新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用） 平面向量的概念及线性运算2

专题32平面向量的概念及线性运算

知考纲要求

识

考点预测

梳

理常用结论

方法技巧

题题型一：向量的基本概念

型

归题型二：平面向量的线性运算

类

题型三：平面向量共线定理的应用

训练一：

培

训练二：

优

训练三：

训

练训练四：

训练五：

训练六：

强

单选题：共8题

化

多选题：共4题

测

试填空题：共4题

解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

【考点预测】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量

的方向.向量感的大小就是向量的旨度(或称模)，记作曲.

(2)零向量：长度为0的向量,记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向和回或曲反的非零向量.向量4,〃平行，记作4〃儿规定：0与任

一向量平行.

(5)相等向量：长度相笠且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

C

(1)交换律：

求两个向量和三角形法则a+b=b+a.

加法

的运算BaQ(2)结合律：

日(a+〃)+c=a+(〃+c)

OA

平行四边形法则

求两个向量差

减法a-b=a~\-(—b)

的运算

三角形法则

规定实数2与

(1)网=回回；

向量4的积是

(2)当%>0时，2a的方向入(ua)=；

一个向量，这

数乘与”的方向相一回；当义<0(%+“)。=Aa+ua；

种运算叫做向

时，施的方向与4的方向Ra+力)=

量的数乘，记

相反;当2=0时，觞=。

作知

3.共线向量定理

向量a(aWO)与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使b=；.a.

【常用结论】

1.中点公式的向量形式：若尸为线段的中点，。为平面内任一点，则决=：(晶+5方).

2.OA=AOB+fiOC^,〃为实数)，若点4B,C共线，则％+〃=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向;

二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

【方法技巧】

1.平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移

混淆.

(4)非零向量4与*的关系：6是与4同方向的单位向量.

1«11«1

2.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反

向量将加减法相互转化.

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及

三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向

量线性表示.

3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加

法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

4.利用共线向量定理解题的策略

(1)。〃劝(AW0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即〃，B,C三点共线=港，病共线.

(3)若a与b不共线且脑=曲，则2=〃=0.

(4)而=2/反(九〃为实数)，若/,B,。三点共线，则2+〃=1.

二、【题型归类】

【题型一】向量的基本概念

【典例1】(多选)给出下列命题，不正确的有()

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若4B,C,。是不共线的四点，且冠=虎，则四边形为平行四边形

C.的充要条件是同=|加且a〃方

D.已知九〃为实数，若痴=〃〃，则”与8共线

【典例2】(多选)下列命题正确的是()

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若m8都为非零向量，则使3+与=0成立的条件是。与〃反向共线

1«11*1

D.若a=b,b=c,则a=c

【典例3】对于非零向量a,b,“a+b=0”是的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【题型二】平面向量的线性运算

【典例1】设非零向量，，〃满足|。+〃=|4一创，则（）

A.a±hB.\a\=\b\

C.a//bD.|a|>|Z>|

【典例2】在△4BC中，BD=^BC,若加=a,AC=b,则疝等于（）

A.-a+-6B.-a+-Z>

3333

12,21,

Cr-a—bDn~a—b

3333

【典例3】在等腰梯形中，AB=2DC,点E是线段比的中点，若能=%成+/应），则2

+〃=.

【题型三】平面向量共线定理的应用

【典例1】设两个非零向量”与力不共线.

（1）若前=a+/>,BC=2a+Sh,CD=3（a-h）,求证：A,B,。三点共线；

（2）试确定实数左，使而+〃和。+助共线.

【典例2】已知向量a与〃不共线，AB=a+mb,AC=na+h（m,«ER）,则成与k共线的条

件是（）

A.加+〃=0B.m—〃=0

C.mn+1=0D.mn—1=0

【典例3】已知尸是△Z8C所在平面内的一点，若无=加+而,其中2CR,则点P一定在（）

A.△Z8C的内部B./C边所在直线上

C.边所在直线上D.8C边所在直线上

三、【培优训练】

【训练一】庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美

的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P,Q,R,S,T

为顶点的多边形为正五边形，且彳=与1.下列关系中正确的是（）

A1幺

A.BP-TS=^：^-RSA1=*

B.CQ+TP=/5+1(3

22

C.ES~AP=^^-BQD.AT+BQ=^^-CR

【训练二】若2为十为十3配=0,SA40。，53。分别表不八/1。。,/\ABC的面积，则孔/oc:SYBC

【训练三】如图，在△N8C中，和=2贬,P是8N上一点，若还=虚+:匕

33

则实数t的值为.

【训练四】经过△OZB的重心G的直线与04,。8分别交于点P,Q,设9

=mOA,OQ—nOB,m,«GR+.

(1)证明：工+」为定值;

mn

(2)求m+n的最小值.

【训练五】经过△048的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,0,设成=加①，OQ=nOB,

m,〃£R*.

(1)证明：工+1为定值；

mn

(2)求m-\-n的最小值.

【训练六】已知0,A,8是不共线的三点，且分=加为+〃油(加，MGR).

(1)若〃?+〃=1,求证：A,P,3三点共线；

(2)若4P,3三点共线，求证：m+n=\.

四、【强化测试】

【单选题】

1.若。，〃为非零向量，则“当=乡”是%，力共线”的()

1«1冏

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.设。=(养+的)+(比+而)，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是()

A.a//bB.a+b=a

C.a+b=bD.|a+ft|=|a|+|A|

3.如图所示，在正六边形/BCOEE中，法+⑦+砺等于（）

4.已知平面内一点P及△Z6C,若再+两十斤=懑，则点尸与△ZBC的位置关系是（）

A.点P在线段上点P在线段BC上

C.点尸在线段ZC上点P在△N8C外部

5.已知O是正方形Z8CD的中心.若及）=选+〃充，其中九RGR,则△=（）

A.-2B.一

2

C.一/D.也

6.矩形的对角线相交于点。，E为NO的中点，若读=痴+〃疝（九〃为实数），则3

+户=（）

A.-B.-C.lD.—

8416

7.在中，点M为ZC上的点，且疵=；流，若麻=2瓦1+〃反:，则〃的值是（）

11?

B.1C.-D.-

233

8.如图，在平行四边形Z8CZ）中，E为8c的中点，厂为。£的中点，若静=丫养+3在，则

x等于（）

【多选题】

9.下列选项中的式子，结果为零向量的是（）

A.AB+BC+CA

B.AB+MB+BO+OM

C.OA+OB+Bb+Cb

V>.AB-AC+BD-Cb

10.（多选）下列说法中正确的是（）

A善+或=0

B.若同=|臼且4〃〃，则a=Z>

C.向量“与〃不共线，则。与〃都是非零向量

D.若a〃儿则有旦只有一个实数九使得〃=助

11.（多选）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若加=为+」无，则点"是边8C的中点

22

B.若/防=2懑一衣，则点M在边8C的延长线上

C.若/而=一的一面，则点M是的重心

D.若施=x养+屈:，旦x+y=J则△M8C的面积是△Z8C面积的g

12.点P是△Z8C所在平面内一点，且满足|丽一元|一|丽+龟-2丽=0,则△/8C不可能

是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【填空题】

13.若瀛|=|就|=|成一充|=2,则|成+病尸.

14.已知e”e2为平面内两个不共线的向量，MN=2e\-3ei,NP=Xe\+6ei,若M,N,P三点、

共线，贝！U=.

15.已知口Z8CZ）的对角线NC和8。相交于点O,且晶=a,OB=b,则灰=,BC=

.（用a,b表示）

16.在直角梯形NBC。中，N/=90。，ZS=30°,AB=208c=2,点£在线段CO