2024年广东省高考数学一轮复习第9章：统计与统计分析（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第9章：统计与统计分析

I.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200

名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图).

一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀.

(1)根据频率分布直方图，估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；

(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数.

解(1)由样本的频率分布直方图可知，

在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020+0.008)X10=0.28,

则3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3000X0.28=840.

Qf)

(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为殁型=75,

平均数为

0.002X10X35+0.006X10X45+0.012X10X55+0.024X10X65+0.028X10X75+

0.020X10X85+0.008X10X95=71.2.

所以总体成绩的众数为75,平均数为71.2.

2.为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高预

防能力，做到科学防护.某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这

次问答,将他们的成绩(满分100分)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中“的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的中

点值代替)

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(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在［60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本,

再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在［70,80)内的概率.

解(1)由图可知，10X(2X0.005+a+0.02+0.025+0.03)=l,

解得a=0.015.

设中位数为X,

则0.05+0.15+0.2+0.03X(*—70)=0.5,

这100人问答成绩的平均数为

45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在［60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，

2

则问答成绩在［60,70)内的有车X5=2(人)，分别记为4,B；

3

问答成绩在［70,80)内的有了百X5=3(人)，分别记为a,b,c.

从中任意抽取2人，则试验的样本空间

Q={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},

共有10个样本点.

设事件4为2人的问答成绩均在［70,80)内，

则A={(〃，b),(a,c),(b,c)},共有3个样本点，

3

所以这2人的问答成绩均在［70,80)内的概率P(A)=而.

3.为弘扬劳动精神，树立学生”劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动

大比拼”活动.某班统计了本班同学1〜7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人

均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程;=£+4,y与x的原始数据如表所示：

月份X1234567

人均月劳动时间y89m12n1922

7

由于某些原因导致部分数据丢失，但已知2＞通=452.

/=1

(1)求〃?，〃的值；

(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).

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X-y

AAAA«=1A____A____

参考公式：在经验回归方程y=〃x+〃中，b=------------------,a—y—hx.

fr?-«T2

i=\

—1—1

解(1)由表知，x=yX(l+2+3+4+5+6+7)=4,y=yX(8+9+/n+12+/?+19+22)=

70+m+〃

7'

7_

所以编一7x2=l2+22+32+42+52+62+72-7X42=28,

i=\

7_______

7x-y10+m+n

AE452-7X4X---------

所以〃="，

Zx?-7X2

1=1

A

即加+〃=43—7b,①

因为经验回归直线恒过点(1,7),

70+/n+〃人।

所以--------=4〃+4,

A

即m+〃=286—42,②

"17

由①②，得b=干m+n—26,③

7

因为»通=8+18+3，〃+48+5〃+114+154=452,

1-1

所以3根+5n=110,④

由③④，得，”=10,n—16.

"17

(2)由(1)知，经验回归方程为y=*yx+4,

A17130

所以当x-6时，预测值y=^X6+4=亍，

1303

此时残差为19—

4.为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，

其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，

都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护

知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名

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居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1.将这200人按年龄(单位：岁)

分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

(2)把年龄在［15,45)内的居民称为中青年，年龄在［45,65］内的居民称为中老年，若选出的200

人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2X2列联表，并依据小概率值a=0.025的

独立性检验，分析阅读方式是否与年龄有关.

电子阅读纸质阅读合计

中青年

中老年

合计

____n(ad—bc¥____

附：/2=n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+J),

a0.150.10.050.0250.01

Xa2.0722.7063.8415.0246.635

解(1)由频率分布直方图可得10X(0.01+0.015+0+0.03+0.01)=1,

解得a=O.O35,

所以通过电子阅读的居民的平均年龄为

20X10X0.01+30X10X0.015+40X10X0.035+50X10X0.03+60X10X0.01=41.5(岁).

3

(2)这200人中通过电子阅读的人数为200X,=150,

通过纸质阅读的人数为200—150=50.

因为(0.01+0.015+0.035):(0.03+0.01)=3:2,

3

所以通过电子阅读的中青年的人数为150X］石=90,

中老年的人数为150-90=60.

2X2列联表为

电子阅读纸质阅读合计

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中青年9020110

中老年603090

合计15050200

零假设为Ho：阅读方式与年龄无关.

2

L士上运3，0、200X(90X30-20X60),,_

由表中数据，付/=1mvonv1;536.061>5.024=%o.o25>

11U入y\J入1，U入JV

所以依据小概率值a=0.025的独立性检验，推断Ho不成立，即认为阅读方式与年龄有关.

5.2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改

电用户大幅度增加.图1所示的条形图反映了某省某年1〜7月份煤改气、煤改电的用户数量.

y（万户）

5

4

3

21,021.131.21例泻禽如

”门口口向nnn

123456

图1

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

01234567f

图2

⑴在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份r变化的散点图，并用散点图

和样本相关系数说明y与f之间具有线性相关性；

（2）建立y关于/的经验回归方程（系数精确到0.01）,预测该年11月份该省煤改气、煤改电的

用户数量.

参考公式：对于一组数据（的，V\）,（W2,。2）,…，（«/:,%），其经验回归方程0=角+。的斜率

“___

Z(W/-U)(Vi—V)2的伪一〃U.V

Ai=[i=\A_A_

和截距的最小二乘估计公式分另U为4=------------------------=--------------------,a=v—pu.

4%•-U)~V2—2

cZ^u7~nu

i=\

77

参考数据：ZM=9.24,z砂产39.75,ZGLyA.0.53,市心2.646.

尸i尸i

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E(为一X)(y,-y)

/=1

样本相关系数r=

E(Xi-X)2SO',—y)2

i=li=l

解(1)作出散点图如图所示.

Z(6-7)(y,-7)=＞通一7=39.75-4X9.24=2.79,

i=l

所以个0.53X2X2.646「899.

y与，的样本相关系数近似为0.99,说明y与r的线性相关性相当高,

从而可以用线性回归模型拟合)，与/的关系.

—924

(2)由y=-y—=1.32,

£(t,-t)(y(—y)

A尸i27Q

又由(1)得b==28~0.10,

Z(ti~t)2

1=1

A____A____

a=y-htg1.32—0.10X4=0.92,

A

所以)，关于f的经验回归方程为y=0.92+0.10/.

A

将r=ll代入经验回归方程得了=0.92+0.10X11=2.02.

所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户.

6.在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.已知某地

区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：

年份(年)20152016201720182019202020212022

年份代码X12345678

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保有量y/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70

y/千辆

35

30

25

20

15

1()

5

012345678x

（1）根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断y=bx+a与哪一个更适合作为y

关于x的经验回归模型（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x

的经验回归方程;

⑵假设每年新能源汽车保有量按⑴中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降

的百分比相同.若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年底

传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽

车保有量.

参考公式：对于一组数据（〃],V\）f（W2,。2）,（小，Vn）9其经验回归方程。=例/+仪的斜率

y（4-u）（仍一v）z〃创―力u•v

A/=1尸1AA

和截距的最小二乘估计公式分另U为尸=-----------------=--------------,a=v—pu.

阜-u）-v—2

i=\

__888

参考数据:y=12.1,t=2.1,l>-?=204,£t»=613.7,由=924,其中ti=\nyit1g2^0.30,

/=1i=li=\

1g3^0.48,Ige20.43.

解（1）根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y=

AAA

ecr+J,因为，=lny,则E=cx+d,

__1