1.3 线段的垂直平分线 第1课时 课件 2023-2024学年北师大版八年级数学

第一章三角形的证明1线段的垂直平分线

第1课时线段的垂直平分线的性质定理阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题.1.当一条直线MN满足哪些条件时,它就是线段AB的垂直平分线?直线MN垂直于线段AB,并且平分线段AB.2.若P是直线MN上任意一点,则PA与PB有什么关系呢?△PAB是什么三角形?PA=PB,△PAB是等腰三角形.

归纳总结

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离

.

相等·导学建议·除了课本上所给出的证法外,其实还存在其他的证明PA=PB的方法,若课堂上时间允许,教师可以预留出一些时间,和学生一起深入探究这一问题.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理

阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题.1.线段的垂直平分线的性质定理的条件是什么?结论呢?条件:线段垂直平分线上一点.结论:这一点到这条线段两个端点的距离相等.

2.你能写出它的逆命题吗?逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.3.请你完善下列解题过程.已知:如图,线段AB,P为平面内一点,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.证明:方法一:取AB的中点C,连接PC,∵AC=BC,PA=PB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SSS),∴∠PCA=∠PCB=90°.即PC垂直AB并且通过线段AB的中点C,所以点P在线段AB的垂直平分线上.方法二:过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA=PB,PC=PC.∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL),∴AC=BC.即点P在线段AB的垂直平分线上.归纳总结

到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的

上.

垂直平分线导学建议·在学习线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理时,教师可以让学生分别找出它们的条件和结论进行比较,这样更有利于学生认清它们是互逆定理的本质.阅读课本“例1”的内容,请你用其他方法进行证明.证明:记AO与BC的交点为D.∵AB=AC,OB=OC,AO=AO,∴△ABO≌△ACO(SSS),∴∠AOB=∠AOC,∴∠BOD=∠COD.又∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD,∴△OBD≌△OCD(AAS),∴BD=CD,∠ODB=∠ODC=90°,即直线AO垂直平分线段BC.方法归纳交流

证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有哪两种方法?第一种:根据线段垂直平分线的定义,也就是经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.使用这种方法必须满足两个条件:一是垂直,二是平分.第二种:可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上,根据两点确定一条直线,就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.在△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4,则AD+AE的值为 ()A.6

B.10C.6或14 D.6或10C

【变式训练】如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,BE=3cm,△ACD的周长是13cm,求△ABC的周长.解:∵DE是BC的垂直平分线,∴BC=2BE=6cm,BD=CD.∵AD+DC+AC=13cm,∴AD+BD+AC=13cm,∴AB+AC+BC=13+6=19cm.方法归纳交流

如何求几条线段长度的和?利用线段的垂直平分线的性质转化为已知长度的线段再求解.在平面直角坐标系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四个点中,在线段AB垂直平分线上的点是 ()A.(0,2) B.(-3,1)C.(1,2)D.(1,0)B方法归纳交流

通过观察可知AB平行于

轴,则AB的垂直平分线平行于

轴,只要计算出AB的

的纵坐标,判断答案中纵坐标是否与中点的纵坐标一致即可.

yx中点如图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF.求证:OP垂直平分EF.证明:∵PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,∴∠PEO=90°=∠PFO.在△PEO和△PFO中,AB..已知:线段AB,（如图）.求作:线段AB的垂直平分线.一、创设情境，引入新知回顾一下用尺规作线段的垂直平分线的作法：CD2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.作法：

二、自主合作，探究新知探究一：三角形三边的垂直平分线的性质做一做：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．怎样证明这个结论呢?二、自主合作，探究新知点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：试试看，你会写出证明过程吗？BCAPlnml是AB的垂直平分线m是BC的垂直平分线PA=PBPB=PCPA=PC点P在AC的垂直平分线上二、自主合作，探究新知证明：连接PA，PB，PC.∵点P在AB，AC的垂直平分线上，∴PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.∴PB=PC.∴点P在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.BCAPlnm二、自主合作，探究新知知识要点应用格式：∵

点P

为△ABC

三边垂直平分线的交点，∴PA=PB=PC．ABCP定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.二、自主合作，探究新知做一做：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.例1：如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC.若∠A=70°，则∠PBC的度数是

.PABCMN二、自主合作，探究新知典型例题20°二、自主合作，探究新知做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h.求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.A1DCBAah(D)CBAahA1DCBAahA1能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.探究二：尺规作图二、自主合作，探究新知（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．二、自主合作，探究新知例2：已知一个等腰三角形的底边和底边上的高，求作这个等腰三角形.ha已知：如图，线段a、h.

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.典型例题NMCBAD作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；（3）在直线MN上作线段DA,使DA=h；（4）连接AB、AC.△ABC为所求的等腰三角形.做一做：已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线,使它经过点P.Pl二、自主合作，探究新知如果点P在直线外呢？交流一下.ABC作法：（1）以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和B．（2）作线段AB的垂直平分线PC．直线PC就是所求l的垂线．二、自主合作，探究新知BA议一议：已知直线l和线外一点P，利用尺规作

l的垂线，使它经过点P.作法：(1)先以P为圆心，大于点P到直线l的垂直距离R为半径作圆，交直线l于A，B.(2)分别以A、B为圆心，大于R的长为半径作圆，相交于D点.(3)过两交点作直线

l'.此直线为l过P的垂线.P●D1.若点O是△ABC的3条边的垂直平分线的交点，OA=8，则OA+OB+OC的值是（

）A.11B.16C.24D.64三、即学即练，应用知识2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（

）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形CC3.根据下图中圆规作图的痕迹,可用直尺成功确定到三角形三个顶点的距离相等的点的是 (

)三、即学即练，应用知识C4.如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC=82°，则∠OBC=

°.8三、即学即练，应用知识5.如图所示，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的三边垂直平分线的交点，求∠ACB的度数.∵点O为△ABC的三边垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,∴∠OAC=∠OCA,∠OCB=∠OBC.∵∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC=180°,∴∠OCA+∠OCB=90°,即∠ACB=90°.解:连接OC.三、即学即练，应用知识6.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.(1)作边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数.解::(1)如图所示.

四、课堂小结1.定理:三角形三条边的垂直平分线____________________,并且这一点到__________________的距离相等.相交于一点三个顶点2.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；

钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。2.如图所示,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线相交于点P,则PB与PC的关系是(

)A.PB>PC B.PB=PC C.PB<PC D.PB=2PC1.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的 (

)A.三条高所在直线的交点

B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点

D.三条边的垂直平分线的交点五、当堂达标检测DB4.如图,点D是线段AB,BC垂直平分线的交点.若∠B=60°,则∠DAC=

，∠ADC=

.ACBD3.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是图中的 (

)五、当堂达标检测D30°