一元一次不等式和不等式组

一元一次不等式和不等式组一元一次不等式和不等式组一元一次不等式和不等式组一、不等式的性质1.性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向_____.即如果a>b，那么a±c__b±c.2.性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向_____.即如果a>b，并且c>0，那么ac__bc(或).3.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向_____.即如果a>b，并且c<0，那么ac__bc(或).不变不变改变>>><<书籍能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进一元一次不等式和不等式组一元一次不等式和不等式组一元一次不等1一、不等式的性质1.性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向_____.即如果a>b，那么a±c__b±c.2.性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向_____.即如果a>b，并且c>0，那么ac__bc(或).3.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向_____.即如果a>b，并且c<0，那么ac__bc(或).不变不变改变>>><<一、不等式的性质不变不变改变>>><<二、一元一次不等式组的解集的四种类型(设a<b)x>bx<aa<x<b无解二、一元一次不等式组的解集的四种类型(设a<b)x>bx<a【思维诊断】(打“√”或“×”)1.如果a>b，c<0，则ac3>bc3.

()2.根据“y的2倍与1的和不小于y的”列不等式2y+1>y.()3.不等式2m-1≤7的正整数解是1，2，3，4.

()××√【思维诊断】(打“√”或“×”)××√4.解不等式

去分母后是3-x-1<3x-1.

()5.不等式组的解集在数轴上表示为

()×√4.解不等式去分母后是3-x-1热点考向一不等式的性质

【例1】(2014·汕尾中考)若x>y，则下列式子中错误的是

(

)A.x-3>y-3

B.C.x+3>y+3 D.-3x>-3y【思路点拨】根据不等式的性质，逐一作出判断即可.热点考向一不等式的性质

【自主解答】选D.根据不等式的性质1，可得x-3>y-3，故A正确；根据不等式的性质2，可得

，故B正确；根据不等式的性质1，可得x+3>y+3，故C正确；根据不等式的性质3，可得-3x<-3y，故D错误.【自主解答】选D.根据不等式的性质1，可得x-3>y-3，【规律方法】1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论.2.不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c.【规律方法】【真题专练】1.(2014·滨州中考)a，b都是实数，且a<b，则下列不等式的变形正确的是(

)A.a+x>b+x

B.-a+1<-b+1C.3a<3b D.【真题专练】【解析】选C.∵a<b，根据不等式性质，不等式两边同时加同一个数(或整式)，不等号方向不变，故A错；根据不等式性质，不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变，故B错；根据不等式性质，不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变，故C正确，D错误.【解析】选C.∵a<b，根据不等式性质，不等式两边同时加同一2.(2013·恩施中考)下列命题正确的是(

)A.若a>b，b<c，则a>c B.若a>b，则ac>bcC.若a>b，则ac2>bc2

D.若ac2>bc2，则a>b2.(2013·恩施中考)下列命题正确的是()【解析】选D.选项A，由a>b，b<c，不能根据不等式的性质确定a>c；选项B，由a>b，当c=0时，ac=bc，即也不能根据不等式的性质确定ac>bc；选项C，由a>b，当c=0时，ac2=bc2，即不能根据不等式的性质确定ac2>bc2；选项D，由ac2>bc2，则隐含c≠0，则可以根据不等式的性质在不等式的两边同时除以不等于0的正数c2，从而确定a>b.因此，本题正确答案应该选D.【解析】选D.选项A，由a>b，b<c，不能根据不等式的性质3.(2013·乐山中考)若a>b，则下列不等式变形错误的是

(

)A.a+1>b+1 B.C.3a-4>3b-4 D.4-3a>4-3b3.(2013·乐山中考)若a>b，则下列不等式变形错误的是【解析】选D.A选项，不等式两边同时加1，不等号的方向不变，故a+1>b+1成立；B选项，不等式两边同时除以2，不等号的方向不变，故

成立；C选项，不等式的两边同时乘以3，再减去4，不等号的方向不变；D选项，由不等式的性质3，不等式的两边同时乘以-3，不等号的方向要改变，得-3a<-3b，在此不等式的两边同时加上4，不等号的方向不变，得4-3a<-3b+4，故D选项不正确.【解析】选D.A选项，不等式两边同时加1，不等号的方向不4.(2013·济宁中考)已知ab=4，若-2≤b≤-1，则a的取值范围是(

)A.a≥-4

B.a≥-2C.-4≤a≤-1

D.-4≤a≤-24.(2013·济宁中考)已知ab=4，若-2≤b≤-1，则【解析】选D.由ab=4，得b=，∵-2≤b≤-1，∴a<0，把b=代入-2≤b≤-1，得-2≤≤-1，解不等式组得-4≤a≤-2.【解析】选D.由ab=4，得b=，【一题多解】选D.∵ab=4，∴a=，当b<0时，a随着b的增大而减小，当b=-2时，a=-2，当b=-1时，a=-4，∴a的取值范围是-4≤a≤-2，故选D.【一题多解】选D.∵ab=4，∴a=，当b<0时，a随热点考向二一元一次不等式的解法

【例2】(2014·连云港中考)解不等式2(x-1)+5<3x，并把解集在数轴上表示出来.【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤解不等式，求出解集后在数轴上把解集表示出来.热点考向二一元一次不等式的解法

【自主解答】整理得2x-2+5<3x，-x<-3，x>3.解集在数轴上表示为：【自主解答】整理得2x-2+5<3x，-x<-3，【易错提醒】在数轴上表示不等式的解集时的注意事项在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向，边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈.方向：大于向右，小于向左.【易错提醒】在数轴上表示不等式的解集时的注意事项【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x>a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x>a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.【规律方法】不等式解集的验证方法【真题专练】1.(2013·汕头中考)不等式5x-1>2x+5的解集在数轴上表示正确的是(

)【解析】选A.不等式移项，得5x-2x>5+1，合并同类项，得3x>6，系数化为1，得x>2.根据不等式的解集在数轴上的表示方法，即可在数轴上表示出x>2.【真题专练】2.(2013·镇江中考)已知关于x的方程2x+4=m-x的解为负数，则m的取值范围是(

)A.

B.

C.m<4

D.m>4【解析】选C.∵关于x的方程2x+4=m-x的解x=

是负数，∴<0，解得m<4.2.(2013·镇江中考)已知关于x的方程2x+4=m-x的【互动探究】若将题干中“解为负数”改为“解为非负数”，则m的取值范围是什么？【解析】∵关于x的方程2x+4=m-x的解x=是非负数，∴≥0，解得m≥4.【互动探究】若将题干中“解为负数”改为“解为非负数”，则m的3.(2013·白银中考)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是

.【解析】去括号，得2x+9≥3x+6，移项，得2x-3x≥6-9，合并同类项，得-x≥-3，两边同时除以-1，得x≤3.x≤3的正整数解是1，2，3.答案：1，2，33.(2013·白银中考)不等式2x+9≥3(x+2)的正整4.(2014·温州中考)不等式3x-2>4的解是

.【解析】3x-2>4，移项得3x>6，∴x>2.答案：x>24.(2014·温州中考)不等式3x-2>4的解是.5.(2014·广州中考)解不等式：5x-2≤3x，并在数轴上表示解集.【解析】移项得：5x-3x≤2，合并同类项得：2x≤2，系数化为1得，x≤1，在数轴上表示为：

5.(2014·广州中考)解不等式：5x-2≤3x，并在数轴热点考向三一元一次不等式组的解法

【例3】(2014·株洲中考)一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是(

)A.4

B.5

C.6

D.7热点考向三一元一次不等式组的解法

【思路点拨】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再画数轴找到两个不等式解集的公共部分(即不等式组的解集)，最后求出符合要求的整数解.【思路点拨】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再画数轴找到【自主解答】选C.一元一次不等式组解①得，x>，解②得x≤5，所以不等式组的解集为<x≤5，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个

【自主解答】选C.一元一次不等式组【规律方法】确定不等式组的解集的两种方法1.口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找.2.数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不等式组无解.【规律方法】确定不等式组的解集的两种方法【真题专练】1.(2014·长沙中考)一个关于x的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是(

)A.x>1 B.x≥1C.x>3 D.x≥3【真题专练】【解析】选C.空心表示不包括，由图可知不等式组的解集为x>3.【解析】选C.空心表示不包括，由图可知不等式组的解集为x>32.(2014·德州中考)不等式组的解集在数轴上可表示为(

)2.(2014·德州中考)不等式组的解集【解析】选D.解不等式+1>0，得x>-3，解不等式2-x≥0得x≤2，所以原不等式组的解为-3<x≤2.【解析】选D.解不等式+1>0，得x>-3，解不等式3.(2014·台州中考)解不等式组并把解集在数轴上表示出来.3.(2014·台州中考)解不等式组【解析】解不等式2x-1>x+1，得x>2.解不等式x+8>4x-1，得x<3.所以原不等式组的解集是2<x<3，把解集表示在数轴上，得【解析】解不等式2x-1>x+1，得x>2.4.(2014·菏泽中考)解不等式并判断是否为该不等式组的解.【解析】由①得，x>-3，由②得，x≤1，故此不等式组的解集为：-3<x≤1，∵>1，∴x=不是该不等式组的解.4.(2014·菏泽中考)解不等式【知识拓展】一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等.不等式组的特殊解，是在一元一次不等式组的解集中满足某个条件的部分解，它一定包含在一元一次不等式组的解集中.【知识拓展】一元一次不等式组的特殊解热点考向四一元一次不等式的应用

【例4】(2013·舟山中考)某镇水库的可用水量为12000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量.为实施城镇化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量.(1)问：年降水量为多少万立方米？每人平均用水量为多少立方米？(2)政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米水才能实现目标？热点考向四一元一次不等式的应用

(3)某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000立方米海水，淡化率为70%.每淡化1立方米海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元.企业淡化水以3.2元/立方米的价格出售，每年还需各项支出40万元.按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本？(结果精确到个位)(3)某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000立方米海【思路点拨】(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为y立方米，根据题意中的等量关系可得出方程组，解出即可.(2)设该镇居民人均每年需节约z立方米水才能实现目标，由等量关系得出方程，解出即可.(3)设该企业n年后能收回成本，根据投入1000万元设备，可得出不等式，解出即可.【思路点拨】(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为【自主解答】(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量为y立方米，由题意得解得答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米.【自主解答】(1)设年降水量为x万立方米，每人年平均用水量(2)设该镇居民人均每年需节约z立方米水才能实现目标，由题意得，12000+25×200=20×25×(50-z)，解得：z=16(立方米).答：该镇居民人均每年需节约16立方米水才能实现目标.(2)设该镇居民人均每年需节约z立方米水才能实现目标，(3)设该企业n年后能收回成本，由题意得：[3.2×5000×70%-(1.5-0.3)×5000]×-40n≥1000，解得：.答：至少9年后企业能收回成本.(3)设该企业n年后能收回成本，由题意得：【规律方法】用不等式解决应用题需注意的两点1.设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，即应给出肯定的未知数的设法.2.在最后写答时，应把表示不等关系的文字补上.【规律方法】用不等式解决应用题需注意的两点【真题专练】1.(2013·乌鲁木齐中考)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.娜娜得分要超过90分，设她答对了x道题，则根据题意可列不等式

.【真题专练】【解析】∵每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，∴答对了x道题的得分为10x分，答错或不答的题目共有(20-x)道题，共扣5(20-x)分，从而由娜娜得分要超过90分可列不等式为10x-5(20-x)>90.答案：10x-5(20-x)>90【解析】∵每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，2.(2013·厦门中考)某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域.甲工人在转移过程中，前40m只能步行，之后骑自行车.已知导火线燃烧的速度为0.01m/s，步行的速度为1m/s，骑车的速度为4m/s.为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于

m.2.(2013·厦门中考)某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人【解析】设导火线的长为xm，依题意得

，解得x>1.3.答案：1.3【解析】设导火线的长为xm，依题意得【知识拓展】不等关系常用词语的符号表示(1)至少“≥”；(2)最多“≤”；(3)不低于“≥”；(4)不大于“≤”；(5)高于“>”.【知识拓展】不等关系常用词语的符号表示3.(2014·安徽中考)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨，建筑垃圾处理费16元/吨标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元，从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元.3.(2014·安徽中考)2013年某企业按餐厨垃圾处理费2(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？【解析】(1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨，根据题意，得解得即该企业2013年处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为120吨.【解析】(1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾为a吨，建筑垃圾b吨，需要支付的这两种垃圾处理费是z元，根据题意，得a+b=240且b≤3a，解得a≥60.z=100a+30b=100a+30(240-a)=70a+7200.由于z的值随着a的增大而增大，所以当a=60时，z最小.最小值=70×60+7200=11400元，即2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾为a吨，建筑垃圾b吨，命题新视角确定不等式(组)参数的取值范围(值)【例】(2013·南通中考)若关于x的不等式组①

②恰有三个整数解，求实数a的取值范围.命题新视角确定不等式(组)参数的取值范围(值)【审题视点】【审题视点】【自主解答】由不等式

，解得

，由不等式3x+5a+4>4(x+1)+3a，解得x<2a.∵不等式组恰有三个整数解，所以2<2a≤3.∴1<a≤.【自主解答】由不等式，解得【规律方法】1.已知不等式组中含有参数m，可以先进行化简，求出不等式组的解集，然后再与已知解集比较，求出m的取值范围，2.当一元一次不等式组化简后解集中含有参数时，可以通过比较已知解集，列不等式(组)或列方程(组)来确定参数的取值范围或值.【规律方法】【真题专练】1.(2013·荆门中考)若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为(

)A. B.C. D.【真题专练】【解析】选C.解不等式x-2m<0，得x<2m；解不等式x+m>2，得x>2-m.∵关于x的一元一次不等式组有解，∴2-m<2m，解得m>.【解析】选C.解不等式x-2m<0，得x<2m；2.(2014·潍坊中考)若不等式组无解，则实数a的取值范围是(

)A.a≥1 B.a<1C.a≤1 D.a≤-12.(2014·潍坊中考)若不等式组无【解析】选D.解x+a≥0，得x≥-a，解不等式1-2x>x-2，得x<1.∵不等式组无解，∴-a≥1，解得a≤-1.【解析】选D.解x+a≥0，得x≥-a，解不等式1-2x>x3.(2014·泰安中考)若不等式组有解，则实数a的取值范围是(

)A.a<-36 B.a≤-36C.a>-36