2022年新高考数学必刷压轴题含答案（二）

专题21用数形结合法求解零点问题

【方法点拨】

1.函数的零点的实质就是函数图象与X轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数

问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.

2.分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线，要把构造“好函数”作为第一要务.

3.作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线(如渐进线)，以保证图像

的准确.

【典型题示例】

V

例1已知函数/(x)=<;若函数8(幻=/(幻一|庁一2耳(ZeR)恰有4个零点，则攵的取

一X,

值范围是()

一。0,-5)_(2及,+00)1-00,一U(。,20)

A.B.

C.(-a),0)(0,272)D.(-»,0)(272,+»)

【答案】D

【分析】由g(0)=0,结合己知，将问题转化为y=|日-2］与/1(幻=曾有3个不同交点，分

\x\

火=0#<0次>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程I厶-2=啓恰有3个实根即可,

\x\

令h(x)=曾，即y=|日一21与//(x)=的图象有3个不同交点.

I尤I丨*1

因为心告弋,x>0

x<0

如图1,y=2与〃(幻=乎?有2个不同交点，不满足题意；

当Z=0时，此时y=2,

\x\

当k<0时，如图2,此时y=|"一2|与厶。)=智恒有3个不同交点，满足题意;

\x\

当左〉()时，如图3,当y=奴-2与y—相切时，联立方程得f—丘+2=0,

令△=()得左2一8=0，解得上=2&(负值舍去)，所以上〉2&.

综上，上的取值范围为(-00,0)(2V2,4W).

本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化

为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次

方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.

e”，x<\

例2已知函数/(x)。,-----------,若函数g(x)=〃x)-Hx+2|有三个零点，则实数后

y—x~+4x—3,1<x<3

的取值范围是

1e

【答案】0,

e’3

e\x<l..

【解析】作/(x)=<,-----------与丁=%卜+2|图象,

"V—x?+4x—3,1<x<3

0

由△=(4公一4)2-4(左？+1)(4公+3)=0得二=丄Z>0,左=15,对应图中分界线①;

1515

由y=k(x+2),k>0,x>-2过点(l,e)得％=(，对应图中分界线②;

当y=-x+2),火>0,x>-2Vy=e，相切于时，因为y'=e"所以

左=*=%(4+2)左>0:./=—1,左=丄，对应图中分界线③;

e

1e

因为函数g(x)=/(x)-Hx+2|有三个零点，所以实数k的取值范I匕I是0,

e,3

故答案为:

例3已知函数/(幻=12一(帆+1)4-1与g(x)=]nx-2x-2机的零点分别为王，马和X3,.若

玉<当<工2<%，则实数m的取值范围是

【答案】1)

【分析】将问题转化为函数丁=加与函数/i(x)=x-丄-1和e(x)=1lnx—x交点的大小问题，作出函数图

x2

像，观察图像可得结果.

【解析】由/(x)=x2-(w+l)x-1=0.得m=x-丄-1,

X

对于函数力(无)=%-^一1,在(0,+8)上单调递增，在(-0,0)上单调递减,

由g(%)=ln%-2x-2)%=0,得加=；lnx-x,

对于e(x)=-lnx-x,y=———1=-一空得y='lnx-%在10,上单调递增，在[3,+8)匕单

22x2%2VJ

调递减，最大值为丄In丄一丄，其图像如图,

222

要西<巧<々<々，则直线y=机要在A点下方，

实数m的取值范围是(-oo,-l).

k(l—),x<0

例4已知函数/(尤)=《x,若函数g(x)=/(-x)+/(x)有且仅有四个不同的零点，则实数

x2-2k,x>0

发的取值范围是.

【答案】(27,+oo)

【分析】由g(x)=/(-x)+/(x)知，g(x)=/(—x)+/(x)是偶函数，研究“一半”，问题转化为

2k12

g(x)=/+——幺x>0有且仅有两个不同的零点，分离函数得一/=一一+1(%>0),两边均为基本

xkx

初等函数，当曲线在一点相切时，两曲线只有一个交点，利用导数知识求出切点坐标，当抛物线开口变

大，即函数值小于切点的纵坐标即可.

【解析】易知g(X)=/(f)+/(X)是偶函数，

2k

问题可转化为g(x)=/+——k,x>Q有且仅有两个不同的零点.

X

12

分离函数得上》2=一*+1(》>0),由图形易知%>0,

kx

12

问题进一步转化为y=7》2、y=一—+i(x>0)有两个交点问题.

KX

先考察两曲线相切时的“临界状态”，此时，两曲线只有一个交点

22

X。k

?1(i

则《一一+1=—%，解得/=3,切点为3,上

x0kI33

%>o

],1

再考虑两曲线有两个交点，当且仅当对于二次函数y=-f,当％=3时，其函数值y<—,即图象在

k3

3,丄]的下方

3丿

1,1

所以当一x3：〈一时，即人>27时，上述两个函数图象有两个交点

k3

综上所述，实数人的取值范围是(27,+oo).

点评：

1.本题解法较多，但利用“形”最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现“分分钟”解决也是可及的.

2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分

离参数的意识等，综合性强，较难把握.

3.利用“数学结合法”求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是“一静一动、一直一曲，

动直线、定曲线”，函数最好是基本初等函数：二是求解过程中的“临界状态”的确定，若是一直一曲，

一般相切是“临界状态”，若是两曲，一般公切是“临界状态”(曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的

两侧)

----Fmx~,x<0,

例5已知函数“幻=/若函数/(x)有四个不同的零点，则实数m的取值范围是

ex+tnx2,x>0,

【答案】(F,-d)

4

----Ftnx",x<0,.

【解析】/(*)={/是偶函数，问题转化为短+如=0,即/=-]渭(]>0)有两个零点

ex+nvc2,x>0

易知〃?<0,两边均为曲线，较难求解.

两边取自然对数，x=ln(-/?/)+2In,即x-ln(-m)=21nx

问题即为：g(x)=x-ln(-/w)与h(x)=21nx有两个交点

先考察直线y=x+b与〃(x)=21nx相切，即只有•点交点的“临界状态”

设切点为(%,21n/),则〃($)=2=1,解得％=2,此时切点为(2,21n2)

代入4>=21n2-2，再求g(x)=x-ln(-⑼与〃(%)=21nx有两个交点时，m的取值范围

山图象知，当g(x)=x-ln(-加)在直线y=x+b卜•方时，满足题意

故-1n(-/n)<6=21n2-2,解之得机<一?，此时也符合机<0

所以实数m的取值范围是(-8,-二).

4

点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲"，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.

例6若函数/(》)=丄也一"3有三个不同的零点，则实数k的取值范围为____________

x+2

77

【答案】(-00,------)u(0,+oo)

32

【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要

因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：旦=依?

x+2

-^—=kx\埠=%(x+2),丄=丁(：：2)…但利用丄较简单

x(x+2)x3k|x|k|x|

【解析】易知0是函数f(x)=豊-丘3一个的零点，

当x#0时，/•(.=旦_履3=0可化为：=2),考虑丫=丄与g(x)=*E2有且只有两个非

x+2kxkx

零零点.如下图,

21kk32

所以实数左的取值范围为(YO,-g)U(0,+8).

例7已知函数/(x)=ln(e2W-4+i),g(x)=|x|+a-2.若关于x的方程/(x)=g(x)有四个不相等的实

数解，则实数。的取值范围是.

【答案】(ln2,ln(e4+l)-2)

【分析】从结构上看，首先考虑“对化指"，方程ln(e纲Y+l)=W+a—2=e2叶4+1一/卜吋2=0,属于

复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设〃。)=6纲"+1一朋+。-2,xeR,则〃(X)为

偶函数，研究“一半”，令，=e»,x>0,则关于t的方程*一e“f+l=O在(e“，+8)内有两个不相等

的实根，分离参数，利用“形”立得.

【解析】方程/(%)=g(x)oln(e2MY+1)=冈+a-2=e2W-4+l-eH+fl-2=0

令訳%)=6"4+1_朋+。-2,xeR则显然〃(无)为偶函数，

所以方程/(%)=g(无)有四个实根。函数A(x)=e2i+i—e…,QO有两个零点，

令/=e'—2,x>0>则关于/的方程/—e"f+1=0,

即e"=1+丄在(e-2,+8)内有两个不相等的实根，

t

结合函数y=f+Lr>e-2的图像，得2<e“<e2+e-2,

t

即In2<a<ln(e4+1)-2,则实数〃的取值范围是(in2,ln(e4+1)-2).

【巩固训练】

1.已知函数/(x)=a(2a—1)/_(3。-l)(x+2/+(x+2/有四个零点，则实数。的取值范围是

x2+x+l,x>0

x

2.已知函数f(x)=<e1,双幻二机百乂其中根是非零实数臬若函数了=/(x)与函数y=g(x)

—I—e',%<0

、x2

的图象有且仅有两个交点，则机的取值范围为.

2elnx,x>0

3.已知函数/(%)=(，，若函数g(x)=/(x)-ax2有三个不同的零点，则实数。的取值范围是____.

x+x9x<0

4.已知e为自然对数的底数，若方程|x/〃x—ex+e|=mx在区间［丄/］上有三个不同实数根，则实数机的取值范

e

围是.

5.已知关于x的方程一W—=依有三个不同的实数解，则实数4的取值范围是____

x-2

1x1

6,已知关于x的方程」丄=收3有三个不同的实数解，则实数女的取值范围是.

光+3

7.若函数/(幻=2/-"2+1(“GR)在(0,+00)内有且只有一个零点，则/(X)在［—1,1］上的最大值与最小

值的和为.

8,若函数/(幻=优一%-。(。>0),且awl)有两个零点，则实数。的取值范围是.

9.已知函数/(x)=e'—2x+a有零点，则实数a的取值范围是.

10.已知函数/(x)=ar,g(尤)=処丄其中。为实数.若关于x的方程〃x)=g(x)在上有两个

实数解，则实数。的取值范围为.

ax+|x+2］,x<0

11.已知函数/(x)=111,若函数g(x)=/(l—尤)+/(x—1)有且仅有四个不同的零点，则

x3,x>0

实数a的取值范围是.

3

12.已知函数/(x)=|x-a|-3+a,awR,若关于x的方程/(x)=2有且仅有三个不同的实根，且它们

成等差数列，则实数。取值的集合为

【答案与提示】

1.【答案】D

【提示】/(幻=[优一(x+2)][(2a—1)/—(％+2)],根据对称性，只需考察0'=；。+2)有两个零点,

0<a<e

得0<a<e,故有{0<2。—l<e,前两者是保证两方程各自有两解，这里(*)易漏，它是保证两方程解

。w2。-1*

不相同的.

2.【答案】(og11,3)

+X+1

------；----,x>0

【提示】转化为函数/(x)=(/与函数G(x)=m的图象有且仅有两个交点最简.

—,x<0

X2

3.【答案】(0,1)U{—2}

2e\nx八

—―,^>0

【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为y=a与函数以幻=有两个不同的零点.

X+—,X<0

X

4.【答案】e---2,e2)

e

【解析】方程两边同时除以X，令，(x)Inxe.£,问题转化为y|/(x)|与y/«的图象在区间[丄,打

xe

上有三个交点.

.•.当x(丄,e)时，f(x)0,/.(x)减；当x(e,/)时，f(x)0,/'(x)增.

e

故当xe时，/(x)取得极小值，且/(e)2e0.又八1)0,/(-)e10,

/Je20

作出y的图象，由图象知实数加的取值范围是：e，2,e2).

5.【答案】0<^<-

2

【解析】人=1--L,x<o,画图得出发的取值范围.

x—2

R,x=O

6.【答案】左>0或亜<—L

4

【提示】参见例6.

7.【答案】一3

8.【答案】a>\

9.【答案】(-00,2In2-2]

10.【答案】

11.【答案】（2,+oo）

【提示】设力(x)=/(-x)+/(x),则g(x)=/(l—x)+/(x-l)y[—(x-l)]+/(x—l)=/z(x-l)，故g(x)

有且仅有四个不同的零点，即等价于/z（x）=/（-x）+/（X）有且仅有四个不同的零点,

即「一帆+|2—4=0,f>o有两个零点

2

z2+——1,0<r<2

思路一：（全分）

t2--+1,t>2

思路二：（半分）—ut=—12—f|,z>0

4答案】旧,扌

【提示】变形为|》一4+”=2+3转化为丁=卜一耳+a与>=2+3有且仅有三个不同的交点，而函数

X

y=|x-a|+a的图象是定点在直线y=x上、开口向上的V形折线.

专题22三点共线充要条件的应用

【方法点拨】

在平面内，。尸,。4,。3是不共线向量，设。尸=》0厶+），。8。,y€/?）,p、A、8三点共线ox+y=l

说明:

1.上述结论可概括为“起点一致，终点共线，系数和为1”，利用此结论，可求

交点位置向量或者两条线段长度的比值.

2.当条件中出现共起点的两个向量的线性组合时，应往三点共线方向考虑，特别的，当系数和不是

“1”时，应化“1”.

3.遇到条件“两条线段相交于一点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置.

【典型题示例】

例1在△48C中，AB=4,AC=3,N8AC=90。,。在边8C上，延长力。到P,使得/P=9,若

【分析】条件/>4=〃"8+(|-〃?)「(7屮向量共起点，可联想到三点共线，但其系数和不是1,应先变形为系

数和是1的情形，求出AO=3.继而，在二ACO直接利用余弦定理或直接利用一ACO是等腰一角形求出其

底边CO.

3222

【解析】PA=mPB+(Q-m)PC可化为=+

3

当mW0，且W—时

2

・・.及D,C三点共线

2

:,一PA=PD,故0P=6,AO=3,

3

3

在LACD,AD=AC=3,COSZCAD=-

]Q

CD=2ACxcosZCAD=—.

5

a

当m=0时.，PA=-PCCO亜合，此时CD的长度为o,

29

3Q

当机=一时，PA=』PB,氏。重合，此时PA=12，不合题意，舍去.

22

1Q

故答案为：。或

例2在AABC中，E为AC上一点，AC=3AE，P为BE上任一点，若

31

AP=mAB+nAC(m>0,n>0)>则—I—的最小值是()

mn

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出，〃、〃间的等量关系，再使用基本不等式求解.

B

AEC

【解析】因为AC=3AE,AP-mAB+nAC

所以AP=mAB+3nAE

又因为8、尸、E三点共线

所以〃?+3〃=1

所以3+丄=（上+丄］（相+3〃）=即+'+622、隹•生+6=12,当且仅当加=3〃时，“=”成立

mnymnJntn\mn

31

所以士+一的最小值是12.

mn

例3已知点"是边长为2的正,.ABC内一点，且AM=XA3+〃AC，若/L+"=g,则W8・MC的

最小值为.

【答案匚

3

［分析］凑系数使其代数和为1，AM=/LA5+〃AC=3/l（；A5）+3〃（gAc）取厶£=；厶8、

AF=^AC'即AM=34AE+3〃A/，而34+3〃=1可得加、E、尸三点共线.再由极化恒等式得

MBMC=MD2~\BC2=MD2-1（其中〃是比的中点），=2厶。=亚，所以加E时。的最小值

nun33

例4在平面直角坐标系xQy中，A和8是圆C:(x—l『+y2=l上两点，且=点P的坐标

为(2,1),则|2PA—的取值范围为.

【答案】[V5-V2,V5+V2]

【分析】设2PA-PB=PD,

则丄PO

22

如图，延长8A至。，使AO=A6

为求12PA—P©=|2斗的取值范围，只需求点D的轨迹.

遇到圆的弦想中点、垂径定理，取AB中点为E,设。(x,y)

R込CDE中,CE=4Z,DE二胆,故CD=6，即。的轨迹是以。为圆心，、后为半径的圆

22

.•.|P£>|e[V5-V2,V5+V2],即12P4-PB\的取值范围为[石—仓石+J可.

点评：(1)本题的关键是:逆用三点共线的充要条件，构

造出向量P。，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；

(2)遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”：

(3)已知条件不变，若所求变为求|3PA-尸司的取值范围，此时应设3PA-PB=2P£>,则

12

PA=—PB+—PD,想一想，为什么？

33

例5若。是锐角A5C的外心，AB6,AC1(),AOxAByAC,2xWy5,则

cos.BAC

【答案】丄

3

2251

【分析】由2x10y5得gx，2y1,将A。xAByAC变形为AO-x.(-AB).2y(-AC)-

如图，作AO-AB,AE-AC,则£＞、。、E三点共线，RO£AC.

22

在&ADE,AD15,AE5,故cosBAC

3

A

48=3,厶。=1,且卜厶3+3（1-丸）厶4（/1€/?）的最小值为¥，若P为边

例6已知A4BC中,

AB上任意一点,则PB-PC的最小值是.

【答案】-三25

16

【解析】由条件2AB+3（1-2）AC=2AB+（1-2）（3AC）,

设3AC=AO,则/IAB+3（1—4）AC=4A8+（l_/l）Ar）,其系数和为1

设XAB+3（1—4）4C=AE,则AE=4A8+（1—/L）AZ）,故5、D、£三点共线

由plAB+3（l—/QAcR/leR）的最小值为苧，即点A到B力的距离是手

7t

故A

3

△ABC中，由余弦定理得3C=q,设BC的中点为。，由极化恒等式得PB-PC=|PO]—（，而

\PO\.

IImin4

OS

.•./vrPC的最小值是一二.

16

【巩固练习】

1.如图，在..A3C中，已知点。是延长线上一点，点E是AO的中点，若BC=2CD,且

3

AE=AAB+—AC,则a=.

DE=-EC

2.如图，在平行四边形A8CD中,2尸为8c的中点，G为线段EF上一点，且满足

7

AG=-AB+mAD

9,则实数m=()

A-B.-cD

33-4-l

D

3.正方形ABCD的边长为1,0为正方形ABCD的中心，过中心0的直线与边AB交于点M,与边CD交

于点N,P为平面上一点，满足20P=203+(1-4)℃,则PM-PN的最小值为.

4.在平面直角坐标系xQy中，46是圆C:x2-4x+_/=o上两动点，且/3=2,点尸坐标为(4,、6),

则13丽一2日|的取值范围为.

5.已知一厶6。中，边上的中线CM=2,若动点尸满足AP=gsiMe.AB+cos2e.AC(eeR),则

(PA+PB^PC的最小值是.

31

6.在四边形ABC。中，48=8.若ZM=2CA+丄C3,则

44

7.在ZV18C中，D为线段NC的中点，点E在边8c上，且AE与BD交于点、O,则仍等于()

111111

就

加

企

-祀B--c--

444-4A&2-2-r

8.在厶48。中，过中线4)的中点E任作一直线分别交48,/C于M,N两点，设戒=入勘，AN^yAC(xy^0),

则4x+y的最小值是.

9.在中，点。是BC的三等分点，|。4=2]。司，过点。的直线分别交直线A8,AC于点E,F,

[,8

且A5=mAE,AC=〃AF(m>0,〃>0),若一+一的最小值为一，则正数f的值为()

mn3

811

A.1B.2C.-D.—

33

,,3

10.已知点「是_ABC的外心，且CPmCAnCB,-m.2n1(m,HR),若C42CB,则cosC

的值为

【答案与提示】

丄

1.【答案】4

【解析】因为E是AD的中点

133

所以AE=—=+—AC,即AO=2/LA8+—AC

242

31

因为B、C.。三点共线，所以2彳+—=1,2=——.

24

2.【答案】力

【分析】从。、E、尸三点共线入手，将AG用AE、AE线性表示，再转化为目标向量,比较系数即可.

【解析】VD,E、F三点共线

/.AG=ZAE+(\-X)AF(其中0M/141)

XAE=AD+DE=AD+-AB,AF=AB+BF=AB+-AD

32

所以AG=4(AO+；ABj+(l-4)(4B+gAoJ=^^AB+^^Ar>

3-247

3-9?

所以，解之得2=4,选4

1+23

-------=m

2

7

3•【答案】一记

［解析】根据题意，20P=WB+(1-A)OC,A2OP的终点在线段BC上,

：.\2OP\>^,：.\OP\121

>—,，OP>—；

416

又。是MN的中点，；.OM+ON=0,

41V21

OMON>—x—xcos7r=——

222

：.PM-PN=（OM-0P）（ON-0P）

OMON-OP（OM+0N）+0P2>---0+—=

21616

7

PM-PN的最小值是一77•

16

4.【答案】［V7,3>/7］

【简析】设3P8-2PA=P。，则P8=2pA+丄PO,

33

如图，BD=2AB,设。(x,y)

则RfaCDE,由勾股定理得CO=2J7,故卜。卜［",35］.

5.【答案】-2

【分析】由AP=sin2夕［；ABJ+COS?AC=sin26AM+cos，6AC可得p在线段CM上，故

PA+PByPC=2PM-PC=-2\PM\-\PC\,而1PMl+忸。卜。11=2,有基本不等式立得.

【解析】由AP=gsin2e-AB+cos2e.AC(ewA),得AP=sii?6AM+COS?OAC，

因为si/e+cos?”］，所以P在线段CM上

所以(PA+P8)-PC=2PM.PC=-2pMHpq,

又因为|PM|+|pq=CM=2,

।..,f|PM|+|pc|Yill,

则p叫pq«J—LJ_।=1(当且仅当|PM冃pq,即p为cw中点时，"=”成立).

\/

故仅A+PB、PC的最小值是-2.

6.【答案】—16

31

【解析】由一C4+—C8中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”

44

31

设£为厶3上一点，且BE=3AE,则

44

所以CE=D4,则四边形AECD是平行四边形，。。=£4

所以ABCO=ABEA=—16.

7.【答案】A

【解析】如图，设劝=爲友＞0),

又助=#+；就=,赤+g祀,

22

又B,O,。三点共线，.•・？+"=1,

...2=1，...而港+：花.

8.【答案】I

【解析】由。为5c的中点知，力=夕&+；就,

又論=.丫孙，俞=”?t(xyrO),E为力。的中点，

故港=扱)=*五必+七;冰，

VM,E,N三点共线，.*.**%=1,

.•.4x+)，=(4x+刃售+%)=%+"+(

>2A庐+，=2,

一、4xy十44'

当且仅当%=*即x=*时取等号.

9

.\4x+y的最小值为了

9.【答案】B

2/77/77/77/7

【分析】利用平面向量的线性运算法则求得4。=—AE+—AF,可得一+-=1,则

3333

丄+丄/冽+父仕+丄］展开后利用基本不等式可得丄+丄的最小值为

mn133八加n)mn

IfQ

一+一的最小值为一列方程求解即可.

mn3

【解析】

因为点0是BC的三等分点，|℃|=210,则

AO=AB+BO^AB+-BC=AB+-AC--AB=-AB+-AC^—AE+-AF,

3333333

9777H

又由点瓦0,尸三点共线，则——+—=1,

33

丄+丄=1書+/）（丄+丄）

mn\33n丿133

当且仅当2勿广=〃2时，等号成立,

即---1--的最小值为

mn

解可得f=2或一18(舍)，故，=2,

故选：B.

亠3

10.【答案】-

8

【提示】解法同例5.

专题23极化恒等式

【方法点拨】

极化恒等式：a-b=^a+b)2

说明：

(1)极化恒等式的几何意义是：设点。是△/外边8c的中点，则

ABAC=\AZ)|2--\BC^AD2-BD2,即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差.

4

(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一

种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙

结合.

(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.

【典型例题】

例1如图，在△ABC中，。是BC的中点，E,F是AQ上两个三等分点，8A.e4=4,BFCF=-\,

则BECE的值是.

A

BDC

【答叫

【解析】设=DF=y

22

由极化恒等式得BACA=ABAC=AD-BD=9y2-%2=4,

BFCF=FB-FC=FD-BD=y1-x1=-1

.72-22_135

解之得可得9〃~-'=4,a-1/=-{,因此y2=±,

8.8

24x5137

2

因此BE-CE=EB-EC=E。"-8。=4V2-x=----.

'888

点评：

紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.

例2已知\ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则PA.（2PB+PC）的最小值为.

7

【答案】

【分析】本题的难点在于如何将2P8+PC“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3,可利用三点

共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.

21

【解析】设2PB+PC=3尸£>，则尸。+力在8c上

所以PA.（2PB+PC）=3PA.PD

如图，取8c中点为E,由极化恒等式得

A2128

在右厶8£>,由余弦定理得A。?=4庁+瓦）2-2ABBDcosZABD=4+--2-2------=—

9329

所以当卜耳=0,即尸为AO中点时，（尸4「£>\=-（

7

所以PA.QPB+PC）的最小值,此时P为4。中点.

例3如图所示，矩形/8CZ）的边Z8=4,AD=2,以点C为圆心，C8为半径的圆与C。交于点E,若点P

是圆弧£8(含端点3、E)上的一点，则万PB的取值范围是.

【答案】[8-8衣0]

【分析】取AB的中点设为O,则PA-PB=\PO^-^AB^=|PO|2-*44,然后利用平几知识确定PO的取值范

围，代入即可.

【解析】取48的中点设为O,则尸4尸3=卩0『一：,3『=00『一4,

当。、P、C共线时，PO取得最小值为「0=2五一2；当尸与8(或£)重合时，PO取得最大值为

PO=2,

所以P4-PB的取值范围是[8-8逝,0].

例4半径为2的圆。上有三点48,C,满足QA+A8+AC=0，点P是圆内一点，则PAPO+PB+PC

的取值范围是()

A[-4,14)B.(-4,14]C.[-4,4)D.(-4,4]

【答案】A

【分析】直接两次使用极化恒等式即可.

【解析】由OA+A3+AC=()得AB+AC=AO

在平行四边形A60C中，OB=OC，

故易知四边形A80C是菱形，凫BC=C

设四边形ABOC对角线的交点为E

2122

由极化恒等式得尸4Po=PE--AO=PE-1

4

2122

PBPC=PE——BC=PE-3

4

所以尸A•PO+PB+PC=2PE-4

因为P是圆内一点，所以OW|Pq<3

所以一442尸£2_4<14，即一4WPO+P3+PC<14，选4

例5在△48C中，/C=28C=4,ZACB为钝角，M,N是边上的两个动点，且"N=l,若CMCN

3

的最小值为一，则cosNZC8=.

【答案］上亘5

3

【分析】取的中点P,由极化恒等式将“C