32-界面弯曲解读

3.2弯曲表面下的附加压力和毛细现象

弯曲表面下的附加压力1.在平面上2.在凸面上3.在凹面上

Laplace方程2024/4/13.2弯曲表面下的附加压力和毛细现象弯曲表面下的附加压弯曲表面下的附加压力1.在平面上剖面图液面正面图研究以AB为直径的一个环作为边界，由于环上每点的两边都存在表面张力，大小相等，方向相反，所以没有附加压力。设向下的大气压力为Po，向上的反作用力也为Po，附加压力Ps等于零。Ps=Po-

Po=02024/4/1弯曲表面下的附加压力1.在平面上剖面图液面正面图弯曲表面下的附加压力1.在平面上Ps=Po-

Po=02024/4/1弯曲表面下的附加压力1.在平面上Ps=Po-Po弯曲表面下的附加压力（2）在凸面上：剖面图附加压力示意图研究以AB为弦长的一个球面上的环作为边界。由于环上每点两边的表面张力都与液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个（指向球心的）向下的合力。所有的点受净吸力作用产生的总压力为Ps，称为附加压力。凸面上受的总压力为：Po+

PsPo为大气压力，Ps为附加压力。2024/4/1弯曲表面下的附加压力（2）在凸面上：剖面图附加压力示意图弯曲表面下的附加压力（2）在凸面上：P凹=

Po+

Ps2024/4/1弯曲表面下的附加压力（2）在凸面上：P凹=Po+Ps20弯曲表面下的附加压力（3）在凹面上：剖面图附加压力示意图研究以AB为弦长的一个球形凹面上的环作为边界。由于环上每点两边的表面张力都与凹形的液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个向上的合力。所有的点产生的总压力（指向球心）为Ps，称为附加压力。凹面上向下的总压力为：Po-Ps，所以凹面上所受的压力比平面上小。2024/4/1弯曲表面下的附加压力（3）在凹面上：剖面图附加压力示意图弯曲表面下的附加压力（3）在凹面上：P凸=

Po-

Ps2024/4/1弯曲表面下的附加压力（3）在凹面上：P凸=Po-Ps20弯曲表面（凹面和凸面）P凸=

Po-

PsP凹=

Po+

Ps2024/4/1弯曲表面（凹面和凸面）P凸=Po-PsP凹=Po+P杨-拉普拉斯公式1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率半径之间的关系式：数学式（对球面）：

根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是指向球面的球心。2024/4/1杨-拉普拉斯公式1805年Young-LaplYoung-Laplace

一般式的推导设有一毛细管内充满液体，管端有一半径为r的球状液滴与之成平衡。球形液珠半径为r（气液界面的曲率半径为r），此时液珠内部压力为P1=P0+Ps。现在，以一个微小的力F推动活塞，使液珠半径增加dr。2024/4/1Young-Laplace一般式的推导设有一毛细管内充满液Young-Laplace

一般式的推导则此时，液珠的面积增大了dA，液珠体积增大值为dV。此时为了克服表面张力，环境所消耗的体积功应为PsdV。当体系达到平衡时，此功的数值和表面能σdA相等，即PsdV=σdA2024/4/1Young-Laplace一般式的推导则此时，液珠的面积增若曲面是非球形的若曲面是球形的则，Ps(4πr2dr)＝

(8πrdr)r1,r2:在曲面上任意选两个互相垂直的正截面的曲率半径（主曲率半径）2024/4/1若曲面是非球形的若曲面是球形的则，Ps(4πr2dr)＝毛细现象(Capillarity)

H2O

Hg凹形液面

凸形液面（1）为什麽会形成凹形或凸形液面？（2）为什麽液面会上升或下降？2024/4/1毛细现象(Capillarity)毛细管上升和下降现象当把毛细管插入水中时，管中的水柱表面全呈凹形表面，水面上升到一定高度，这是由于在凹液面下液体所受到的压力小于平面上液体所受的压力，因此管外液体被压入管内，直到在平面处液柱的静压力（ρgh）与凹面的附加压力（2σ/r）相等后才达平衡。2024/4/1毛细管上升和下降现象当把毛细管插入水中时，管中的水柱表面全呈2.

ps=2

/R=ρgh毛细管上升和下降现象当把毛细管插入汞中时，管内汞面呈凸形