z)

mAC02x4y0

8分

机而0即'x2z0

令x2,则》丫]，所以‘〃(4用.10分

3

8

设G2/0.则4G2,f,2,

由而宓。得44/0.t1.G2,1,0

A(j0,1,0-ii分

\AGmI

点G到平面ACE的距离d

\m\

方法2:连接。G.

因为。Or平面ABC。，

所以。。/AC.

因为4G,AC,ODflOGD,

所以AC，平面DOG.

所以AC，DG.

在平面A8CD内，由tanADGtan1,可求出人。・8分

由勾股定理求出AC疯AE后,CE"

在aACE中由余弦定理得cos-C4E-----—

2AC.AE

则sin/CAEJl(I)2竽，

S^\CEAEsinCAE2£.-----------------------------------------------10分

S\ACG—AGBC1.

2

设点G到平面ACE的距离为d.

由％ACEVEACG得!••d12.---------------------------------------12分

33

解得d0-----------------------------------------------------------------------------------------13分

6

（18）（本小题14分）

解：（I）记“从以上所有排片场次中随机选取I场.该场的上座率大于70%”为

事件M.------------------------------------------------------------------------------------------------------1分

影片A,B,C,D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15,-------------------------------2分

丁一…八5433153，八

所以P(M)------------------------------------------------------------------------------4分

121099408

4

9

(II)记”从影片A,B,C的以上排片场次中各随机抽取1场.每场的上座率大于70%”分

别为事件人爪其中尸(A).，P(3)白/(C)|；；---------------7分

这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为

P(AI3CABCABCABC)

之一.aLI.(I3i.a三一，分

125531231251253.________n

59

12分

180

(III)52Vs?2.-------------------------------------------------------------------------------------14分

19.(本小题15分)

解：(I)fW2xsinx,-----------------------------------------------------------------------2分

f(0)1/(0)0------------------------------------------------------------------------------3分

在点(0,7(0))处的切线方程；分

y=l------------------------------------------------------------4

(II)f'(x)2xsinx,令g(x)2xsinx,g'(x)2cosx,--------------------5分

则

•・•xe[-2r,2n]

g(x),0--------------------------------------------------------------------------------------6分

g(X)在上单调递增-------------------------------------------7分

・••g(0)=0,

xw[2K，0),g(x)/'(x)<0,xe(0,2|t],g(x)/'W>0,

7")在[2n,0)上单调递减，在(0,2眉上单调递增，--------------------9分

当x0时，/(X)取最小值1,当x2或2射，/(x)取最大值4Y+1.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------io分

(ill)要证明对任意的st,有g(s)g(r)<3s3/

只需证明对任意的£tg(s)3s(g(r)3/

,有

记G(x)g(x)3xxsinx,-----------------------------------------------------12分

,：G\x)=1cosxi0.

〜(八)仇,(・%+：»尸平眄如强.____________________________________13分

/syt.

G(s)G⑺，即g(s)3sg(f)3f.

g(s)g(f)《3s3f.------------------------------------------------------------------15分

10

20.（本小题15分）

解：（I）由题意可知：〃2M2。---------------------------------------2分

所以椭圆c的方程为上211-4分

84

（H）直线/的方程为ykx1--------------------------------------------5分

设I.

Mx,yNx,y

Z

I22

zzixyVi6

直线/与椭圆方程上—i联立可得：FT............-"一~分

84Iy/ex1

消去，'可得：2炉1x24kx60

,4k6

则n、、0,为4,x,x.---------------------------------8

2k~122k-1分

、，'x/人t.t

x

直线MA的方程为：y——，令y'可得/---2xkx^\'---9分

乂乙7—4、[—4

直线NB的方程为：y二一X2,令yr可得X----「一一一加分

沏Qy22KX23

-\DP\=\DQ\,

\xp\\xI---------------------------------------------------------11分

Q

法一:易知,，与々异号

/+XQ=°

,+产+=。

kxi3

2%（也3）/2x2（kx1）

7M1）（履23）'

6

11

工中⑷小。

2k

vx(v-2)x{kx1)kxx/X"0

2l}i2k1

15分

必与=。

3XA3A1A

—I2—1—2

kx{x2x2222

——13分

kxx3x1393-3

}2--^1--^2

222

X|x3xi

HI：2

t1或，4,14分

t1.15分

法三：

,乙人

/.I-^—^11

kx\1

12k%11f4

例3||­

kx\x23%i

i,642x)2k)

k(12〃(12^,

kxKx2X212k*2k-----------------------13分

kx\x25xi6k1

-----T3xi

M3X112k2

.图9

t1或，4,-14分

4/-2<t<2,

t1.....15分

7

12

(21)(本小题15分)

留：(1)0A；4,2,0,21;-------------------3分(多写或少写一个元素扣1分)

(II)首先，0-4；--------------------------------------------------------4分

其次A中有4个非零元素，符号