《工会会计制度》讲解-收入支出及会计报表编报倪

4.1.2函数(hánshù)的极值第一页，共31页。4.1.2函数(hánshù)的极值第一页，共31页。第二页，共31页。第二页，共31页。1.极值与极值点(1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.(2)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.(3)函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点.(4)极值是函数在一个适当区间内的局部性质,函数的某些(mǒuxiē)极大值有时候比其他极大值小,甚至可能比一些极小值还小.第三页，共31页。1.极值与极值点第三页，共31页。名师点拨(1)函数在一个区间(qūjiān)的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间(qūjiān)上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值,没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.【做一做1】下列说法不正确的是()A.函数y=x2有极小值B.函数y=sinx有无数个极值C.函数y=2x没有极值D.x=0是函数y=x3的极值点答案:D第四页，共31页。名师点拨(1)函数在一个区间(qūjiān)的端点处一定不2.函数极值的求法【做一做2】函数f(x)=-2x3+3x2+1的极大值与极小值分别等于()A.0,1 B.-1,0 C.-2,-1 D.1,2解析:f'(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),令f'(x)=0得x=0或x=1,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以(suǒyǐ)当x=0时,函数取极小值f(0)=1;当x=1时,函数取极大值f(1)=2.答案:D第五页，共31页。2.函数极值的求法第五页，共31页。思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面(hòumian)的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)导数为0的点一定是极值点.()(2)函数的极大值一定大于极小值.()(3)在定义域上的单调函数一定没有极值.()(4)对于任意函数,极值点处的导数值一定等于0.()(5)三次函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√第六页，共31页。思考辨析第六页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析分析按照求函数极值的步骤,借助表格进行求解.第七页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析解(1)函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:第八页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析第九页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析第十页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析第十一页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析反思感悟利用导数研究函数的极值时,一般应首先考虑函数的定义域,然后求出函数的导数,得到导数为零的点,这些点将整个定义域分为若干个区间,将x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格中,观察导数为零的点的左、右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值点,否则,不是极值点,这样通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值.第十二页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析第十三页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析第十四页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析【例2】

已知函数f(x)=x3-ax2-ax+b.(1)若函数在x=-2处取得极值5,求实数a,b的值;(2)若函数在R上不存在极值,求实数a的取值范围.分析(1)可利用f'(-2)=0,f(-2)=5建立a,b的方程组求解;(2)根据方程f'(x)=0不存在两个不同的实数根求解.解(1)因为f(x)=x3-ax2-ax+b,所以f'(x)=3x2-2ax-a,依题意可得f'(-2)=0,f(-2)=5,第十五页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析(2)f'(x)=3x2-2ax-a.①若方程f'(x)=0没有实数根,则函数在R上不存在极值,这时Δ=(-2a)2+12a<0,解得-3<a<0.②若方程f'(x)=0有两个相等的实数根,则Δ=(-2a)2+12a=0,这时a=-3或a=0.当a=-3时,f'(x)=3(x+1)2,虽有f'(-1)=0,但当x≠-1时总有f'(x)>0,所以f(x)在R上不存在极值.当a=0时,f'(x)=3x2,虽有f'(0)=0,但当x≠0时总有f'(x)>0,所以f(x)在R上不存在极值.③若方程f'(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2),则函数f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,若函数在R上不存在极值,必有-3≤a≤0.第十六页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析反思感悟(1)根据函数极值的定义可知,如果一个函数是可导函数,那么在极值点处的导数必然为零,即对于可导函数y=f(x),f'(x0)=0是x0为极值点的必要条件,当已知函数在某一点处取得极值时,该点处的导数值一定为零,据此可建立关于参数的方程进行求解.(2)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac,则有以下结论:第十七页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析答案:8第十八页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析【例3】已知函数y=xf'(x)的图像如下图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增加的;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有

.第十九页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析解析:从图像上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增加的,①正确;当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0.当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0.故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,0)上是减少的,③错;当0<x<1时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)上是减少的,而在区间(1,+∞)上是增加的,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确.答案:①②④第二十页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析反思感悟这类函数图像问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点,对于导函数的图像,我们重点考虑其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则该点处取得极大值;若由负值变为正值,则该点处取得极小值.第二十一页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析变式训练3已知f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f'(x)的图像如图所示,则函数f(x)的极大值是(

)A.-2a+c

B.-4a+cC.-3a

D.c解析:由导函数f'(x)的图像知,当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0;当x=2时,f'(x)=0.又f'(x)=3ax2+2bx,所以b=-3a,f(x)=ax3-3ax2+c,所以函数f(x)的极大值为f(2)=-4a+c,故选B.答案:B第二十二页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析忽视极值存在的条件致误【典例】

已知函数f(x)=x3+6mx2+4nx+8m2在x=-2处取得极值,且极值为0,求m+4n的值.易错分析本题常见错误是,根据f'(-2)=0,f(-2)=0求得m,n的两组值后,不根据极值存在的条件进行检验取舍,导致增解.第二十三页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析解f'(x)=3x2+12mx+4n,当m=1,n=3时,f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0,所以f(x)无极值,不符合题意;当m=2,n=9时,f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+6),当-6<x<-2时,f'(x)<0,当x>-2时,f'(x)>0,故f(x)在x=-2处取得极值,符合题意.综上,m=2,n=9,所以m+4n=38.第二十四页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析纠错心得“f'(x0)=0”是“f(x0)为极值的必要不充分条件”,因此由f'(x0)=0求得m,n的值以后要验证在x=x0左右两侧导数值的符号是否相反,才能确定函数是否在x0点处取得极值.在已知函数的极值点与极值的条件下,求参数值时,务必注意这一点.第二十五页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànjiū)三思维辨析变式训练若函数f(x)=x3+ax2+x在R上存在极值,则实数a的取值范围是

.

解析:f'(x)=2x2+2ax+1,因为函数在R上存在极值,所以方程f'(x)=2x2+2ax+1=0应有两个不相等的实数根,因此Δ=4a2-8>0,解得第二十六页，共31页。探究(tànjiū)一探究(tànjiū)二探究(tànji123451.函数(hánshù)y=2x3-3x2()A.在x=0处取极大值,无极小值B.在x=1处取极小值