(通用版)2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测(二十三)圆锥曲线理

课时跟踪检测（二十三）圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq\f(3,4).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))的取值范围．解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝eq\f(y,x＋4)，k2＝eq\f(y,x－4).由k1k2＝－eq\f(3,4)，得eq\f(y,x＋4)·eq\f(y,x－4)＝－eq\f(3,4)，整理得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.故椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,y＝kx＋2))消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.所以x1＋x2＝－eq\f(16k,4k2＋3)，x1x2＝－eq\f(32,4k2＋3).从而，eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＋x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(－80k2－52,4k2＋3)＝－20＋eq\f(8,4k2＋3).所以－20＜eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))≤－eq\f(52,3).当直线PQ的斜率不存在时，eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))的值为－20.综上，eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(OQ,\s\up7(→))＋eq\o(MP,\s\up7(→))·eq\o(MQ,\s\up7(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－20，－\f(52,3))).2．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq\o(NP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up7(→)).(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(PQ,\s\up7(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，eq\o(NP,\s\up7(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up7(→))＝(0，y0)．由eq\o(NP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up7(→))，得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y.因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则eq\o(OQ,\s\up7(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\up7(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))＝3＋3m－tn，eq\o(OP,\s\up7(→))＝(m，n)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(－3－m，t－n)．由eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(PQ,\s\up7(→))＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn所以eq\o(OQ,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\up7(→))⊥eq\o(PF,\s\up7(→)).又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3．(2018届高三·西安八校联考)设F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，eq\r(2))到点F1，F2的距离之和等于4eq\r(2).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由椭圆上的点T(2，eq\r(2))到点F1，F2的距离之和是4eq\r(2)，可得2a＝4eq\r(2)，a＝2eq\r(2).又T(2，eq\r(2))在椭圆上，因此eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，所以b＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(－2eq\r(2)，0)．因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1交于E，F两点，设点E(x0，y0)(不妨设x0＞0)，则点F(－x0，－y0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))消去y，得x2＝eq\f(8,1＋2k2)，所以x0＝eq\f(2\r(2),\r(1＋2k2))，则y0＝eq\f(2\r(2)k,\r(1＋2k2))，所以直线AE的方程为y＝eq\f(k,1＋\r(1＋2k2))(x＋2eq\r(2))．因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，令x＝0，得y＝eq\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))，即点M0，eq\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2)).同理可得点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(2)k,1－\r(1＋2k2)))).所以|MN|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)k,1＋\r(1＋2k2))－\f(2\r(2)k,1－\r(1＋2k2))))＝eq\f(2\r(21＋2k2),|k|).设MN的中点为P，则点P的坐标为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),k))).则以MN为直径的圆的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),k)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21＋2k2),|k|)))2，即x2＋y2＋eq\f(2\r(2),k)y＝4.令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.故以MN为直径的圆经过两定点P1(2,0)，P2(－2,0)．4.(2017·安徽二校联考)已知焦点为F的抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，圆C2：x2＋y2＝1，直线l与抛物线相切于点P，与圆相切于点Q.(1)当直线l的方程为x－y－eq\r(2)＝0时，求抛物线C1的方程；(2)记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求eq\f(S1,S2)的最小值．解：(1)设点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),2p)))，由x2＝2py(p＞0)得，y＝eq\f(x2,2p)，求得y′＝eq\f(x,p)，因为直线PQ的斜率为1，所以eq\f(x0,p)＝1且x0－eq\f(x\o\al(2,0),2p)－eq\r(2)＝0，解得p＝2eq\r(2).所以抛物线C1的方程为x2＝4eq\r(2)y.(2)点P处的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,0),2p)＝eq\f(x0,p)(x－x0)，即2x0x－2py－xeq\o\al(2,0)＝0，OQ的方程为y＝－eq\f(p,x0)x.根据切线与圆相切，得eq\f(|－x\o\al(2,0)|,\r(4x\o\al(2,0)＋4p2))＝1，化简得xeq\o\al(4,0)＝4xeq\o\al(2,0)＋4p2，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0x－2py－x\o\al(2,0)＝0，,y＝－\f(p,x0)x，))解得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)，\f(4－x\o\al(2,0),2p))).所以|PQ|＝eq\r(1＋k2)|xP－xQ|＝eq\r(1＋\f(x\o\al(2,0),p2))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2,x0)))＝eq\f(\r(p2＋x\o\al(2,0)),p)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－2,x0)))，又点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到切线PQ的距离d1＝eq\f(|－p2－x\o\al(2,0)|,\r(4x\o\al(2,0)＋4p2))＝eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,0)＋p2)，所以S1＝eq\f(1,2)|PQ|d1＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(p2＋x\o\al(2,0)),p)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－2,x0)))·eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,0)＋p2)＝eq\f(x\o\al(2,0)＋p2,4p)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－2,x0)))，S2＝eq\f(1,2)|OF||xQ|＝eq\f(p,2|x0|)，而由xeq\o\al(4,0)＝4xeq\o\al(2,0)＋4p2知，4p2＝xeq\o\al(4,0)－4xeq\o\al(2,0)＞0，得|x0|＞2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(x\o\al(2,0)＋p2,4p)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0)－2,x0)))·eq\f(2|x0|,p)＝eq\f(x\o\al(2,0)＋p2x\o\al(2,0)－2,2p2)＝eq\f(4x\o\al(2,0)＋x\o\al(4,0)－4x\o\al(2,0)x\o\al(2,0)－2,2x\o\al(4,0)－4x\o\a