线性代数高等代数知识点总结

关于线性代数高等代数知识点总结概念不同行不同列的元素的乘积的代数和。性质经转置行列式的值不变；互换两行行列式变号；某行有公因子可提到行列式符号外；拆成行列式的和；消法变换。第2页,共54页，2024年2月25日，星期天展开第3页,共54页，2024年2月25日，星期天计算数字型抽象型三角化法；重要行列式法；加边法；递推法。用行列式性质；用矩阵性质；用特征值；利用矩阵相似。【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式的计算及其证明.第4页,共54页，2024年2月25日，星期天证|A|=0AX=0有非零解；反证法；R(A)<n;A可逆；|A|=-|A|；A的列向量组线性相关；0是A的特征值；第5页,共54页，2024年2月25日，星期天应用AX=0有非零解；伴随矩阵求逆法；克拉姆法则;A可逆的证明；线性相关(无关)的判定；特征值计算。第6页,共54页，2024年2月25日，星期天二、特殊行列式的值第7页,共54页，2024年2月25日，星期天第8页,共54页，2024年2月25日，星期天第9页,共54页，2024年2月25日，星期天第10页,共54页，2024年2月25日，星期天三、有关行列式的几个重要公式1、若A是n阶矩阵，则2、若A,B是n阶矩阵，则3、若A是n阶矩阵，则4、若A是n阶可逆矩阵，则5、若A是n阶矩阵，是A的n个特征值，则6、若A与B相似，则第11页,共54页，2024年2月25日，星期天行列式的计算（重点）常用方法：三角化法展开降阶法（和消元相结合最为有效）加边法归纳法化为已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）第12页,共54页，2024年2月25日，星期天本章所需掌握的题型：行列式计算（重点）

1、具体阶数行列式计算

2、较简单的n阶行列式计算与行列式定义、性质有关的问题需利用行列式进行判定的问题

如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况

2、矩阵可逆性

3、向量组相关性（向量个数＝向量维数）

4、两个矩阵相似的必要条件

5、矩阵正定、半正定的必要条件第13页,共54页，2024年2月25日，星期天14第14页,共54页，2024年2月25日，星期天15转置取逆伴随加法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)

1=k

1A

1

(kA)*=kn

1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)

1=B

1

A

1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)

1=(A

1)T(AT)*=(A*)T取逆(A

1)

1=A(A

1)*＝(A*)

1伴随(A*)*=|A|n

2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I当A可逆时，A*＝|A|A

1第15页,共54页，2024年2月25日，星期天16行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A)(k≠0)乘法|AB|=|A||B|r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置|AT|=|A|r(AT)=r(A)取逆|A

1|=|A|

1伴随|A*|=|A|n

1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n

10,若r(A)<n

1

其它定义性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)第16页,共54页，2024年2月25日，星期天17初等变换行变换列变换换法变换倍法变换消法变换对单位矩阵做一次初等变换对A做一次行变换=用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换=用相应的初等矩阵右乘以A第17页,共54页，2024年2月25日，星期天18

对于m×n矩阵A，B下列条件等价A

B，即A可由初等变换化成B有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B秩A=秩BA，B的标准型相同

A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB

每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵

A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ

每个秩数为r的矩阵都等价于矩阵等价第18页,共54页，2024年2月25日，星期天n阶方阵A可逆

A的行最简形为E.

A为初等阵的乘积

多角度看可逆阵

A的行(列)向量组线性无关

任一n维向量

都可由行(列)向量组线性表示

A的特征值均不为零

A的行(列)向量组的秩都是n.(非退化阵)(满秩)

ATA为正定阵.方阵A与E相似

A=E

A正定

i>0

p=n

A=PTP

k>0第19页,共54页，2024年2月25日，星期天第20页,共54页，2024年2月25日，星期天1.错（不满足消去律）2对3错（不满足交换律）4.错（不一定是方阵）5.对6错（同4）7对8对9错（不存在关于加法的公式，同理行列式也不存在关于加法的公式）10对第21页,共54页，2024年2月25日，星期天22向量第22页,共54页，2024年2月25日，星期天23线性表示：列向量组

1,...,

r可由1,...,

s线性表示当且仅当有矩阵C使得(

1,...,

r)=(

1,...,

s)C.进一步，C的第k列恰为k的表示系数线性表示有传递性被表示者的秩数≤表示者的秩数向量组等价：对于向量组S，T，下列条件等价S和T等价，即S,T可以互相表示S,T的极大无关组等价S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示第23页,共54页，2024年2月25日，星期天24线性相关与线性表示：

1,...,

r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若,

1,...,

r线性相关,而

1,...,

r线性无关,则可由1,...,

r线性表示,且表法唯一线性无关：对于向量组

1,...,

r下列条件等价

1,...,

r线性无关当c1,...,cr不全为0时，必有c1

1+...+cr

r

0

当c1

1+...+cr

r＝0时，必有c1＝...＝cr＝0

1,...,

r的秩数等于r(

1,...,

r)是列满秩矩阵第24页,共54页，2024年2月25日，星期天25极大无关组与秩数：

1,...,

r

S是S的一个极大无关组当且仅当

1,...,

r线性无关S的每个向量都可由

1,...,

r线性表示秩S＝极大无关组中向量的个数若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数第25页,共54页，2024年2月25日，星期天有非零解判定方程线性相关性的判别特别当向量组的

“向量个数＝向量维数”

时，则有：当向量维数<向量个数”时，则有向量组必线性相关.第26页,共54页，2024年2月25日，星期天“短”向量组无关必有“长”向量组无关“长”向量组相关必有“短”向量组相关向量组“部分相关”必有“整体相关”向量组“整体无关”必有“部分无关”“大”向量组被“小”向量组表出，“大”向量组线性相关.“线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向量组线性表出.任何向量组只可能被“秩不小于它的秩”的向量组线性表出.“等价无关组”具有相同的“大、小”通俗记忆第27页,共54页，2024年2月25日，星期天求向量组秩、极大无关组，表示方式行阶梯型矩阵一个极大无关组原向量组一个极大无关组第28页,共54页，2024年2月25日，星期天第一等价链第29页,共54页，2024年2月25日，星期天第二等价链第30页,共54页，2024年2月25日，星期天与初始向量组等价第31页,共54页，2024年2月25日，星期天正交矩阵定义：正交矩阵的性质：第32页,共54页，2024年2月25日，星期天33线性方程组线性方程组的表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,

x=(xi)n×1,

b=(bi)m×1向量式：x1

1+...+xn

n=b,其中i是xi的系数列第33页,共54页，2024年2月25日，星期天34解的判定:

1.n元线性方程组Ax=b有解

系数矩阵与增广矩阵的秩数相等.具体地，当秩A＜秩(Ab)时，方程组无解当秩A＝秩(Ab)＝n时，方程组有唯一解当秩A＝秩(Ab)＜n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数第34页,共54页，2024年2月25日，星期天35解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应的方程组取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解第35页,共54页，2024年2月25日，星期天36解的结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解的集合基础解系：解空间的基底通解：设

1,…,

s是一个基础解系,则通解为

=c1

1+...+cs

s，其中c1,...,cs是任意常数解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系第36页,共54页，2024年2月25日，星期天37一般线性方程组Ax=b：Ax＝b和Ax=0的解的关系：Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则Sb＝S0+，Sb通解：设

1,…,

s是一个基础解系,是Ax=b的一个解,则通解为

=c1

1+...+cs

s+

，其中c1,...,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和＝0时；Ax=b的解，当系数和＝1时.第37页,共54页，2024年2月25日，星期天38矩阵计算行列式：①化三角形；②展开+递推求逆矩阵：①行变换；②伴随求秩数：①初等变换；②定义计算第38页,共54页，2024年2月25日，星期天39方程组的计算求基础解系：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)带参数的方程组：先化简，再判定.

可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.第39页,共54页，2024年2月25日，星期天40向量的计算设S：

1,...,

s是n元向量组(无论行或列)求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数判断S的相关性：设x1

1+...+xs

s=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关.求S的秩数.若秩Ss,则相关；若秩S＝s,则无关线性表示：令

=x1

1+...+xs

s,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，不可由S表示.第40页,共54页，2024年2月25日，星期天41求极大无关组：若已知秩S＝r，则在S中找出r的无关的向量即可将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.第41页,共54页，2024年2月25日，星期天第42页,共54页，2024年2月25日，星期天第43页,共54页，2024年2月25日，星期天第44页,共54页，2024年2月25日，星期天第45页,共54页，2024年2月25日，星期天第46页,共54页，2024年2月25日，星期天1错（至少有一组，非任意）2对3错（同1）4错（是当且仅当，即只存在唯一一组）5对6对7错（无穷不等于任意）8错（或）9对10错（整体无关，部分无关；部分相关，整体相关。反之皆未必）11错（同上）12错（这样的不全为0的数组不唯一）13错（是至少有一组，不是全部）14错（还要条件：线性无关）15错（同上）16错（比如3行4列矩阵，秩为3时）17错18错19错20对第47页,共54页，2024年2月25