集合与函数概念

关于集合与函数概念1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.学习目标第2页,共34页，2024年2月25日，星期天知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引第3页,共34页，2024年2月25日，星期天知识梳理自主学习知识点一函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的

，在集合B中都有

和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做

，

叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做

，函数值的集合

叫做函数的值域.显然，值域是集合B的

.答案子集任意一个数x唯一确定的数f(x)y＝f(x)，x∈A自变量x的取值范围A函数值{f(x)|x∈A}第4页,共34页，2024年2月25日，星期天知识点二函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.(1)定义域定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.(2)对应关系对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应.第5页,共34页，2024年2月25日，星期天(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定.思考(1)符号“y＝f(x)”中“f”的意义是什么？答符号“y＝f(x)”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.例如y＝f(x)＝x2中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)＝a2，f(x＋1)＝(x＋1)2，而函数y＝f(x)＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍，从而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x＋1).答案第6页,共34页，2024年2月25日，星期天(2)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？答这种看法不对.符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.(3)f(x)与f(a)有何区别与联系？答

f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.答案第7页,共34页，2024年2月25日，星期天答案知识点三函数相等如果两个函数的

相同，并且

完全一致，我们就称这两个函数相等.思考函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？答相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.对应关系定义域第8页,共34页，2024年2月25日，星期天知识点四区间概念区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半闭半开区间[a，b)第9页,共34页，2024年2月25日，星期天{x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}

[a，＋∞){x|x>a}

(a，＋∞){x|x≤a}

(－∞，a]{x|x<a}

(－∞，a)R

(－∞，＋∞)取遍数轴上所有的值第10页,共34页，2024年2月25日，星期天答案返回思考(1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？答若a，b为区间的左右端点，则a<b.(2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？答不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.(3)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？答

“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.第11页,共34页，2024年2月25日，星期天题型探究重点突破题型一函数概念的应用例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(

)A.0个B.1个C.2个D.3个解析①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.解析答案反思与感悟B第12页,共34页，2024年2月25日，星期天1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.反思与感悟第13页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案跟踪训练1下列对应关系式中是A到B的函数的是(

)A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1对于B，符合函数的定义.对于C，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.B第14页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案题型二判断是否为同一函数例2判断下列函数是否为同一函数：解

f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，定义域不相同，所以二者不是同一函数.解

f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数.第15页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案反思与感悟(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；解尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数.(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0).解

f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此二者不是同一函数.第16页,共34页，2024年2月25日，星期天反思与感悟判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数相同；(2)定义域不同，则两个函数不同；(3)对应关系不同，则两个函数不同；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定相同，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量用什么字母表示无关.第17页,共34页，2024年2月25日，星期天跟踪训练2下列各组函数中，表示同一函数的是(

)C答案第18页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案反思与感悟题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域：所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.解要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x＜0.∴函数的定义域为{x|x＜0}.第19页,共34页，2024年2月25日，星期天反思与感悟1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.第20页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案跟踪训练3求下列函数的定义域：解由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1.第21页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案第22页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案反思与感悟题型四求函数值(1)求f(2)，g(2)的值；又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2)求f[g(3)]的值.解

∵g(3)＝32＋2＝11，第23页,共34页，2024年2月25日，星期天反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.第24页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].第25页,共34页，2024年2月25日，星期天抽象函数定义域理解错误致误易错点解析答案易错警示例5已知函数f(3x＋1)的定义域为[1,7]，求函数f(x)的定义域.错解因为f(3x＋1)的定义域为[1,7]，即1≤3x＋1≤7，解得0≤x≤2，所以f(x)的定义域为[0,2].正解令3x＋1＝t，则4≤t≤22，即f(t)中，t∈[4,22]，故f(x)的定义域为[4,22].第26页,共34页，2024年2月25日，星期天易错警示错误原因纠错心得对定义域是自变量x的取值范围理解错误.(1)已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围.(2)已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域.若不能正确理解φ(x)与x的关系将导致错误.第27页,共34页，2024年2月25日，星期天解析答案返回跟踪训练5若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域.解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].第28页,共34页，2024年2月25日，星期天当堂检测12345解析答案1.下列图象中能表示函数y＝f(x)图象的是