重点突围：专题02 平行线的性质在生活中的应用（解析版）-人教七下期中综合复习

七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题02平行线的性质在生活中的应用【典型例题】1．（2021·浙江上城·七年级期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°【解析】【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，又∠HDE=90°，∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．（2）如图所示，设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，即∠DMN-∠CDM=45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．【专题训练】选择题1．（2021·广西宾阳·七年级期中）为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使得DEBC，如果，则的度数是（）A．149° B．159° C．31° D．62°【答案】A【解析】【分析】直接根据平行线的性质进行解答即可．【详解】解：∵DE∥BC，∠ABC=31°，∴∠ADE=∠ABC=31°，∴∠BDE=180°-31°=149°，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．2．（2022·全国·七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，∵，∴，，∵，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解析】【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，∵EF⊥平面镜，∴CD//EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGCAGB60°＝30°，∴α＝30°．故选：B．【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．4．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°．【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵CD∥OB，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，∴∠2=55°；∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．5．（2021·河北沧县·七年级期中）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【解析】【分析】设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设灯旋转的时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，灯先转动2秒，灯才开始转动，，即，由题意，分以下三种情况：①如图，当时，，，，，，即，解得，符合题设；②如图，当时，，，，，，即，解得符合题设；③如图，当时，，，同理可得：，即，解得，不符题设，舍去；综上，灯旋转的时间为1秒或秒，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键．二、填空题6．（2021·江苏工业园区·七年级期中）如图,C点在A点北偏东方向，C点在B点的北偏东______．【答案】40°【解析】【分析】过点C作BM的平行线CE，利用平行线的性质分别求出∠ECB和∠ACE，相减即可．【详解】解：如图，过点C作BM的平行线CE，由题意可得：∠CAN=20°，∠CBM=60°，∵CE∥BM，∴∠ECB=∠MBC=60°，∵AN∥CE，∴∠ACE=∠CAN=20°，∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=60°-20°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了方向角，平行线的性质，角的和差，解题的关键是作出辅助线，利用平行线的性质求解．7．（2021·河北滦州·七年级期末）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【答案】120【解析】【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，由题意可知，∠ABF=90°，∵∠ABC=150°，∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，∵BF∥CD，∴∠FBC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．故答案为：120．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．8．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，第一次拐弯处的，那么第二次拐弯处的________．【答案】140【解析】【分析】根据平行线的性质直接求解．【详解】解：由平行线的性质得：∠B=∠C=140°．故答案为：140．【点睛】本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行，内错角相等．9．（2021·湖南岳阳·一模）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，则__°．【答案】25【解析】【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．【详解】解：∵，∴．∵，∴．故答案为：25．【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．10．（2021·广东白云·七年级期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是______【答案】116【解析】【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．故答案为：116．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．三、解答题11．（2021·全国·七年级）如图，在、两处之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．（1）地修公路的走向应该是；（2）若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，试求到公路的距离？【答案】（1）地所修公路的走向是南偏西；（2）12km【解析】【分析】（1）根据平行线的性质的性质可得到结论；（2）求得∠ABC=90°即可得到结论．【详解】（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知地所修公路的走向是南偏西．故答案为：南偏西．（2），，地到公路的距离是千米．【点睛】此题考查了方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．12．（2021·全国·七年级课时练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，，（1）猜想和有什么关系，并进行证明；（2）求证：．【答案】（1），证明见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明．（2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明．【详解】解：（1）根据题意可知，∴（两直线平行，内错角相等）.（2）∵，∴；∵，，∴，∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．13．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）七年级期末）如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．【答案】（1）15秒；（2）秒；（3），．【解析】【分析】（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A．由题意得：2t＝30，解得：t＝15，答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A．（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行，解得：x＝，答：A灯转动秒，两灯的光束互相平行．（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b，90秒时第二次平行，由题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30，解得：a＝，b＝答：a，b的值分别为，．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．14．（2021·全国·七年级专题练习）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ；（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2）；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直．【解析】【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果；（2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可；（3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，∴P灯照射一次需要的时间是：（秒）Q灯照射一次需要的时间是：（秒）；（2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚，∴,，如下图示，过点作，则有∴，，∴，∴；（3）①当两灯开启时间小于18秒时，如图1所示，过点作，则有∵，，∴，∵两灯的光束互相垂直，∴依题意可得：解之得：；②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第一次与相遇，则如图2所示，过点作，则有∴，，∵两灯的光束互相垂直，∴依题意可得：解之得：；③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，则如图3所示，过点作，则有∵，，∴，∵两灯的光束互相垂直，∴依题意可得：解之得：；综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键．15．（2021·浙江浙江·七年级期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定主道路是平行的，即，且．（1）填空：____，_____，____；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前（即灯B转动角度小于），A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达AN之前（即灯A转动角度小于），若两灯射出的光束交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【答案】（1）2，1，60°；（2）30秒或110秒；（3）不变，∠BAC=2∠BCD，理由见解析【解析】【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b；根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨