2024年高考数学二轮复习考点突破练11直线与圆

考点突破练11直线与圆

一、必备知识夯实练

1.（2023浙江温州三模）已知直线/i：x+y=0,/2：ax+by+l=0,若则a+h=（）

A.-lB.OC.lD.2

2.（2023河北张家口二模）已知点P（xo,州）为圆C:/+y2=2上的动点,则直线/:如:-冲=2与圆C的位置

关系为（）

A.相交B.相离

C.相切D.相切或相交

3.（2023广东梅州二模）若直线/sx+〃y+m=0将圆C:（x-2）2+V=4分成弧长之比为2；1的两部分，则直

线的斜率为（）

A.理B.士等C.理D.若

4.（2023全国乙，文11）己知北），满足则x-y的最大值是（）

A.1+苧B.4C.1+3V2D.7

5.（2023山东潍坊模拟）若点M是圆<7:$+/4工=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交

于A,B两点，则NMA8的最小值为（）

A-三12%R-

c-D-

V，3,6

6.（2023山东济宁二模）在平面直角坐标系中，过点尸（3,0）作圆O:（x-l）2+（y-2V3）2=4的两条切线，切点

分别为A,B,则直线AB的方程为（）

A.x-V3>,+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x-y+3=0D.y/3x+y+3=0

7.（多诿题）（2023广东惠州模拟）已知直线/依-）4=0与圆忙『+）2一4六2》+1=0,则下列说法正确的是

（）

A.直线/恒过定点（1,0）

B.圆M的圆心坐标为（2,1）

C.存在实数k,使得直线/与圆M相切

D.若％=1,直线/被圆M截得的弦长为2

8.（2023新高考/,6）过（0,-2）与圆/+产4『1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.lB.早

4

c.坐D当

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9.（2023福建莆田模拟）写出一个被直线x-y=0平分且与直线x+y=0相切的圆的方程:一

10.（2023江苏南京师大附中一模）过点P（3,-2）且与圆C:x2+V-2x-4y+l=0相切的直线方程

为.

二、关键能力提升练

11.（2023广东深圳中学模拟）若圆（X/）2+G，-3）2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为y,则实数a

的取值范围是（）

A.S羊13呜17,+8）

R11317、

C.（-8,£3）UG7+8）

37

%，5）

12.（2023四川德阳模拟）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交

河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马''问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为

若将军从点尸（-1,-2）处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2,并假定将军只要到达军营所在

区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（）

A.6B.5C.4D.3

13.（多选题）已知圆d+yhy+BuO,一条光线从点尸（2,1）射出经X轴反射，则下列结论正确的是（）

A.圆C关于x轴对称的圆的方程为/+9+4），+3=0

B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3/2广4=0

C.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点比则|P3|+|8A|=2

D.若反射光线与圆C交于两点，则△CNM面积的最大值为:

14.（多选题）（2023浙江杭州、宁波4月联考）已知圆是直线/:x-y+2=0上一点，过点P作

圆。的两条切线，切点分别为MN,则（）

A.直线经过定点

B.|A/N|的最小值为四

C.点（2,0）到直线MN的距离的最大值为|

D./MPN是锐角

15.（2023河南商丘模拟）已知圆G：f+（>2）2=5,圆C2过点（2,-1）且与圆G相切于点（2,1）,则圆C2的方

程为.

16.（2023山东淄博一模）在平面直角坐标系中，已知点P（3,l）,直线y=fcc+分与圆/+^=10交于MN两

点，若△PMN为正三角形,则实数h=.

三、核心素养创新练

17.（2023河北邯郸一模）已知点A（0,0），仇6,0）,符合点A,B到直线/的距离分别为1,3的直线方程

为.（写出一条即可）

18.（2023广东深圳一模）设a>0,A（2a,0）,B（0,2）,。为坐标原点，则以0A为弦，且与AB相切于点A的圆

的标准方程为；若该圆与以。8为直径的圆相交于第一象限内的点P,则点P横

坐标x的最大值为

考点突破练11直线与圆

1.B解析因为直线/i：x+y=0,/2：or+8y+l=0,且/」/2,则1・。+1,0=0,所以a+b=0.

2.C解析由题意可得或+yl=2,则圆心C到直线/的距离〃=4==条=鱼,所以直线和圆

网+羽

相切.

3.D解析如图冷直线/与圆C交于点A,8,依题意,NAC8=120°,而圆C的圆心C(2,0),半径

r=2,NABC=30°，因此点C到直线/的距离4=rsin30°=1,于是叫5=1,

Vm2+n2

KLy

整理得n=±2y[2m,

所以直线，的斜率仁%岑_

4.C解析(方法一)由父+产4犬-2)，-4=0,得(x-2)2+(y-l)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.

设x-y=〃，则x-y-〃=(),且由题意知直线x-y-u-0与圆(x-2)2+(y-l)2=9有公共点，贝(詈W3,解得1-

3夜所以x-y的最大值为1+3也

(方法二)由工2+9一4》-2)，-4=0,得O2)2+(y-l)2=9,令｛；]技甯，OW6»<27t,

所以x-y=l+3cos9-3sin9=1+3V^cos(®+》,当cos(6+》=l时,x-y的最大值为1+3A/^.故选C.

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5.A解析如图，直线/的斜率为-1,倾斜角为与，故/Q4B=/圆C的标准方程为(x-2)2+V=4,圆心

为C(2,0),半径为r=2.易知直线/交x轴于点A(-2,0),所以|AC|=4.

由图可知,当直线AM与圆C相切，且切点位于x轴下方时,NMA8取最小值.由圆的几何性质可

知CMJ_AM且|CM=2=：|AC|,则/CAM=J.

Zo

故/团43》NOA8[=H=A

64612

2

6.A解析圆O:(x-l)2+(y-2V3)=4的圆心为0(1,2b),半径为2,P0的中点坐标为

N(2,遮),|PO|=J(3-1)2+(2遮-0)2=4,则以N为圆心,P。为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-、/5)2=4.

因为过点P(3,0)作圆O:(x-l)2+(y-2V3)=4的两条切线，切点分别为A,民所以A3是两圆的公共

弦，将两圆的方程相减可得公共弦48所在直线的方程为x-同+3=0.

7.AB解析直线/依-9=0变形为y=Z(x-l),故直线/恒过定点(1,0),故A正确；

圆M:.r+/-4x-2y+l=0变形为(x-2)2+0-1)2=4,圆心坐标为(2,1),故B正确；

令圆心(2,1)到直线/:fcv-y-k=0的距离华坦=2,整理得3公+2k+3=0,由/=4-36=-32<0可得，方程

府

无解,故不存在实数上使得直线1与圆M相切，故C错误；

若&=1,则直线2的方程为*>1=0,圆心(2,1)在直线/“.1=0上,故直线/被圆M截得的弦长为直

径4,故D错误.

故选AB.

8.B解析由f+)，2-4x-l=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=逐.

过点。(0,-2)作圆的切线，与圆的两个切点为4,8,连接4仁5。,8,4民

则ABVCD,ZCAD=ZCBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由几何知识得,|30=八。=遮,|67)|=小0-2)2+(20)2=2近.

由勾股定理得,|AD|=|B£)|=J|CD|2-R2=73.

a\BD\V3V6.a\BC\V5V10

c°S5=9=加=彳对叼=而=派=丁，

a八x/TOV6V15、生c

si.na=2.s.mTaCOST=2x——x—=一^.故选B.

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9.(x-l)2+(y-l)2=2(答案不唯一)解析由题意可知，圆心过直线x-y=0,不妨设圆心坐标为(1,1),半

径为r.

又因为圆心(1,1)到直线x+y=0的距离=V^=r，所以(x-l/+(y-l)2=2符合题意.

Jl2+12

10.x=3或3x+4y-l=0解析将圆C方程化为圆的标准方程。-1尸+(卜2)2=4,得圆心C(l,2),半径为

r=2.

当过点P(3,-2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,是圆C的切线，满足题意;当过点P(3,-2)的

直线斜率存在时，可设直线方程为y+2=k(x-3),即丘-y-3h2=0,利用圆心到直线的距离等于半径得

毕生=2,解得&=2即此直线方程为3x+4y-l=0.

M+i

综上，满足题意的直线方程为x=3或3x+4y-1=0.

11.D解析因为圆的方程为(x-a/+(y-3)2=20,所以圆心为(4,3),半径为2代.又圆(x-a)2+(y-3)2=20

上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为遥，所以圆心到直线2x-y+1=0的距离遮,所以等<

圾即|2a-2|<5,得-沁<今

(叁+以=2

12.C解析如图，设点P关于直线x+y=2的对称点为Q(x,y),则匕22，解得匕二:'即

L+1’

2(4,3),

所以10。|=<42+32=5,则“将军饮马”问题中的最短总路程为IOQ-1=5-1=4.

13.ABD解析对于A,由圆C方程可得/+(广2尸=1,故圆心C(0,2),半径r=l,

...圆C关于X轴对称的圆的圆心为。(0,-2),半径为1,

...所求圆的方程为*+任+2尸=1,即f+y2+4y+3=0,故A正确；

对于B「.•反射光线平分圆C的周长,.•.反射光线经过圆心C(0,2),.•.入射光线所在直线经过点

C'(0,-2),

•*-kcp=^=?,••.入射光线所在直线方程为y+2=|x,即3x-2y-4=0,故B正确；

对于C「.•反射光线经过点P(2,l)关于无轴的对称点P,(2,-l),

.•.|P3|+|B4|=|P3|+|BA|=|尸A|,又尸4|=6^7=2四,二|P8|+山川=2遮,故C错误；

对于D,设/CMN=0(0<6><》则圆心C(0,2)到直线MN的距离gsin0,：.|W|=2Vl-sin20=2cos

0,

5ACMW=1|A7A^|•J=sin6cos0=^sin26,

则当。三时，⑸加的三,故D正确.故选ABD.

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14.AB解析设P(xo,xo+2),则以OP为直径的圆的方程为(X-自)2+(y-竽尸=①±!普_，化简

得x2-xox-(xo+2)^+y2=O,

与f+y2=l联立，可得MN所在直线方程为x()x+(xo+2)y=l,即xo(x+y)+2y-l=0,

故可知直线MN恒过定点(§,},故A正确；

点。到过定点《点的直线"N距离的最大值为J(-j-0)2+(i-0)2=享|MV|min=2xjl-(苧j=

或，故|MN|的最小值为VI,故B正确；

当点(2,0)与定点}的连线与直线MN垂直时，此时点(2,0)到直线MN的距离最大，且最大值为

J(-|-2)2+(r0)2=亨，故c错误；

圆心O到直线/的距离为备=&，由于NMPN=2NMP0,在直角三角形OPM中,sinZ

柱0=也=上

\OP\|0P「

当点P运动到满足0PL时，此时|。尸|最小,NMP。最大，此时sinZMPO=~,ZMPO=45°,Z

MPN=90°,故D错误.故选AB.

15.(x-4)2+V=5解析如图，过点(0,2)和(2,1)的直线方程为x+2y-4=0,以点(2,-1)和点(2,1)为端点

的线段的垂直平分线的方程为y=0.

由=。’得C2(4,0),则圆C2的半径r=V2^TP=遮,所以圆C2的方程为(x-4)2+y2=5-

16.-5蓊析由题意可知点P(3,l)在圆上，如图.设MV的中点为H,连接PH,因为为正三角

形，所以P”过点。，且PHA.MN,

则直线MN的斜率k=-^—=-3,y=kx+b即为y=-3x+b.

k0P

因为XPMN为正三角形，所以点。为4PMN的中心，由中心及重心性质知,|O，|=等=当，故

儡=孚，解得公土5.结合点P(3,l)在圆上，△/彻N是圆的内接正三角形，可知6<0,即b=-5.

vl+9Z

17.X+2为+3=0或x-2V2y+3=0或2x+宿-3=()或24通卜3=0(写出一条即可)解析由题意可

知直线/是圆产+丁=1与圆(心6)2+9=9的公切线，

因为两圆外离，所以满足条件的直线/有四条,如图.

当直线/位于直线W2位置时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线/过点(-3,0).

设直线/的方程为x=/wy-3,则~^=亍=1,解得机=土2企,此时直线/的方程为x+2&y+3=0或x-

2&)，+3=0.当直线/位于直线，3,，4位置时油几何性质(相似三角形的性质)易知直线/过点(|,0),