核心考点01三角（原卷版）

核心考点01三角目录考点一：任意角的三角函数的定义考点二：三角函数值的符号考点三：诱导公式考点四：运用诱导公式化简求值考点五：同角三角函数间的基本关系考点六：三角函数恒等式的证明考点七：两角和与差的三角函数考点八：二倍角的三角函数考点九:半角的三角函数考点十：三角函数的恒等变换及化简求值考点十一：正弦定理考点十二：余弦定理考点十三：解三角形考点考向考点考向一．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．二．三角函数值的符号【知识点的知识】三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．三．诱导公式【概述】三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．【公式】①正弦函数：表达式为y＝sinx；有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数：表达式为y＝cosx；有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数：表达式为y＝tanx；tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx④余切函数：表达式为y＝cotx；cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．【应用】1、公式：公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα．公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．3、在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．（2）和积转换法：利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．4、注意：（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．四．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．五．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．六．三角函数恒等式的证明【知识点的认识】三角函数恒等式：1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）═﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．七．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．八．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．九．半角的三角函数【半角的三角函数】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．十．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．十一．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．十二．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．十三．解三角形【知识点的知识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝十四．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考点精讲考点精讲一．任意角的三角函数的定义（共3小题）1．（2022春•奉贤区校级月考）设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα＝．2．（2022春•虹口区校级期末）如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为（﹣3，4），则sin2α＝．3．（2022春•浦东新区校级期中）（1）已知角α的终边经过点P（x，6），且，求sinα和tanα的值．（2）已知，，且，求角β．二．三角函数值的符号（共3小题）4．（2022春•奉贤区校级月考）如果角α是第三象限角，则点P（tanα，sinα）位于第象限．5．（2022春•杨浦区校级期中）若角α是第四象限角，且，则角是第（）象限角A．一 B．二 C．三 D．四6．（2022春•黄浦区校级期中）已知θ是第三象限角，且满足，则的终边在第象限．三．诱导公式（共2小题）7．（2022春•浦东新区校级月考）化简：＝．8．（2022春•虹口区校级月考）已知，则值为．四．运用诱导公式化简求值（共3小题）9．（2022春•嘉定区校级期末）已知，且α是第二象眼角，则cos（α﹣π）＝．10．（2022春•普陀区校级期中）已知tanα＝﹣3，则＝．11．（2022春•奉贤区校级月考）化简：+．五．同角三角函数间的基本关系（共7小题）12．（2022春•浦东新区校级期末）已知tanα＝3，则sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值为（）A． B． C． D．13．（2022春•黄浦区校级期中）已知，则tanα＝．14．（2022春•浦东新区校级期中）已知，α是第四象限角，则sinα的值是．15．（2022春•浦东新区校级月考）已知α满足，那么2sin2α﹣cos2α＝．16．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．17．（2022春•奉贤区校级月考）已知，求下列代数式的值．（1）tanα；（2）sin2α+sinαcosα+cos2α．18．（2022春•浦东新区校级月考）已知＜α＜，tanα+cotα＝﹣．（1）求tanα的值；（2）求5sin2+8sincos+11cos2的值．六．三角函数恒等式的证明（共3小题）19．（2021春•徐汇区校级月考）（1）已知，化简：；（2）已知，证明：（1+tanα）（1+tanβ）＝2．20．（2021春•松江区期末）（1）已知角α终边上有一点P的坐标是（3a，﹣4a），其中a＞0，求2sinα+cosα的值；（2）证明恒等式：＝．21．（2021春•杨浦区校级期中）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．七．两角和与差的三角函数（共9小题）22．（2022春•奉贤区校级月考）已知，，且．则α﹣β是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角23．（2022春•浦东新区校级期中）已知f（x）＝tanx，若存在，使得f（α）﹣f（β）＝2，则α﹣β（）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值24．（2022春•松江区校级期末）已知sinx＝，x∈（，π），则tan（x）＝．25．（2022春•普陀区校级期中）函数y＝2sinxcosx﹣2sin2x+1，x∈[0，π]的单调递减区间为．26．（2022春•杨浦区校级期中）在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2+m（x+1）+1＝0的两个实根，则∠C＝．27．（2022•闵行区校级开学）（1）已知α、β∈（0，π），，，求cosβ．（2）化简：．28．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，求实数m的取值范围．29．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间I，用NI表示函数y＝f（x）在I上的最小值．（1）设y＝f（x）＝sinx﹣cosx，求的值；（2）设，且y＝f（x）偶函数，，求n﹣m的最大值；（3）设，若有且仅有一个正数a使得N[0，a]＝kN[a，2a]（k＞0）成立，求正实数k的取值范围．30．（2022春•奉贤区校级月考）已知α是第三象限的角且tanα＝3．（1）求的值；（2）求的值．八．二倍角的三角函数（共5小题）31．（2022春•杨浦区校级期末）若角α的终边落在第三象限内，且cos（+α）＝，则cos2α＝．32．（2022春•浦东新区校级期中）方程cos2x﹣cosx＝0在区间[0，π]上的解集为．33．（2022春•浦东新区校级月考）（1）已知，α∈（0，π）．求cos2α的值；（2）已知，且，，求角β的值．34．（2022春•浦东新区校级期中）已知tanα＝﹣，求下列各式的值：（1）；（2）．35．（2022春•闵行区期中）已知，α是第三象限角，则＝（）A．±2 B． C．﹣2 D．九．半角的三角函数（共2小题）36．（2022春•青浦区校级月考）已知θ是第二象限，，则＝．37．（2022春•浦东新区校级月考）已知α是第三象限角，，则的值是．一十．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题）38．（2022春•徐汇区校级月考）（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cos（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为cot（α+β）＝，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．39．（2022•闵行区校级开学）已加x，y均为正数，，且满足，，则的值为．一十一．正弦定理（共6小题）40．（2022春•闵行区校级期中）在△ABC中，已知A＝30°，b＝18，设a＝x（x＞0）．以下说法错误的是（）A．若△ABC有两解，x∈（9，18） B．若△ABC有唯一解，x∈[18，+∞） C．若△ABC无解，x∈（0，9） D．当x＝10，△ABC外接圆半径为1041．（2022春•奉贤区校级期末）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若C＝105°，a＝，A＝45°，则b＝．42．（2022春•闵行区校级期中）在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝．43．（2022春•徐汇区校级期中）已知△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠C的大小；（2）若a﹣b＝1，，求三角形的周长．44．（2022春•奉贤区校级月考）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角C的大小；（2）若2sinAcosB+sinC＝2sin（A+B），判断△ABC的形状．45．（2022春•杨浦区校级期中）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件△ABC．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品△ABC，其中，求sinB，sinC的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且AD＝1，并要求小宋加工的工件△ABC的BC边经过点D，则：①用角B表示工件△ABC的面积S；②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．一十二．余弦定理（共4小题）46．（2022春•宝山区校级期中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则b＝．47．（2022春•奉贤区校级期末）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，三角形的面积等于，则AB的长为．48．（2022•浦东新区校级二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝3，c＝，B＝45°．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝﹣，求tan∠DAC的值．49．（2022春•浦东新区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2+c2+ac＝b2．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且，求a+2c的取值范围．一十三．解三角形（共6小题）50．（2022春•浦东新区校级期末）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．20 B． C． D．51．（2022•闵行区校级开学）在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，则①若a＞b，则f（x）＝（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2＝（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cos2A＝cos2B，则A＝B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）＝2，则，其中错误命题的序号是．52．（2022春•浦东新区校级期中）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB＝75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC＝60°．（1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE＝90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案：方案①：测量∠ABF和∠DAF方案②：测量∠ABE和∠EAF方案③：测量∠ABE和∠ECF方案④：测量∠ABF和∠AFB请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF＝58.0°，∠ABE＝50.2°，∠DAF＝16.7°，∠EAF＝41.5°，∠ECF＝53.8°，∠AFB＝32.0°．53．（2022春•浦东新区校级月考）市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A、B、C、D在同一平面内，路宽AD＝24米，设∠BAC＝θ（≤θ≤）．（1）求灯柱AB的高h＝h（θ）；（2）市政部门应该如何设置θ的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01）54．（2022春•虹口区校级期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）当a，b，c满足时，求cos2B的值．（2）在（1）条件下若，且sinA，sinB，sinC成等差数列，求△ABC的面积．（3）若△ABC是锐角三角形，且满足，，求△ABC周长的取值范围．55．（2022春•杨浦区校级期中）如图：我国近海某海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，C相距都为5公里，与小岛D相距公里．已知∠BAD为钝角，且．（1）求小岛A与小岛D之间的距离；（2）求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积．（提示∠BAD+∠BCD＝π）巩固巩固提升一、单选题1．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）若，则点必在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）设，则的一个可能值是（

）A． B．1 C． D．3．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）若在中，是的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要4．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）满足条件的的个数为（

）A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断5．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若，，下列判断错误的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，6．（2021春·上海·高一专题练习）若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若点P(3，y)是角终边上一点，且，则y的值是____________.8．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习），则__.9．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）若是第一象限角，则__.10．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为__________.11．（2022春·上海浦东新·高一校考期中）角的终边经过点，则__________.12．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__．13．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）已知，则__．14．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知，则__．15．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知，则__．16．（2022秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）化简，得其结果为__．17．（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）化简：__．18．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__.19．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知的外接圆半径是2，，，边长