1.6 完全平方公式（第1课时）课件 2023-2024学年北师大版七年级数学

1.6完全平方公式（第1课时）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4（3）（p－1)2=(p－1)(p－1)=

.p2－2p+1（4）（m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？(a＋b)2=

.a2+2ab+b2(a－b)2=

.a2－2ab+b2我们来计算下列(a+b)2，(a－b)2.(a+b)2=

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2.(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2.完全平方公式（a+b)2=

.a2+2ab+b2（a-b)2=

.a2-2ab+b2

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”公式的特点：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b21.积为二次三项式；2.其中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.首平方，尾平方，积的2倍在中央你能用图解释这一公式吗?

babababa=++a2ababb2（a+b）2=a2+2ab+b2思考：你能根据下图解释这个公式吗?a−ba−baabb（a-b)2阴影部分的面积是：_________abb(a-b)abb(a-b)所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)

=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2阴影部分的面积也可以用大正方形面积减去_____和_________两数和的完全平方公式：两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍两数差的完全平方公式：两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍上面两个公式称为完全平方公式.

例1.利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；(2)(4x+5y)2；(3)

(mn－a)2

.解：(1)(2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32

=4x2－12x+9；(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2；(3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2

=m2n2－2amn+a2.思考(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.例2.运用乘法公式计算:(1)(x+2y－3)(x－2y+3);

解:原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]=x2－(2y－3)2=x2－(4y2－12y+9)=x2－4y2+12y－9.(2)(a+b－5)2.解：原式=[(a+b)－5]2=(a+b)2－10(a+b)+52=a2+2ab+b2－10a－10b+25方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用完全平方公式计算.方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.例3如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．例4.已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab

＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab

＝13－2×6＝1.1.在下列计算中，正确的是(

)A．m3＋m2＝m5B．m5÷m2＝m3C．(2m)3＝6m3D．(m＋1)2＝m2＋12.若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(

)A．9B．－9C．±9D．±33.若(x＋3)2＝x2－ax＋9，则a的值是(

)

A.3B.－3C.6D.－6D4.下列各式中，与（-a+1）2相等的是（）A．a2-1 B．a2+1 C．a2-2a+1

D．a2+2a+1C5.下列计算正确的是(

)A．(a＋2)(a－2)＝a2－2B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2C．(a＋b)2＝a2＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b26.利运用完全平方公式计算：(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52

＝4x2－20x＋25；(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2

1.完全平方公式：想一想，怎样计算1022,1972更简单呢？(1)1022；(2)1792.因为102比较接近______，所以102可以写成_____________,1022可以写成_____________.100（100+2）（100+2）2

解：1022

=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404思考：把1972改写成(a+b)2还是(a−b)2的形式?因为197比较接近______，所以197可以写成_____________,1972可以写成_____________.200（200-3）（200-3）2

解：1972

=(200-3)2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809通过上面的计算，你发现了什么？

完全平方公式在用于简便运算的应用时，关键是找到与原数接近的整数，再将原数与整数进行比较，变形成(a+b)2还是(a−b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．例1.计算：(1)(x+3)2-x2;解：(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9(2)(a+b+3)(a+b-3);解：(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9例2.化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4.例3.已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，

所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.常见的完全平方公式的变形完全平方公式变形(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab

②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2

③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2

⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2

⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2

=x2-2xy

+y2-z2

⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4

⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]

=2x(-2y+2z)

=-4xy+4xz一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果……

假如第一天有a个孩子一起去看老人，第二天有b个孩子一起去看老人，第三天有(a+b)个孩子一起去看老人，那么第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？

请你用所学的公式解释自己的结论.第一天a个孩子，给出去的糖果a×a=a2.第二天b个孩子，给出去的糖果b×b=b2.第二天(a+b)个孩子，给出去的糖果(a+b)2=a2+2ab+b2.所以第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多.1.将9.52变形正确的是(

)A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52C2.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(

)A．2abB．－2abC．4abD．－4ab3.若(2a＋3b)(

)＝4a2－9b2，则括号内应填的代数式是(

)

A.－2a－3b

B.2a＋3bC.2a－3b

D.3b－2