2022年高考物理一轮复习夯实核心素养-追及相遇问题和运动学图像（解析版）

第一章运动的描述匀变速直线运动的研究

1.3追及相遇问题和运动学图像

必备知识清单

一、追及相遇问题

1.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条

件，也是分析判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系,通过画草图找出两物体的忖间关系和位

移关系是解题的突破口.

2.临界法

寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最

大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.

3.函数法

设两物体在/时刻相遇，然后根据位移关系列出关于/的方程yw=o,若方程/w=o无正

实数解，则说明这两个物体不可能相遇：若方程./“)=()存在正实数解，说明这两个物体能

相遇.

4.图象法

(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则

说明两物体相遇.

(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.

5.特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.

二、运动图象的理解和应用

x~t和v-t图像的理解和应用

X-t图像V-t图像

纵轴一位移纵轴——速度

轴

横轴——时间横轴——时间

线运动物体的位移与时间的关系运动物体的速度与时间的关系

某点的斜率表示该点的瞬时速

斜率某点的斜率表示该点的加速度

度

点两线交点表示两物体相遇两线交点表示两物体在该时刻

速度相同

图线和时间轴所围的面积，表

面积无意义

示物体运动的位提

在纵轴上的截距表示1=0时在纵轴上的截距表示，=0时

截距

的位移的速度

命题点精析(一)追及相遇问题处理方法

1.实质

讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空

间位置问题.

(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到.

(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上(两者)距离最大、

最小的临界条件，也是分析判断的切入点.

2.追及问题的常见类型

(1)速度小者追速度大者

(2)速度大者追速度小者

类型图象说明

开始追及时，后面物体与前面

匀减物体间的距离在减小，当两物

速追体速度相等时，即时刻：

匀速①若Ar=％0,则恰能追上，

两物体只能相遇一次，这也

是避免相撞的临界条件

②若垓＜3,则不能追及，此

时两物体最小距离为%0-垓

③若颔＞%o,则相遇两次，

设"时亥UA町二九o,两物体

第一次相遇，则打时刻两物

体第二次相遇

注:%0是开始时两物体间的

距离

典型例题

H列14、8两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，4车在前，速度2=

10m/s,8车在后，速度%=30m/s.当8车发现/车时就立刻刹车.已知8车在进行刹车测

试时发现，若车以30m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800m才能停下，假设B车刹车

过程中加速度恒定.为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到（）

A.400mB.600m

C.800mD.1600m

【答案】C

【解析】解法一基本公式法

0-302

对8车，由运动学公式有0—O02=2OX,解得Cm/s2=-0.25m/s2,所以8车

2X1800

刹车的最大加速度为0.25m/s2,当B车速度减小到o=10m/s时，两车相距最近，此时8

v2—vB2v-vB

车的位移为jq=------,4车的位移t=-----,联立解得修=1600m,X=800

2aa2

m,能见度至少为Ar=X]—工2=80()m,选项C正确.

解法二相对运动法

0-302

对8车，由运动学公式有0—u02=2or,解得〃-----:—m/s2=-0.25m/s2,选4车为参

2X1800

考系，8车相对力车的初速度为%相对=%一〃=30m/s—10m/s=20m/s,相对加速度为一

0.25m/s2,当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后也不能相撞，所以此时

8车相对/车的速度为v相对=0,由运动学公式有。相对2—相对2=2ox相对，代入数据

得相对位移x相对=

800m,选项C正确.

解法三图象法

0-302

对6车，由运动学公式有0—。02=2衣，解得a=m/s2=-0.25rn/s2,作出

2X1800

A.8两车运动过程中的速度一时间图象如图所示，

图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有/=------=80s,当两车速度相等时相距

a

最近，此时两车不相撞，则以后也不能相撞，由。一/图象与时间轴所围面积表示位移可

I

知，图象中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则Xmin=5X(30—10)X80m=800m,选

项C正确.

【练1】】甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为n=8m/s,乙车在后，

速度为吃=16m/s,当两车相距蜀=8m时;甲车因故开始刹车，加速度大小为何=2

m/s2,为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

【答案】6m/s2

【解析】方法一：临界法

设两车速度相同时均为v,所用时间为工,乙车的加速度大小为山，则片一mf=v2—

vl+vv2+v

v,解得f=2s,”2=6m/s2,即f=2s时，两车恰好未相撞，显然此后

在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速

度至少为6m/s2.

方法二：函数法

甲、乙运动的位移：X甲=M/—凡》乙=也，一不。2?

避免相撞的条件为X乙一x甲

,1

即5（。2一田）於+（片一也）/+劭>。

代入数据有（生一2僻一16，+16>0

2-2

不等式成立的条件是：A=164x16（C/2-2）<0,且组-2>0解得a2>6m/s.

【练2】如图所示，Z、8两物体相距s=7m时，4在水平拉力和摩擦力作用下，正以为=4

m/s的速度向右匀速运动，而物体3此时正以g=10m/s向右匀减速运动，加速度Q=-2

m/s2,则4追上5所经历的时间是（B）

-----A------->

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/,

A.7sB.8sC.9sD.10s

［答案］B

1

［解析］由题意知，f=5s时，物体8的速度减为零，位移大小修=废/=25m,此时力

的位移均=〃f=20m,A、3两物体相距As=s+,3一必=7m+25m—20m=12m,再经

As

过Af=—=3s,4追上B,所以Z追上3所经历的时间是5s+3s=8s,选项B正确.

vA

命题点精析（二）运动图象的理解和应用

1.对运动图象的认识，应注意以下三点

（1）无论是x-f图象还是图象都只能描述直线运动.

（2）x-f图象和。-f图象不表示物体运动的轨迹，X、。与/---对应.

（3）一般试题中，关键点是根据斜率判断物体的运动状况，x-r图象的斜率表示物体运动

的速度，根据x“图象的斜率判断速度变化情况；。“图象的斜率表示物体运动的加速度，

根据v-t图象的斜率判断加速度的变化情况.

2.分析图象问题时应注意“六看”

一看“轴”Error!

二看“线"Error!

三看“斜率”Error!

四看"面积"Error!

五看“纵截距"Error!

六看“特殊点”Error!

K列2】在平直公路上行驶的a车和b车，其位移一时间（XY）图象分别为图中直线a和曲线

b,已知。车的加速度恒定且等于一2m/s2,f=3s时，直线a和曲线。刚好相切，则（）

8

A.a车做匀速运动且其速度为m/s

B.f=3s时a车和b车相遇但此时速度不等

C.f=ls时b车的速度为10m/s

D.f=0时“车和b车的距离xo=9m

【答案】D

【解析】x“图象的斜率等于速度，由题图可知，。车的速度不变，做匀速直

Ax8—2

线运动，速度为：va=--=----m/s=2m/s,故A错误；/=3s时，直线a和

△t3

曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时两车的速度相

等，故B错误；t=3s时，6车的速度为：vh=va=2m/s,设b车的初速度为

Vo,对6车，由％）+“/=w,解得：v（）=8m/s,则/=1s时b车的速度为：片,'=

v（）+a/i=8m/s—2x1m/s=6m/s,故C错误；/=3s时，。车的位移为；与=心

vO+vfe8+2

=6m,b车的位移为：x=------1=----x3m=15m,/=3s时，a车和b车

h22

到达同一位置，得：x0=xh—xcl=9m,故D正确.

【练314、8两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置一时间图象如图

所示，其中/是顶点过原点的抛物线的一部分，8是过点（0,3）的一条直线，两图象相交于

坐标为（3,9）的P点，则下列说法不正确的是（）

A.质点4做初速度为零、加速度为2m"的匀加速直线运动

B.质点8以2m/s的速度做匀速直线运动

C.在前3s内，质点4比5向前多前进了9m

D.在3s前某时刻质点Z、8速度相等

【答案】C

1

【解析】质点力的运动方程为x=]af2,则初速度为零，加速度”=2m/s2,故A正确；

Ar9-3

8直线的斜率表示速度，故质点6做匀速直线运动，质点8的速度为—=——m/s=2

Ar3

m/s,故B正确；在前3s内，质点5的位移为6m,质点力的位移为9m,质点4比3向

前多前进了3m,故C错误；t=1s时刻，质点A的速度为2m/s,质点B以v=2m/s的速

度做匀速直线运动，故D正确.

【练41

V

（多选）甲、乙两同学相约去参观博物馆。两人同时从各自家中出发，沿同

一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录

了他们在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速

度大小随时间变化的图线为两段四分之一圆弧，则（)

A.在4时刻，甲、乙两人速度相同

B.0〜々时间内，乙所走路程大于甲

C.在73时刻，甲、乙两人加速度大小相等

D.0〜〃时间内，甲、乙两人平均速率相同

［答案］BCD

［解析］因为两个人是相向运动的，说明运动方向相反，因此人时刻速度

方向相反，A错误；。一/图像的面积表示物体运动的位移大小，因此可得0〜2

时间内乙的路程大于甲的路程，B正确；o-f图像的斜率表示加速度，设交点

为力,则与时刻交点力恰好等分打〜〃的圆周，因此由几何关系可得过4点圆

v1

的切线的斜率和乙的斜率大小相等，都为一，C正确：通过观察可以看出甲的

t2

图像面积等于乙图像的面积，说明甲、乙的路程相等，则平均速率相同，D正

确。

命题点精析(三)非常规图像问题理解和应用

(\)a-t图象

由0=%+桃可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Z),如图5甲所示.

x

(2丁E图象

1x11一

由可得图象的斜率为于，如图乙所示.

|a/(m-s-2)

El

OF

甲

图5

(3)Z;2—X图象

由v1—v^=2ax可知v2=v()2+2ax,图象斜率为2a.

(4)x—u图象

1

x与。的关系式：2ar=02—%2,图象表达式：x=-^-v2—

该图线可以表示物体从小处匀加速

2.解题技巧

（1）用函数思想分析图象:

图象反映了两个变量（物理量）之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间

的函数关系，来分析图象的意义.

（2）要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度.

【例31

物体的运动图像并不仅限于x-f图像和。一，图像，还有如0-x图像、a—

/图像等，不同的图像可以从不同的角度反映物体的运动情况。某物体做直线运

动的炭一x图像①为速度，x为位置坐标）如图所示，下列关于物体从x=0处

运动至沏处的过程分析，其中正确的是（）

A.该物体做匀加速直线运动

v

B.该物体的加速度大小为。=:式

2Ao

C.该物体在位移中点的速度等于;。0

D.该物体中间时刻的速度大于1%

2

［答案］B

［解析］由匀变速直线运动的速度位移关系公式〃一加=2依可得°2=2G

+vQ,可以知道物体的加速度恒定不变，速度均匀减小，故物体做匀减速直线

运动，故A错误；由上式知，次一》图像的斜率大小等于2”，由图可得2a=:

,则得物体的加速度大小为4=——，故B正确；该物体在运动过程中的平均速

2Ao

oOoO

度为一，因为物体做匀减速直线运动，所以该物体中间时刻的速度等于一，物

22

体在位移中点的速度大于中间时刻的速度，所以物体在位移中点的速度大于万

,故C、D错误。

【练51

为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所

x

示，这是某动力车在刹车过程中位移和时间的比值-与/之间的关系图像，下列

t

说法正确的是（）

A.动力车的初速度为20m/s

B.刹车过程中加速度大小为5m/s2

C.刹车过程持续的时间为12s

D.从开始刹车时计时，经过8s,该车的位移大小为60m

［答案］B

x

［解析］由题图可得；=—2.5/+30（m/s）,根据匀变速直线运动的位移时间公

.1x1

式••-at2,得-=-af+o（），对比可得a=30m/s,a=-5m/s2o

2t2

即刚刹车时动力车的速度大小为30m/s,刹车过程动力车的加速度大小为

0—。0—30

5m/s2,故A错误，B正确。刹车过程持续的时间为/=------=-----s=6s,

a—5

v030

故C错误。整个刹车过程动力车经过6s,则8s内的位移为x=-f=—X6m

22

=90m,故D错误。

【练6】斜面长度为4m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度％从斜面顶端沿斜面

下滑时，其下滑距离x与初速度二次方“2的关系图象(即X—“2图象)如图12所示.

(1)求滑块下滑的加速度大小.

(2)若滑块下滑的初速度为5.0m/s,则滑块沿斜面下滑的时间为多长？

［答案］⑴2m/s2(2)1s

［解析］(1)由坨2=2ax推知，图线斜率为《，根据题图可知，

乙a

］1m

—:-----所以滑块下滑的加速度大小1=2m/s2.

2a4m2•s—2

(2)由题图可知，当滑块的初速度为4m/s时，滑块刚好滑到斜面

最低点，故滑块下滑的初速度为5.0m/s时能滑到斜面最低点.设

滑块在斜面上的滑动时间为t,贝!|x=x-4in,3=5m/s,解得t—\s,Z—4

s(舍去)

核心素养大提升

化抽象为直观一一应用图像法解决物理问题

(1)对于两个质点分别以不同的加速度运动，比较运动快慢问题时可作速度(速率)一时间图

象进行辅助分析，此时根据图象“面积”相等这一特征比较时间长短.

(2)所描述的物理量做非线性变化时，可先构建一个物理量与另一物理量的线性变化关系图

象，如“反比关系可转化为与倒数成正比”，然后应用“面积”含义或斜率的含义即可求解

具体问题.

【例41

如图所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，“、6两球由静止从顶端下滑，若球在

图上转折点无能量损失，则()

A.a球后着地

B.b球后着地

C.两球同时着地

D.两球着地时速度相同

［答案］A

［解析］在同一个。一，图象中作出。、6的速率一时间图线如图所示，由于开始运动时b

的加速度较大，则斜率较大；由机械能守恒可知末速率相等，故图线末端在同一水平线

上，由于两斜面长度相同，则应使图线与f轴围成的“面积”相等.结合图中图线特点可

知6用的时间较少，由此可知A正确，B、C、D错误.

【练7】在水平轨道上有两车力和3相距X,A车在后面做初速度为

。0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而3车同时做初速度为

零、加速度为。的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车

不相撞，求4车的初速度。0满足什么条件.(请分别用上述四种方

法求解)

A

人8

XA-

［答案］v()<y［6ax

［解析］要使两车不相撞，/车追上3车时其速度最大只能与5车

相等.设/、8两车从相距X到/车追上8车时，力车的位