量词及其否定

关于量词及其否定思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x+1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等。第2页,共22页，2024年2月25日，星期天全称命题举例：全称命题符号记法：命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。

通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。第3页,共22页，2024年2月25日，星期天解：（1）假命题；例1判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数x，x2也是无理数。小结：——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举反例）（2）真命题；（3）假命题。第4页,共22页，2024年2月25日，星期天练习：1判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）第5页,共22页，2024年2月25日，星期天思考：下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x+1=3；(4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。语句(1)(2)不能判断真假，不是命题；语句(3)(4)可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。第6页,共22页，2024年2月25日，星期天存在性命题举例：存在性命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。

通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，存在性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。第7页,共22页，2024年2月25日，星期天解：（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题。例2判断下列存在性命题的真假：（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。小结：——需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在。——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可（举例证明）第8页,共22页，2024年2月25日，星期天练习：2判断下列特称命题的真假：（1）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）（4）存在这样的实数它的平方等于它本身。（5）任一个实数乘以-1都等于它的相反数；（6）存在实数x，x^3＞x^2；第9页,共22页，2024年2月25日，星期天同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题全称命题存在性命题①所有的x∈M，p(x)成立②对一切x∈M，p(x)成立③对每一个x∈M，p(x)成立④任选一个x∈M，p(x)成立⑤凡x∈M，都有p(x)成立①存在x

0∈M，使p(x)成立②至少有一个x

0∈M，使p(x)成立③对有些x

0∈M，使p(x)成立④对某个x

0∈M，使p(x)成立⑤有一个x

0∈M，使p(x)成立表述方法第10页,共22页，2024年2月25日，星期天思考：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定

.想一想这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）

x∈R，x2-2x+1≥0；第11页,共22页，2024年2月25日，星期天（1）p：

x∈R，x2+2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；（5）p：不是每一个人都会开车；（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；探究：写出命题的否定第12页,共22页，2024年2月25日，星期天一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是存在性命题.第13页,共22页，2024年2月25日，星期天一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论:存在性命题它的否定存在性命题的否定是全称命题.第14页,共22页，2024年2月25日，星期天关键量词的否定

词语是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

词语

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

词语的否定

一个也没有

至多有n-1个

至少有两个

存在一个x不成立

存在有一个成立

第15页,共22页，2024年2月25日，星期天例3

写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：

x

R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：

x∈R，x2－x+1＝0；第16页,共22页，2024年2月25日，星期天例4

写出下列命题的否定（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。第17页,共22页，2024年2月25日，星期天例5

写出下列命题的否定（1）若x2＞4则x＞2.。（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。第18页,共22页，2024年2月25日，星期天例6写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。第19页,共22页，2024年2月25日，星期天练习：写出下列命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；（4）p：任意素数都是奇数；（5）p：每个指数函数都是单调函数；（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；第20页,共22页，2024年2月25日，星期天命题的否定与否命题是完全不同的概念1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的