课后培优练：8.3 实际问题与二元一次方程组（解析版）

姓名：班级8.3实际问题与二元一次方程组全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022·江苏·七年级专题练习）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是（）﹣3y14xA．15 B．17 C．19 D．21【答案】D【分析】根据题意列出两条等式，求出x，y的值即可．【详解】根据题意可得:，解得，x+2y=5+2×8=5+16=21，故答案为：D．【点睛】本题考查了方程组的实际应用，与代数式求值，掌握列方程组的方法是解题的关键．2．（2021·浙江·杭州第十四中学附属学校七年级期中）小明郊游时，早上9时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午2时．若他走平路每小时行4km，爬山时每小时走3km，下山时每小时走6km，小明从上午到下午一共走的路程是（

）A．5km B．10km C．20km D．答案不唯一【答案】C【分析】本题是求小明从上午到下午一共走的路程，也就是山路和平路往返各一次．在这些路程里有山路，有平路，都是未知的，所以要设它们未知数．设平路有xkm，山路有ykm．本题只包含一个等量关系：走山路时间+走平路时间=2+12-9．（走山路时间包括上山所用时间和下山所用时间，走平路时间包括往返两次平路时间）．据此列出方程，求出x+y值即可．【详解】解：设平路有xkm，山路有ykm．则，解，得x+y＝10，∴2（x+y）＝20，故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程的应用．本题设了2个未知数，只有一个等量关系．先尝试去做，可以发现答案就在这一个等量关系里．所以在做数学题的时候，不放弃也是一种方法．整体思想的运用是解题的关键．3．（2022·四川成都·八年级期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】据题意可得等量关系：人数×8-3=物品价值；人数×7+4=物品价值，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设有x人，物品价值y元，由题意得：，故选：D．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．4．（2021·重庆巫溪·七年级期末）巫镇高速是重庆“三环七联线”的重要组成部分，由中铁十二局承建．为修临时便道，现有A型和B型卡车运送材料，A型、B型两种卡车每次运货的重量的比是3：10，5辆A型卡车和4辆B型卡车一次能运33吨材料．设每辆A型卡车每次可运吨材料，每辆B型卡车每次能运吨材料，则可列方程组（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】A型、B型两种卡车每次运货的重量的比是3：10；5辆A型卡车和4辆B型卡车一次能运33吨材料，分别列出两个方程．【详解】解：由A型、B型两种卡车每次运货的重量的比是3：10，可得，即；由5辆A型卡车和4辆B型卡车一次能运33吨材料，可得；故选：C.【点睛】本题考查列二元一次方程组，找到等量关系是列出方程的关键．5．（2022·山东济南·八年级期末）某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组：（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．【详解】解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，下列方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长=1个长+3个宽，②一个长+一个宽=80cm，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意，得故选：C．【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．7．（2021·全国·七年级专题练习）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（

）A．20 B．22 C．23 D．25【答案】C【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，∴解这个方程组为：，∴大壮的得分为：．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．8．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻9：0010：0011：30里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是6是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0则10：00时看到里程碑上的数是（

）A．15 B．24 C．42 D．51【答案】D【分析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，解得：，∴9：00时看到的两位数是15．10：00时看到里程碑上的数是故选：D【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．9．（2021·四川省巴中中学八年级期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（

）A．6台 B．7台 C．8台 D．9台【答案】B【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论．【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，依题意，得，解得：，∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同时开动7台机组．故选：B．【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．10．（2021·河北·保定市第十七中学八年级期末）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有（

）种购买方案．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设甲种运动服买了x/套，乙种运动服买了y套，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可．【详解】解：设甲种运动服买了x/套，乙种运动服买了y套，根据题意得：20x+35y=365，解得：y=，当x=6时，y=7；当x=13，y=3，则购买方案有2种，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找出方程的正整数解是解本题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．【答案】15【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，由题意：，解得：，∴此时哥哥的年龄是15岁，故答案为：15．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键．12．（2021·山东·胶州市第七中学八年级阶段练习）图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒______只和横式纸盒______只，恰好使库存的纸板用完．【答案】

20

40【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，解此方程组即可求得．【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只，根据题意得：，由得，，解得，把代入得，，解得，故做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为20只、40只，故答案为20，40．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组无解，则______．【答案】−【分析】根据加减消元法消去y，得到x，因为方程组无解，所以令分母等于0，使这个解无意义，则原方程组无解．【详解】解：，①×2得：2mx＋6y＝18③，②×3得：3x−6y＝3④，③＋④得：（2m＋3）x＝21，∴x＝，∵方程组无解，∴2m＋3＝0，∴m＝−．答案为：−．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用消元法求得x的值．14．（2022·辽宁锦州·八年级期末）某工厂去年的利润（总收入总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了，总支出比去年减少了，今年的利润为780万元．设去年的总收入为万元、总支出为万元，根据题意可列方程组___．【答案】【分析】设去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，列方程组即可．【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元，由题意得，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键在于能够正确理解题意．15．（2021·广东·湛江市雷阳实验学校七年级阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元，问共有几个人购买此物品？设有人共同购买，则列出的方程是_________________________【答案】【分析】设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组即可．【详解】解：设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，依题意，得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．（2022·山东青岛·八年级期末）为加快“智慧校园”建设，我市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？设今天每套A型一体机的价格是x万元，B型一体机的价格是y万元，根据题意可列二元一次方程组为_____________．【答案】【分析】根据每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，可以列出相应的二元一次方程组．【详解】解：设今年每套A型一体机的价格是x万元，B型一体机的价格是y万元，由题意可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．17．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________．【答案】【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可．【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5则根据图2可得：．故填．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键．18．（2022·重庆巫溪·七年级期末）A，B两地相距的路程为300千米，甲、乙两车沿同一路线从A地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车出发30分钟时距离A地30千米，此时乙车出发．乙车出发45分钟时追上了甲车，两车继续行驶，途中乙车发生故障，修车耗时1小时．随后乙车车速比修车前减少40千米/小时，但仍保持匀速前行，两车同时到达B地．乙车修好时，甲车距离B地还有__________千米．【答案】75【分析】分别求得甲乙两车刚开始的速度和后来乙车的速度，再根据题目中的数据列方程组求解即可解答本题．【详解】解：甲车速度为：30÷=60(千米/小时)，设乙车速度为v，则，∴v=100(千米/小时)，乙车故障后速度为v1=100-40=60(千米/小时)，设乙车故障前走了x1小时，修好后走了x2小时，∴，解得：，∴乙车从出发到修好故障共时：(分钟)，此时甲车行驶了：(千米)，∴300-225=(千米)，故答案为：75．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，抓住路程、速度、时间之间的关系，列出方程组是解决问题的关键，同时还要注意问题的全面考虑．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2022·北京·101中学七年级开学考试）列方程（组）解应用问题：“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：月份销售量/件销售额/元冰墩墩雪容融第1个月1004014800第2个月1606023380求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．【答案】“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为元、元【分析】分别设出冰墩墩和雪容融的单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．【详解】解：设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为、元，则，解方程组得：，答：“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为元、元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，读懂题意，列出方程组是解题的关键．20．（2022·辽宁锦州·八年级期末）2022年北京冬奥会期间体育中心将举行短道速滑比赛，观看短道速滑比赛的门票分为两种：种门票600元张，种门票120元张．某旅行社为一个旅行团代购部分门票，若旅行社购买，两种门票共15张，总费用5160元，求旅行社为这个旅行团代购的种门票和种门票各多少张？（要求列方程组解答）【答案】旅行社为这个旅行团代购种门票7张，种门票8张【分析】设旅行社为这个旅行团代购A种门票张，种门票张，利用总价单价数量，结合“旅行社购买A，两种门票共15张，总费用5160元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设旅行社为这个旅行团代购A种门票张，种门票张，依题意得：，解得：．答：旅行社为这个旅行团代购A种门票7张，种门票8张．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．21．（2022·山西晋中·八年级期末）盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒，共6瓶．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒3瓶，B种酒3瓶；乙盲盒中装了A种酒1瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件240元，乙盲盒的成本价为每件160元．(1)A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元；(2)商家为回馈新老客户，计划所有的盲盒售价都为每件299元，请你再直接写出一种盲盒装箱的方案（题中两种方案除外），使它的成本价不高于299元．【答案】(1)A种酒的成本价为每瓶60元，B种酒的成本价为每瓶20元(2)盲盒中可以放A种酒4瓶，B种酒2瓶。【分析】（1）设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，根据“甲盲盒中装了A种酒3瓶，B种酒3瓶；乙盲盒中装了A种酒1瓶，B种酒5瓶；甲盲盒的成本价为每件240元，乙盲盒的成本价为每件160元”即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据盲盒成本价不高于299元举例即可．(1)解：设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元．由题意可知，解得：答：A种酒的成本价为每瓶60元，B种酒的成本价为每瓶20元(2)解：举例：盲盒中可以放A种酒4瓶，B种酒2瓶．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．22．（2022·河南·郑州一中国际航空港实验学校八年级期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上KN95等防护型口罩出现热销．已知3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元．(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．【答案】(1)一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；(2)小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，4个B型口罩【分析】（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，根据“3个A型口罩和4个B型口罩共需47元；2个A型口罩和3个B型口罩共需34元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．(1)设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，依题意，得：，解得：，答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；(2)设可以购买m个A型口罩和n个B型口罩，依题意，得：5(1+40%)m+8n=160，∴，又∵，均为正整数，∴或，∴小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购买16个A型口罩，4个B型口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．23．（2022·山东济南·八年级期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据题意，得小华同学：设整治任务完成后，m表示，n表示；得请你补全小明、小华两位同学的解题思路．(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程．【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米【分析】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可；（2）选小明同学所列方程组解答即可．(1)解：小明、小华两位同学提出的解题