2024年辽宁高考数学模拟试题及答案

1.已知平面向量。=(%一1,—2),b=(6,2—z)，若则x=

A.4B.-2C，4D.5

42

2.已知数列｛a.｝的前n项和为S“=〃2+〃+l,则a3=

A.5B.6C.7D.8

3.已知a为第一象限角，l+cos(W"+a)=2sin(7t—a),则sin2a=

A返B4CD

A9n9。9-9

4.在长方体ABCD-ABiGDi中，已知AAi=2AD=2CD,点E是线段CD的中点，则异面直

线DiE与BG所成角的余弦值为

A8/85口8「2八/85

人-^一B-JC.亏D.而

5.已知函数/(l)=13+丁2一工+2,若关于1的方程/Gr)=2m—1有3个不同的根，则m的取

值范围为

A.(||,3)B.(2,3)C.(|1,2)D.(-1,2)

6.如图,在圆锥P0中,用一个平行于底面的平面去截圆锥P0,可得一个圆锥人

尸01和一个圆台0。若圆锥P0］的体积是圆锥PO体积的则圆锥POi/1\

与圆台010的侧面积的比值为

A.lB.1匕］

C—D

3-1

7.设储,,｝是公差为2的等差数列，S为其前〃项和，若仇S”｝为递增数列，则ai的取值范围是

A.(一等,+8)B.(1一堂,+8)C.[—~i-,4-oo)D.[l,4-oo)

V乙乙一

8.已知函数/(1r)=sin工-2ax—axcosx,V①>0"(冗)<0,则实数a的取值范围是

A.D1,+8)B.(0,^]C.r1,+oo)D.(0,1]

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知z(2+i)=i2,则下列说法正确的是

A.z在复平面内对应的点的坐标为■，一看)

□□

-21.

pb.Z=--z---

55

C.2在复平面内对应的点与点(春,一看)关于原点对称

05

D.|引=§

io.已知函数，①)=|；+，(-1),⑺为/(工)的导函数，贝j

A"'(-l)=lB./(l)=-5

C./(z)在(0,+s)上单调递减D./(l)=3

11.如图，这是函数f(i)=Asin(巫+内+6(A>0皿>0,0<卯<£)的部分图象，则

A"(z)=2sin(2z+/)+l

B./(j?)=2sin(2x+y)+l

C.f(x)=l—2cos(2i+半)

D"(z)=l—2cos(2z+gO

12.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现了这样一个数列：1，1,2,3,5,8,….这

个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们把这样的一列数组

成的数列｛EJ称为斐波那契数列•现将数列｛用｝中的各项除以3所得余数按原顺序构成的

数列记为｛&｝,则下列说法正确的是

20242024

—

A.SF£=F20261B.SF-=F2023F2024

i=l1=1

2024

C.G2O24=OD.XG=2277

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量a,b的夹角为令，且⑷=1，a*(a—2b)=—2,则|周=▲

0

14.若tan(0+-y)=—■，则tan6=▲

4乙

15.已知正项等比数列储”）的前〃和为S”,若S3=13,且的=&+6g，则满足S”V123的〃的

最大值为▲.

16.在三棱柱ABC—AiBC中，已知AA」平面ABC,BC=3,AA=8,/8AC=30°,则该三

棱柱外接球的表面积为▲.

四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

/o

已知函数y（a:）=3sinQZCOS（a>>0）.

⑴若VZGRJQOAI/X2）|,求s的取值集合；

⑵若3=1,求“Z）在区间［0,9］上的值域.

Lt

18.（12分）

记△ABC的内角的A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos人=%记.

⑴求B；

（2）若c=3,6=7■，求AABC的面积.

19.（12分）

已知数列｛&｝的前〃项和为S”，且S“=2&-2,数列｛伉｝为等差数列，仇+仇+仇=21,

66=11.

（1）求｛a“｝,｛d｝的通项公式；

（2）求数列｛%｝的前〃项和T”.

a律

20.（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中,AB，BC,AB=2,BC=2次,aPBC为等边三角形,BP,AP,

BC的中点分别为D,E,O,且AD=gDO.

(D证明:平面A8CJ_平面PBC.

(2)若尸为AC的中点，求点C到平面BEF的距离.

21.(12分)

设函数/(7)=]2—8工+21nx.

(1)求/(N)的单调区间；

(2)若正数百，也满足f(4)+/(0)=7,证明：勾+g29.

22.(12分)

已知函数/(x)=e4x-1—4aln(2z).

(1)当a=l时,求曲线y=f(z)在点(■1•,/(•1))处的切线方程；

乙Lt

(2)当a>0时,若关于工的不等式/(G2a+alnMa)恒成立，求实数a的取值范围.

1.A【解析】本题考查平面向量的垂直,考查数学运算的核心素养.

因为aj_b，所以a,b=6（z—1）—2（2一丁）=0,解得x=—.

2.B【解析】本题考查数列求和，考查数学运算的核心素养.

=—

因为5="2+"+1,所以a3S3S2=6.

3.D【解析】本题考查诱导公式和二倍角公式,考查数学运算的核心素养.

因为1+cos（今+a）=2sin（7t—a）,所以1-sina=2sina,解得sina=，，所以cosa=

sin2a=*

4.A【解析】本题考查异面直线所成的角,考查直观想象的核心素养.

设AD=CD=2,则AAi=4,易知AA〃BG,所以异面直线QE与所成的角为

NADiE.经计算可知。上=，17,4口=2四,A£：="，所以cosNADi"12。—＞

2717X275

8/85

851

5.C【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，考查直观想象与数学运算的核心素养.

因为八了）=/+/—7+2,所以/（7）=3/+2工一1=（3X一1）（7+1）.令/（7）＜0,解得

T＜2＜。令解得1或z＞母，所以/⑺在（一8,—1）上单调递增，在

（—1,（）上单调递减，在（；，+8）上单调递增.因为方程fa）=2m-l有3个不同的根,

/（—1）=3"（"1~）=居,所以发解得意＜根＜2,即m的取值范围为.2）.

6.D【解析】本题考查旋转体的体积与侧面积,考查直观想象的核心素养.

设圆锥POi,PO的底面圆半径分别为r,R,它们的母线长分别为/L因为d=（《）3=J,

Vpol\o

所以==；，从而f=；，即R=2r,L=2l.所以件=一尸吟——~=^.

7.A【解析】本题考查等差数列的性质与求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养.

2

S〃=〃2+（di—l）n,nSn="+（a]一1）",由题得（%+l）S〃+i—nSn=3n+（2a1+1）/+ai〉0

1力2_1_11

对V%SN*恒成立，即々1〉一啜壬孔令方=2刀+1（方）3）,〃6^,则a[＞一■⑶+

令9（力=一~~^）+1,当方=3时用⑺取得最大值一。故”1＞一方.

8.C【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养.

=in，r

VK》O,/(久)Wo等价于n久记g(rr)?--arc,即g(iX0在[0,+8)上

2十cosx92十cosx-

恒成立・g'(%)=—a=-3(9I----[)2+[—a.

(2+cosx)62十cos133

当—a&O,即。)~^时,且‘(久)或0，4])在[0，+8)上单调递减,所以当时,g(£)W

g(0)=0,即/(JC)<0恒成立；

当0<a<\时，记%(x)=si；,一〃力，则h'(JC)=c。].一。，存在I。e(0,手)，使得h'(10)=

0,当16(0,1())时,，(支)〉0,九(1)单调递增，所以九(])〉九(0)=0,即汽工〉”支,所以当比£

(0,松)时,mN吟,即/(力)〉0,不符合题意；

20十1co.sx3

当a<0时,/优)=1—号a>0,不符合题意.

综上,a的取值范围是[(,+8).

9.BCD【解析】本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养.

由题可得z=U=「l^=一1■十1)即z在复平面内对应的点的坐标为(一看，看)，与

点皆,一看)关于原点对称,A错误,C正确;z=一春一4i,B正确；|z|=./(-|)2+(4)2

5555\55

=*,D正确.

0

10.BCD【解析】本题考查导数的运算，考查数学运算的核心素养.

因为/'⑴=一最+2/'(—1)•了，所以/'(—1)=—3—2/(—1),解得八一1)=—1,则

“力=m一/+l,/'(z)=一2处易知/(7)在(0,+8)上单调递减=—5,/⑴

=3,A错误,B,C,D正确.

11.BC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.

(A+b=3,fA—217T7F

因为4…所以19又小T=73TT一仔=不所以丁=冗，则3=2,故"/)=

[-A+b=~l9〔6=1.41234

2sin(2z+w)+l.将点(,,1)的坐标代入/(久)=2sin(2rc+y>)+1,得，，则/(久)=

2sin(2j；+-1-)+1,B正确；若/(3)=2sin(2x+*)+1,则/(得)=2,A错误;而1—2cos(2/

+^?)—1—2cos—2sin(2jr+-1-)+1,C正确;若/(rr)—1—2cos(2]+奇),则

/(0)=0,D错误.

12.ACD【解析】本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养.

对于A,因为居+2—F〃+1=£，所以F3—F2=F1,尸4-6=6，居一/4=尸3，…，尸2026—F2025

20242024

=「2诩，上式两边分别相加得「2026—，又居所以。26—

B=i2=lE=B=1,i3=l£=6LA

正确.

对于B,因为F„+1=F,i+2-F„，所以Fi+l=Fn+2Fn+i—F/E,所以Fl=F3F2—BB,Fl=

=F$K—23F?+

F4F3~F3F2，瑶KF3，…，琏诩=F2O25F2O24一£.£。，上式两边分别相加得

理+…+琏024=-^2025-^2024—1,所以不理=尸2024尸2025，B错误.

1=1

对于C,由题意知GI=1,G2=1,G3=2,G4=0,G=2,G6=2,G=1,G8=0,G9=1,Gio=1,…，

所以数列｛G〃｝是最小正周期为8的数列，故G2024=G&=0,C正确.

2024

对于D,2G,=253X(1+1+2+0+2+2+1+0)=2277,D正确.

i=i

13,3【解析】本题考查平面向量的夹角与模,考查数学运算的核心素养.

因为a・(a-2b)=\a\2—2a•—2\b\义七=一2,所以|b|=3.

14.-3【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.

因为tanS+子)=詈"=-4,所以tan9=~3.

15.5【解析】本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养.

设公比为q，因为。5=。4+6(23，所以o'—q—6=0,解得q=3.又由S3=13,即/+3ai+9al

=13,解得©=1,所以S”=式』.由三小＜123,得3”V247，因为35=243,36=729,所以〃

的最大值为5.

16.IOOK【解析】本题考查三棱柱的外接球的表面积，考查直观想象的核心素养.

设△A/1G与△ABC的外心分别为Oi,Q，则线段OxO2的中点。为外接球的球心.设

△ABC外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为r,R,由正弦定理知一哼二?〃,解得

sin30

厂=3,所以H=J(~1)2+32=5,从而三棱柱ABC—AiBC外接球的表面积S=4^R2=

1007T.

17.解：/（力）=3sincozcos3T—^/3sin2cox

3.石\/1—cosI7^o/<

=-^sinoV3X-----------------1--......................................................................................./分

=y^sin（2cozH--....................................................................................................................3分

⑴因为皆）1，所以直线l看为曲线尸/Cz）的一条对称轴，

所以•£+£=%穴+-^■，氏GZ,...........................................................................................4分

66/

解得s=3左+1,6GZ............................................................5分

又s〉0,所以s=3左+l"GN,s的取值集合为％|s=3人+1/GN}...............6分

⑵当s=l时,/CzX•sina"+今).

因为所以聿1牛，.........................................7分

17r

所以--^&sin（2%+w）Wl，....................................................9分

乙0

所以一停《痣sin（2z十今）W囱,即/⑴在区间［0,g］上的值域为［,73］....1。分

评分细则：

【1】第一问中皿的取值集合写成{s1s=3%+l#ez}或％%=3左+1},扣1分，即累计得

5分.

【2】第二问，求出一十Win（27+专）W,累计得9分,最后求出正确答案,累计得10分.

18.解：（1）因为cosA=%%所以殳m..............................3分

整理得a?+c2一加=“，

r-rtH7D<22+c2-Nac1L八

所以c°sB=2ac=荻=1,.............................................5分

又因为呢(0,兀)，所以B=g...................................................6分

(2)因为Z?2=a2+c2—2accosB,c=3,Z?=A/L3,

2

所以13=。2+9—3a9BPa—3a—4=0,.........................................8分

解得Q=4....................................................................10分

所以△ABC的面积S=：acsinB=《X3><4X?=3偌.......................12分

评分细则：

第一问另解：

因为cosA=―阳—，所以26cosA=2C—Q........................................1分

2b

由正弦定理得2cosAsinB=2sin(A+B)—sinA,

整理得2sinAcosB—sinA=0...................................................4分

因为sinA〉0,所以cosB=[...................................................5分

又因为BG(0,3所以口=拳...............................................6分

19.解：(1)当〃=1时,©=2ai—2,解得©=2......................................1分

==

当">2时，Sn2an—2,Sn—i2an—i—2,

两式相减得=2a〃_i,即旦-=2（"》2）,...................................................................3分

an—1

所以｛a,J是以2为首项,2为公比的等比数列，故a”=2”..................................................4分

设等差数列出"的公差为"，由仇+仇十仇=21,可得d=7,.............................................5分

又d=11,所以7+24=11,解得4=2,故勿=2"—1......................................................6分

（2）令金=g，则由（1）可知c“=为/，.........................................7分

则T”=[+贯+卷-I41,①

卜干②

1,8分

①一②，得J7.+（4+/十•••+•）2n—12〃-1=3

1-1

乙乙乙乙CJ2〃+i22"'.2"+i—5

2〃+3

11分

2"+i

所以T”=3一券其

12分

评分细则：

n

【1】第一J句，写出。1=2,得1分，写出an=2,累计得4分，写出d=7,累计得5分，求出=

2%—1,累计得6分.

【2】第二问，求出以="，累计得7分，求出［二=1■—黠,累计得11分，直到给出正

确结论得12分.

20.（1）证明：因为aPBC为等边三角形,D,0分别是BP,BC的中点，且BC=27I,所以DO=

BD=42,.....................................................................................................................................1分

所以AD=V3DO=76...........................................................................2分以

又AB=2,所以AB2+_BD2=AD,即..............4分D/\\

因为AB，BC,BCnBD=B，所以AB,平面PBC./TY,i\

又ABU平面ABC,所以平面ABC,平面PBC.............................5分

（2）解:连接PO,由已知可得POXBC,也二

又由（1）可知平面PBC,平面ABC,

所以P。，平面ABC.................................................................................................................6分

因为F为AC的中点，所以点C到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离.

在直角△ABC中，可知8/=受=避广=乃，..............................7分

在直角AABP中，可知BE=^=/8产=乃,..............................8分

因为EF是AACP的中位线，所以EF=券=竽=V2,ABEF的面积5小曲=£*鱼><

J—（#）2=彳...........................................................9分

设点A到平面BEF的距离为d,则三棱锥A-BEF的体积VA-BEF=与&.......10分

又AABF的面积SAABF=jX2X#=72，点E到平面ABF的距离为岑=*，所以三棱

锥E—ABF的体积心―谢=（乂耳〉、当=弓...............................11分

由字"二号，得即点C到平面BEF的距离为注贝.................12分

评分细则：

【1】第一问中，求出AD=y3DO=#4#2分，证出ABLBD,累计得4分，证出平面ABC,

平面PBC,累计得5分.

【2】第二问中，证出PO,平面ABC,累计得6分,计算出54回=彳，累计得9分,计算出

嶙―，累计得11分，直至正确求出点C到平面BEF的距离，累计得12分.

21.⑴解：/（了）的定义域是（0,+8）,/（Z）=2Z—8+q=2（f7"+1）............2分

令，（了）<0,解得2—乃Vz<2+偌；令，（了）>0,解得0<z<2—同或X>2+73.……

....................................................................3分

所以/（1）在（0,2一片）上单调递增，在（2一遍,2+片）上单调递减，在（2+西,+8）上单调

递增.......................................................................4分

（2）证明：因为/（e）+/（z为=7,所以21n（ii22）+若+后一8巧一8久2=7........5分

设夕（方）=ln,一方+1,定义域为（0,+8）,则口（/）=［一］=\_^................7分

当0«1时，“⑺>0用⑴单调递增；当1>1时，“⑴<0呼⑴单调递减.因此少⑴W

中（1）=0,所以Ini（方一1对任意的方〉0恒成立..................................9分

令t—x\+12（方〉0），有7=2111（11力2）+病+忌—8Kl—8力2-2+1彳+忌—8Kl—8生

=（11+力2）2—8（/1+12）—2,当且仅当11力2=1时，等号成立...................11分

因此产一8一920,即（方+1）（方一9））0,解得方>9,即办+处>9.................12分

评分细则：

【1】第一问，写出了⑴的定义域和r（z）=2z—8+2=23—47+1）,各得1分，第一问都

XX

正确，累计得4分.

【2】第二问，写出2111（乃］2）+田+忌一811—8久2=7,累计得5分，证出In方4一1对任意的

t〉0怛成立，累计得9分，写出7W(©+&)2—8(工1+小)—2,累计得11分,直至求出正确

答案，累计得12分.

【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.

22.解：(1)当a=l时，/Gr)=e丘t—41n(2")，所以/'(z)=4e*T—5，............................2分

/(/)=4e—8,/(《)=e,所以切线方程为、一e=(4e—8)(z—t),

即<y=(4e-8)i-e+4.................................................................................