2023年高考全国乙卷数学（理）高考真题解析（参考版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学

一、选择题

L设z=—,则>)

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.设集合U=R,集合用=｛也＜1｝,N={A|-1VX<2},则{小22}二()

A.N)B.N

C.Q/MN)D.M6N

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的

表面积为（）

A.24B.26C.28D.30

4.已知〃幻=_丐二是偶函数，则。=

)

e-1

A.-2B.-1C.1D.2

5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（兑力|14/+丁＜4｝内随机取一点，记该点

JT

为4则直线。A的倾斜角不大于［的概率为（）

A."BD

8-:-i

6.已知函数/（©=sinM+0）在区间信,当单调递增，直线x=2和＞多为函数

5J63

y=〃x）的图像的两条相邻对称轴，则/［喑）=（）

A.B.--C.ID.B

2222

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1

种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

8.已知圆锥PO的底面半径为右，。为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，ZAOB=120°,

若.2针的面积等于晅，则该圆锥的体积为()

4

A.nB.娓兀C.3万D.3娓兀

9.已知ABC为等腰直角三角形，A8为斜边，△48。为等边三角形，若二面角

C-A8-。为150。，则直线C。与平面ABC所成角的正切值为()

A.-B.—C.3D.-

5555

10.已知等差数列｛。“｝的公差为整，集合S=｛cos帅eN*｝，若S=｛叫，则而=()

A.-1B.--C.0D.!

22

11.设A,B为双曲线犬-看=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(TT)

12.已知。的半径为1,直线雨与》。相切于点4,直线PB与O交于B,C两点,

。为8C的中点，若|PO|=也，则P4PO的最大值为()

.l+y/2„1+2血

22

C.1+72D.2+V2

二、填空题

13.已知点A(l,6)在抛物线C：丁=2后上，则A到C的准线的距离为.

x-3y<-\

14.若x,y满足约束条件,x+2y&9,则z=2x-y的最大值为.

3x+y>7

15.己知｛《,｝为等比数列，a2a4%=%4，“&=-8,则%=.

16.设。40,1),若函数〃x)="+(l+4在(0,+0上单调递增，则a的取值范围是

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每

次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用

乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的仲

缩率分别记为士，y,(i=l,2,…,10).试验结果如下：

试卷第2页，共4页

试验序号i12345678910

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率y；536527543530560533522550576536

记马=x,.-x0=1,2,--,10),记卬Z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为一.

⑴求I，/；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有

显著提高(如果1*2点，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的

橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)

18.在一中，已知N84C=120。，AB=2,AC-1.

(1)求sinNABC；

(2)若。为8C上一点，且N84£>=90。，求△AOC的面积.

19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2近，PB=PC=娓,BP,

AP,BC的中点分别为O,E,O,AD=45DO,点尸在AC上，BF1AO.

(1)证明：£广〃平面A。。；

(2)证明：平面A£>O_L平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

20.已知椭圆C:/+J=l(a>b>0)的离心率是手，点A(—2,0)在C上.

⑴求C的方程；

(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点，直线ARAQ与y轴的交点分别为M,N,证明:

线段MN的中点为定点.

21.已知函数/(x)=g+a)ln(l+x).

⑴当a=T时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求a,6的值，若

不存在，说明理由.

(3)若在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

四、选做题

【选修4-4】(10分)

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

(yr兀、[x=2cosa

线G的极坐标方程为夕=2sin。了4。4彳，曲线C”(a为参数，

(42J[y=2sina

—<a<n).

2

(1)写出a的直角坐标方程；

(2)若直线y=x+〃?既与G没有公共点，也与没有公共点，求机的取值范围.

【选修4-5】(10分)

23.已知/(力=2国+卜-2|.

(1)求不等式/(x)«6-x的解集；

(2)在直角坐标系x0y中，求不等式组八所确定的平面区域的面积.

[x+y-6<0

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共钝复数的定义确定其共辗复数即可.

2+i2+ii(2+i)2i-l

【详解】由题意可得z==l-2i,

l+i2+i5-1-1+i-i2

则彳=1+2i.

故选：B.

2.A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{xlxN2}即可.

【详解】由题意可得MN={x|x<2},则6（MN）={x|xN2},选项A正确；

6M={x|xNl},则N_Q/M={x|x>—1},选项B错误；

MN={x|-l<x<l},则4（A7cN）={x|x4T或x?l},选项C错误；

Q,,N={x|x4—1或xZ2},则MQ,N={x|x<l或XN2},选项D错误；

故选：A.

3.D

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其

表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体A8CO-A耳GR中，AB=6C=2,44=3,

点K为所在棱上靠近点耳,G,。,A的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-AEC.去掉长方体CW/C「用之后所得的

几何体，

答案第1页，共21页

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形,

其表面积为：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（lxl）=30.

故选：D.

4.D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为〃“=资1为偶函数，则,壬_（三二可/二彳'）［=0,

又因为x不恒为0,可得/-产山=0,即e"=e（"T）x,

则x=(a-l)x,即l=a—1,解得a=2.

故选：D.

5.C

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛（苍）'）|14/+^44｝表示以0（0,0）圆心，外圆半径R=2,内圆半径r=l

的圆环,

则直线04的倾斜角不大于;IT的部分如阴影所示，在第一•象限部分对应的圆心角ZMON=%7T

44

a1

结合对称性可得所求概率pJ?tX41.

r=------=—

37t4

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入X=-泊即可得到答案.

【详解】因为/（x）=sin（ox+0）在区间

答案第2页，共21页

T27rTTJr27i

所以5,一％=5,且则75,卬=7=2,

当x=5时,/（X）取得最小值，则2二+°=2®一1,keZ,

662

贝!]/(x)=sin(2x-g),

则右？®-2—,keZ,不妨取Z=0,

6

故选：D.

7.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即

可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有CI种情况,

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里,选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C1A；=120种，

故选：C.

8.B

【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出

体积作答.

【详解】在二AOB中，ZAOB=120°,而04=08=6，取A8中点C,连接OC,PC,有

NA8O=30,0C=也,AB=2BC=3,由./A8的面积为％,得，x3xPC=%§,

2424

答案第3页，共21页

解得PC=¥，于是尸O=Jpc。-OC：=自当2-4)2=屈,

所以圆锥的体积yugTrxOAZxpOugnxG/^ZxJ^Mj^t.

故选：B

9.C

【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【详解】取AB的中点E,连接CEDE,因为.ABC是等腰直角三角形，且A8为斜边，则

有CEJ.AB,

又△ABO是等边三角形，则DE1AB,从而NCED为二面角C-4?-。的平面角，即

ZC£D=150,

显然。£<^。石=瓦。£。后匚平面0)£：,于是A82平面CQE,又A8u平面ABC,

因此平面CDEL平面ABC,显然平面CDEc平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE，则直线C。在平面ABC内的射影为直线CE,

从而NCCE为直线8与平面ABC所成的角，令AB=2,则CE=1,OE=百，在，CDE中,

由余弦定理得:

CD=y/CE2+DE2-2CE-DEcosZ.CED=

DECD

由正弦定理得即sinNDCE=瓜喧°=半，

sinZDC£一sinNCEDV72V7

显然NQCE是锐角,cosNDCE=>/l-sin2ZDCE=

所以直线CO与平面ABC所成的角的正切为立.

5

故选：C

答案第4页，共21页

10.B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元

素分析、推理作答.

【详解】依题意，等差数列{”"}中，%=4+(〃-1)•与=与〃+(4-与)，

显然函数丁=8$[127〃r+(4-127)r]的周期为3,而〃右N",即cosq,最多3个不同取值，又

{cosa〃|£N*}=[a.b],

则在cosq,cosa2，cos%中，cosa]=cosa2cosa3cosa}cosa2=cosa3,

27r27rjr

于是有cose=cos(6d---),即有。+(，■)---)=2lat,keZ,解得。=A兀——,keZ,

333

所以AeZ,ab=cos(E-—)cos[(far-—)+—J=-cos(far--)coslat=-cos2kitcos—.

333332

故选：B

11.D

【分析】根据点差法分析可得心/％=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐

项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设义.y）,8优,外），则AB的中点例（土产,入产），

一+%

可得加江，

X,-X2X]+-X4-X2

2

2

2A-

X92

\~XO

因为A3在双曲线上，则,2=

&-

%2-9

所以3MM=44=9.

玉F

对于选项A：可得&=1,心B=9,贝iJA3:y=9x-8,

y=9x-8

联立方程，y2,消去y得72X2-2X72X+73=0,

X---=1

9

此时△=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,

答案第5页，共21页

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左=-2，L=-Q,则"：丫=-y-],

(95

y=—x-

联立方程:22,消去y得45d+2x45x+61=0,

JC2--=I

9

此时A=(2x45『-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得k=3,勤=3,则A8:y=3x

由双曲线方程可得。=1力=3,则AB:)，=3尤为双曲线的渐近线，

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=4,kAB=-,则43:丁=^X一W,

’97

联立方程｛2，消去y得63/+126%-193=0,

y1

x2--=1

9

此时△=1262+4x63xl93>0,故直线A3与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

12.A

【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得P4PO

=；——sinf2a-，或PA-PD+-^1然后结合三角函数的性质即可确定

PAP。的最大值.

【详解】如图所示，|。4|=1,|。^=血，则由题意可知：4PO=45,

由勾股定理可得PA=Jo产一OT=)

A

答案第6页，共21页

当点4。位于直线尸O异侧时，设NOPC=a,04a4二,

则：PA.po=|PA|"P0cos[a+£

=lx>/2cosacosa+—

I4；

=V2cosa——cosa------sina

v22/

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.c

-----------------sin2a

22

0<a<-Ull]-<2a--<-

4f444

jrjr

二当2。-7=-二时，P4PQ有最大值1.

44

当点4。位于直线PO同侧时，设NOPC=a,04a4二,

则：PAPD=\pA\\pD\cos^a

=1x5/2cosacosa--

=V2cosa卫cosa+*sinc

22

=cos2a+sinacosa

1+cos2a1..

--------十—sin2a

22

-兀

2aH•一

224

答案第7页，共21页

0<a<-9则上2a+R2

4442

••・当2。+:=彳时，PA•PD有最大值1.

422

综上可得，％.p。的最大值为匕巫.

2

故选：A.

【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值

的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.

13.-

4

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为

x=-|,最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

4

【详解】由题意可得：（6J=2pxl,则2p=5,抛物线的方程为V=5x,

准线方程为x=6,点A到C的准线的距离为1-J]]=g.

4I4J4

9

故答案为：—.

4

14.8

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-y,移项得y=2x-z,

x-3y=-l»,[x=5

联立有，解得.

x+2y=9[y=2

设A（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，贝I"最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

答案第8页，共21页

【分析】根据等比数列公式对〃2%%=〃3。6化简得。闻=1，联立4Mo=-8求出/=_2,最后

得a?=%q•a，=d=-2.

【详解】设｛。〃｝的公比为以4工0)，则。2。4〃5=%。6=。2夕，。5夕，显然《产。，

则％=/，即4/=/,则qq=l,因为《)q()=-8,则・%/=-8,

则4"=年)=一8=(-2)3,则q'=-2,则%=%q-q5=q5=-2,

故答案为：-2.

16.号”

【分析】原问题等价于_f(x)=a'lna+(l+“)*ln(l+a"0恒成立，据此将所得的不等式进行

恒等变形,可得(詈Jz-缶,由右侧函数的单调性可得实数〃的二次不等式,求解

二次不等式后可确定实数”的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得/'(月=优14+(1+4)%(1+4)20在区间(0,+8)上恒成立,

则(l+a)'ln(l+a)“优Ina,即(手)2-谭力在区间(0,+8)上恒成立,

故(詈)W；；%,而a+l«l，2),故ln(l+a)>0,

故呼+1)—即乎+1)21,故且

结合题意可得实数a的取值范围是

答案第9页，共21页

故答案为:

17.(l)z=ll,$2=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出7,5,再得到所有的z,值，最后计算出方差即

可；

(2)根据公式计算出2点的值，和三比较大小即可.

■、……、_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548<…

［详解］(Dx=-------------------------------------------------=552.3,

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+5363

y=--------------------------------------------------=541.3o,

10

z=x-y=552.3-541.3=ll,

4=%一斗的值分别为：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

,(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

$_=------------------------------------------------------------------------------------------

10

(2)由(1)知:彳=11,2焉=2向=故有222尾,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

18.(1)应；

14

⑵得

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=6,然后由余弦定理可得cos8=%自，

14

最后由同角三角函数基本关系可得sinB=@；

14

(2)由题意可得乎3=4,则据此即可求得△ADC的面积.

,△ACD5

答案第10页，共21页

【详解】(1)由余弦定理可得:

BC2=cr=lr+C1-2Z?ccosA

=4+1—2x2xlxcos120=7,

Ir~tz2+c?2—b"7+4—15\/7

则mBC=V7,cosB=--------------=----------7==-----,

lac2x2xV714

sinZABC=Jl-cos"=j-||=答.

q—xABxADxsin90

(2)由三角形面积公式可得瞪皿----------------=4,

,△ASLxACxAZ)xsin30

2

-^x2xlxsinl20x/3

贝US^AC/>=WABC=W*

lo

19.⑴证明见解析:

(2)证明见解析;

⑶g

2

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODE尸为平行四边形，再利用线面平行的判定推理

作答.

(2)法一：由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.

法二：过点A作z轴，平面R4C,建立如图所示的空间直角坐标系，设尸(x,y,z),所以由

PA=y/\4

-PB=>/6求出P点坐标，再求出平面A。。与平面8EF的法向量"],〃2，由〃1・%=0即可证

PC=娓>

明；

(3)法一：由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解

作答.法二：求出平面ADO与平面ACO的法向量，由二面角的向量公式求解即可.

【详解】(1)连接DE,0F,设AF=tAC,则BF=BA+AF=(1-/)BA+tBC,AO=-BA+JBC,

BFLAO,

121,

则BF4。=[(1T)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(r-l)BA+-tBC2=4(f-1)+4t=0,

22

答案第II页，共21页

由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点,

于是DE//A8,O£'=』AB,0F//A8.0F='A8,DE//OF,DE=OF,则四边形O£)EF为

22

平行四边形,

EF!IDO,EF=DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以所〃平面ADO.

(2)法一：由(1)可知所〃。。，则AO=#,OO=亚，得40=0=叵

22

因此。。2+4。2=4。2=?,则。短，AO,有EFJ.AO,

又AOLBF,BFEF=F,平面

则有AO，平面班F,又AOu平面A3。，所以平面AQO,平面3EF.

法二：因为过点A作z轴，平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系,

A(2,0,0,),8(0,0,0),C(0,20,0),

3.15

/…DB2+AB2-DA22+4~T1

在ABDA中,cosNPBA=--------------------=--------台=一一r=,

2DBAB△~网

2x2x——V6

2

在中,PA1=PB2+AB2-2PB-ABcosZPBA=6+4-2A/6X2=14,

>A=V14(x-2)2+y2+z2=14

设尸(x,y,z),所以由-P8="可得：，x2+y2+z2=6

PC=>/6(y-2及)+z2=6

可得：x=-l,y=&,z=G,所以P(-1,0,G),

，所以心字.、，

1V2@厂(1,3,0),

则力~2，~T'~T

7

答案第12页，共21页

40=（-2,拉,0）,4。=''等,乎

设平面4）。的法向量为勺=（%,加4）,

-2x+'fly=0

”「AO=0y]

则<得5叵币）

〃「

AO=0-ix'+Tyi+TZ|=0

令玉=1,则y=0，4=G，所以%

BE=g,¥,等,BF=（1,0,O）

设平面BEF的法向量为%=（々，必，z?），

-BE-0—x,+y+-z,=0

则，得〈2-222*,

n,-BF=0/Tn

[x2+\J2y2=0

令x「2,则为=-&,Z2=0,所以“=（2,-及,0）,

nyn2=2xl+>^xf->/2j+0=0,

所以平面A。。J_平面BEF；

p

（3）法一：过点。作0H//3/交AC于点”，设AOBE=G,

由AO_L8F,得”O_LAO,^.FH=-AH,

3

又由（2）知，O3LAO,则NOCW为二面角。-AO—C的平面角,

因为E分别为PB,PA的中点，因此G为aRAfi的重心，

|113

即有。G=-AO,GE=—BE,又FH「AH,即有£>〃=2G尸，

3332

答案第13页，共21页

/315

+o4+6—PA?__/Z

cosZABD=-----石=2x2x解得PA=g，同理得BE=型,

2x2x——X2

2

于是+E尸=8产=3,即有gE_L£F,则GF?/'逅1+f—=",

3223

从而GF泻，DH彳呼泻

1n

在△O。“中，OH=-BF=—,OD

22

63_£5

于是cosZDOH=4=一浮

2x加xJ32

22

所以二面角。-AO-C的正弦值为变.

法二：平面4)0的法向量为勺二(1,四,6),

平面ACO的法向量为%=(0,0,1),

所以cos如史丽=布布。，

因为［0,兀］,所以sin(勺,％)=11-cos?如4)

故二面角D-AO-C的正弦值为也.

2

■y22

20.(1)21+上x=1

94

(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意列式求解〃，4*进而可得结果;

(2)设直线P。的方程，进而可求点〃,N的坐标，结合韦达定理验证生产为定值即可.

答案第14页，共21页

b=2a=3

解得

【详解】(1)由题意可得"="+C，2b=2

c\[5c=45

e=—=——

a3

22

所以椭圆方程为E+上=1.

94

(2)由题意可知:直线PQ的斜率存在，设PQ:y=«(x+2)+3,Pa，y),Q(w，%),

y=k（x+2）+3

联立方程y2x2,消去y得：（4公+9）d+8M2k+3）x+16（F+3k）=0,

194

则A=64k2（2"+3）2—64（4储+9）（公+3*）=-1728）1>0,解得k<0,

可得皿―吟'-华手

因为4（一2,0）,则直线AP:y=^^（x+2）,

令x=o,解得y=-^,即M（O,4],

%+2（\+2）

同理可得N[0,序）

2yl।2y2

则不+2々+2_[4（芭+2）+3][氏5+2）+3]

2%+2%+2

[%+（2左+3）]（天2+2）+[5+（2R+3）]（为+2）2kx}x2+（4攵+3）（%+/）+4（2%+3）

（%+2）（9+2）西9+2（西+X2）+4

32M■+3火）8%（4&+3）（2%+3）

=4公+9——4r+9+秋2«+"=哑=3,

16（公+3&）16%（2%+3）36

4r+94/+9+

所以线段MN的中点是定点（0,3）.

答案第15页，共21页

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某

些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论.

21.(l)(ln2)x+y-ln2=0；

⑵存在满足题意，理由见解析.

⑶

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切

点坐标，最后求解切线方程即可；

(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利

用特殊值法可得关于实数”的方程，解方程可得实数”的值，最后检验所得的是否正确

即可；

(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)="2+x-(x+l)ln(x+l),然

后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论“WO,“NJ和0<a<g三中情

况即可求得实数。的取值范围.

【详解】⑴当。=一1时，外力=6-1］皿》+1),

则f'(x)=__yxln(x+l)+f--1\—^―-,

xIX)X+1

答案第16页，共21页

据11匕可得〃l)=0J'(l)=_ln2,

函数在(1J。))处的切线方程为y-0=-ln2(x-l),

即(ln2)尤+y—ln2=0.

(2)由函数的解析式可得/(£]=(》+。加&+1),

1I1

函数的定义域满足：+1=蔓r>。，即函数的定义域为(9,-1)5°，”)，

定义域关于直线X=-1对称，由题意可得人=-:，

22

由对称性可知

取〃可得/(1)=/(-2),

即(a+l)ln2=(a-2)lng,则a+l=2—a,解得a=；,

经检验a=!力满足题意，故〃=!力=_：.

2222

即存在：满足题意.

22

(3)由函数的解析式可得尸(x)=(-g)ln(*+l)+&+a)±，

由/(尤)在区间(0,+巧存在极值点，则尸(x)在区间(0,+©)上存在变号零点；

令(一扑(》+1)+(海岛=0，

贝!|_(1+1)1口(工+1)+卜+加)=0,

令g(力=0¥2+工一(工+1)山(1+1),

/(X)在区间(0,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，

g，(x)=2ar-ln(x+l),g"(x)=2<a--匕

当时,g'(x)<0,g(x)在区间(0,+e)上单调递减，

此时g(x)<g(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上无零点，不合题意；

当2a*l时，由于贵<1，所以g*(x)>0，g'(x)在区间(。,+8)上单调递增,

所以g'(x)>g'(0)=0,g(x)在区间(0,+s)上单调递增，g(x)>g(0)=0,

答案第17页，共21页

所以g(x)在区间(0,+8)上无零点，不符合题意;

当0<a<!时，由g〃(x)=2a---L-=0nj#x=-!--1,

20''x+12a

当xe(0,1-1)时，g"(x)<0,g〈x)单调递减，

当左.(-1,+00)时，g"(x)>0,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g'[5-l)=l-2a+ln2”，

—Y+1

令=1-x+lnx(0<x<1),贝ij=-...>0,

函数机(x)在定义域内单调递增，w(x)<///(1)=0,

据此可得1-x+Inxv0恒成立,

则l)=1_2a+ln2a<0,

4k/?(x)=lnx-x2+x(x>0),则/(x)=-2."-I

x

当X£(0,l)时，川(力>0,。(力单调递增,

当时，/7'(x)<0,/i(x)单调递减，

故〃(x)/⑴=0,即Inx4V_x(取等条件为%=1),

所以g'(x)=2ar-ln(x+1)>2or-[(x+1)'-(x+1)J-2ar-(x2+xj,

,2

^(2«-l)>2a(2a-l)-[(2a-l)+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点%.

当XG(0,%)时,g[x)<0,g(x)单调减,

当xw(M，+oo)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g($)<g(o)=o.

令"(x)=lnx一五，则"(x)==2/,

则函数〃(x)=Inx-4在(0,4)上单调递增，在(4,物)上单调递减,

所以〃(x)4〃(4)=ln4_2<0,所以lnx