角平分线的性质及应用

关于角平分线的性质及应用旧知回顾角的平分线的定义是什么？第2页,共15页，2024年2月25日，星期天旧知回顾

已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。ABO第3页,共15页，2024年2月25日，星期天AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．1、怎样画一个已知角的角平分线

第4页,共15页，2024年2月25日，星期天

如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在何处解决问题S公路铁路第5页,共15页，2024年2月25日，星期天

画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP,过P作PD⊥OA,PE⊥OB问题：①比较PD和PE的大小关系（量一量）。

PD=PE②再换一个新的位置看看情况会怎样？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.PAOBCED1、怎样画一个已知角的角平分线第6页,共15页，2024年2月25日，星期天证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE2、验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：“一个点在一个角的平分线上”。结论：“这个点到这个角两边得距离相等”第7页,共15页，2024年2月25日，星期天角的平分线上的点到角的两边的距离相等3、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用数学语言表述：或：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线的性质）第8页,共15页，2024年2月25日，星期天ACDEBF例：已知：如图，△ABC中∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。证明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE（已证）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形对应边相等）第9页,共15页，2024年2月25日，星期天练习1：已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.

BAEDCF◆证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC(已知)∴DE=DF(角平分线的性质)在Ｒt△BED和Rt△CFD中,

BD=CD（已证）

DE=DF（已知）∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)∴BE=FC（全等三角形对应边相等）第10页,共15页，2024年2月25日，星期天练习2：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点，EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E到OA的距离分析：点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。解：过E作EN⊥OA垂足为N∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EM⊥OB，EN⊥OA，∴EM=EN又∵EM=3cm，∴EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。EBOACMN第11页,共15页，2024年2月25日，星期天练习：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点，EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E到OA的距离分析：点E到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。解：过E作EN⊥OA垂足为N∵E是∠AOB的角平分线上的一点，EM⊥OB，EN⊥OA，∴EM=EN又∵EM=3cm，∴EN=3cm即点E到OA的距离为3cm。EBOACMN第12页,共15页，2024年2月25日，星期天练习3：如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．

第13页,共15页，2024年2月25日，星期天回味无穷性质角平分线上的点到这个角的两边距离相等.几何语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(