高等数学大一年级上册知识要点

高数总复习(±)

一、求极限的方法：

1、利用运算法则与基本初等函数的极限；

①、定理若lim/(x)=A,limg(x)=5,则

(加减运算)lim"(x)+g(x)]=A+B

(乘法运算)lim/(x).g(x)=AB

(除法运算)若8w°，Hm

推论1：limf(x)=A,lim[/(x)]n=[lim/(x)]K=A"5为

正整数)

推论2：lim(/(x)=c[lim/(x)]

包，当/n=n

②结论1:瓦

lim"。""+&”-+…+x+%-

0,当/n<n

nn1

…box+b1x~++bn_1X+bn

oo,当m>n

结论2:f(x)是基本初等函数，其定义区间为〃若％oCO,则

2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；

①定义1：若lim/(x)=°或(lim/(%)二°)

x->X)x-»oo

则称/(X)是当％%0(或X->8)时的无穷小.

定义2：私分是自变量在同一变化过程中的无穷小：

若lim2=l,则称。与夕是等价无穷小,记为。P.

a

②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.

性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2（等价无穷小替换定理）设a~a',/~

且lim之存在，则

a'

lim^=lim^=lim^=lim幺

aaaa

（因式替换原则）

常用等价无穷小:

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;

①准则1（夹逼准则）若数列（n=l,2,…）满足下列条件:

⑴yn<<Z„(H=1,2,3,•••)；

,

⑵limyn=limZn=a

〃一>8

则数列》“的极限存在,且lim=a

w—>00

②准则n：单调有界数列必有极限.

4、利用两个重要极限。

5、利用洛必达法则。

未定式为6，£，°°一8。00,0”类型.

0

①定理(％fa时的G型)：设

⑴limf(x)=limF(x)=0.

xfax—>tz

(2)在某U(a3)内，/(%)及F(x)都存在且产(工)丰0;

二、求导数和微分：

L定义

①导数：函数y=/(%)在％=玉)处的导数：

，'(%)=lim'("，，~~=hm'(~~~~'(~~«

xfx°x-x0以一0Ar

函数y=/(x)在区间I上的导函数：

②函数的微分：dy=f\x)dx.

2.导数运算法则(须记住P140导数公式)

①函数和差积商求导法则：函数”(%)、丫(％)可导，贝！J：

②反函数求导法则：若九=o(y)的导数存在且e'(y)wo,

则反函数y=fM的导数也存在且为

③复合函数求导法则(链式法则)：〃=。(%)可导，

)=/(〃)可导，

则y=/(e(x))可导，且

④隐函数求导法则：

⑤参数方程求导法则：

若。'«)。。则

ax(p⑺

3.微分运算法则

三、求积分:

L概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。

eb

ff(x)dx=州£/©)为

Ja/=!

性质1:

ff(x)dx=0,-ff(x)dx=ff(x)dx

JaJbJa

性质2：

rbrbrb

[fW+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx

JaJaJa

性质3：

,b,b

[kf(x)dx=k\f(x)dx,(左是常数).

JaJa

性质4：

\hf(x)dx=[

Jaela

(去绝

对值，

分段函

数积分）

•b

性质5：dx-b-a

a

2.计算公式：P186基本积分表；P203常用积分公式;

①第一换元法（凑微分）：

PPU=(p{x}|--

c

J/(0(%))”(工世=J'((p(x))d(p(x)=Jf(u)du

JJLJ」〃=e(x)

②第二换元法：

③分部积分法：

分部化简；循环解出；递推公式

④有理函数积分：

混合法（赋值法+特殊值法）确定系数

⑤牛顿莱布尼茨公式:

⑥定积分换元法:

5.［于(x)dx=1°(a=(p(a)b=(p(py)

JaJa

(换元换限，配元(凑微)不换限)

⑦定积分分部积分法：

ch-沙

6.Iu(x)v\x)dx=[«(x)v(x)£-Iu\x)v(x)dx

⑧结论(偶倍奇零)：

①若函数F(x)为偶函数，则

ff(x)dx=2\f(x)dx

J-aJO

②若函数/(x)为奇函数，贝!|J/(x)dx=°

注意：

1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；

2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如工^^7公二苧)

⑨变限积分求导

dcxd，b

四、微Jf(t)dt=f(x),—J/(r)dr=-/W

dxJadxJx

(x)

1.判BJ_f^f(t)dt=f[(p(x)\(pXx)

dx'a

0=/[0(R)]/0)-/[必创”(%)

drJH(x)

第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论了'(%)的正

负,/'(%)>。,函数递增，f(x)<0,

函数递减。

②判断凹凸性:

第一步：找使/"(%)=。的点和不可导点。

第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论了〃(x)的正负,

f\x)>0,是凹区间，f\x)<0,是凸区间。

(拐点：左右两边/"(%)的符号相反)

③判断函数极值:

第一步：找使/'（x）=。的点和不可导点。

第二步：判断这些点两边/'（X）的正负，若左正右负极大值点

左负右正极小值点。

2.1定积分的几何应用--求面积，体积和弧长\!74

a

所求图形的面积为：S=上（x）一/下（%）“%

所求图形的面积为：s二J右（＞）一。左（））"，

旋转体：由连续曲线”⑸、直线麻、地及x轴所围成的曲边梯

形绕X轴旋转一周而成的立体。

71dx=^[fix^dxo

旋转体：由连续曲线元=。（、）、

直线yc>yd及p轴所围曲边梯

形绕y轴旋转一周而成的立体

2.3定积分的物理应用

变力沿直线做功；水(侧)压力；引力

思路:建立坐标系，选取积分变量(如X),在以XAlx］上给出微元

第六空间解析几何

1.向量4=+生化在坐标轴上的投影分别为：

•**

aaa

x，y，z；在坐标轴上的分量分别为：,ayj,azk.

IQI—{a；++见2,

e(i==(cosa,cos0,cos/)

2.利用坐标作向量的线性运算

a±b=(ax±bx,ay±by,az±bzy

d—（4a*,4，%）

Ayn/,

数量积（数）：

向量积（向量）

rr一一一一一-*——・

axb工a,axbLb,且axb,6Z,kf构成右

手系，

A

\axb\=\a\\b\sin（a,b）（几何意义:平行四边形的面积）

3.向量之间的关系

4.平面图形及其方程

平面的法向量：和平面垂直的非零向量。

①点法式方程：

设平面过点（入0，〉0,20）法向量〃二（4,3,。）