2023年中考数学复习 二次函数中面积问题压轴真题训练（解析版）

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编

专题03二次函数中面积问题压轴真题训练

1.(2022•连云港)已知二次函数y=j?+Cm-2)x+m-4,其中加>2.

(1)当该函数的图象经过原点0(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数丁=尤2+(m-2)x+〃z-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y

=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为8,求^

面积的最大值.

【解答】(1)解：把。(0,0)代入y=/+(m-2)x+m-4得:

m-4=0,

解得m=4,

.,.y=x2+2x=(x+1)2-1,

.••函数图像的顶点A的坐标为(-1,-1)；

(2)证明：由抛物线顶点坐标公式得y=1+(m-2)x+m-4的顶点为(2®,

2

9

-in+8m20),

4

V/n>2,

.*.2-m<0,

2zm<o,

2

2

V-m+8m_20=-1(m-4)2--l<0,

44

...二次函数y=/+(/n-2)x+m-4的顶点在第三象限；

(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y=f+公+c,其顶点为(-

b4c-b2)

~2-

当x=0时，B(0,c),

2

将(-A,4c-b)代入=-尸2得:

24

4c-『=旦-2,

42

•,-b2+2b-8

.•cz-------,

4

'：B(0,c)在y轴的负半轴，

.*.c<0,

：.AH=l,

在△AOB中，

2

SMOB=—OB*AH=—'X(-b+zb-/)X1=-A/?2-A/?+l=-_L(b+l)2+9,

2248488

：-1<0,

8

...当Z?=-l时，此时CVO,S、AOB取最大值，最大值为❷，

8

答：aAOB面积的最大值是9.

8

2.(2022•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线丫=依-3(AW0)与

抛物线y=-f相交于A,8两点(点A在点8的左侧)，点8关于y轴的对

称点为B1.

(1)当k=2时，求A,B两点的坐标；

(2)连接。4,OB,AB',BB',若△8AB的面积与△OAB的面积相等，求k

的值；

(3)试探究直线A9是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不

是，请说明理由.

【解答】解：(1)当女=2时，直线为y=2x-3,

.,.A(-3,-9),8(1,-1)；

的面积与△OAB的面积相等,

OB'//AB,

：.ZOB'B=ZB'BC,

'：B.夕关于y轴对称，

：.OB=OB',ZODB=ZODB,=90°,

：.ZOBB=ZOBB',

：./OBB,=/BBC,

'：ZODB=90°=ZCDB,BD=BD,

：./\BOD^/\BCD(ASA),

，OD=CD,

在了=人-3中，令尤=0得y=-3,

：.C(0,-3),OC=3,

：.OD=1OC=1,D(0,-2),

222

在yn-x2中，令y=-3得-旦=-x2,

22

解得或x=-1，

_22

：.B(运-2),

22

把8(返_,-3)代入y=^-3得：

22

-旦=^^-3,

22

解得k=运;

2

当GV0时，过夕作8尸〃A3交)，轴于F,如图:

在y=Ax-3中，令x=0得y=-3,

：.E(0,-3),OE=3,

'：/\B'AB的面积与△OA8的面积相等，

：.OE=EF=3,

•；B、夕关于y轴对称，

：.FB=FB',/FGB=NFGB，=90°,

•:B'F//AB,

：.ZEBB'=ZFB'B,

：.ZEBB'=ZFBB',

VZBG£=90°=ZBGF,BG=BG,

:.△BGF/ABGE(ASA),

:.GE=GF=1EF=1,

22

AOG=OE+GE=1,G(0,-2),

22

在y=-J?中，令y=-9得-2=-X2,

22

解得x=s&或x=-3巨，

22

：.B(3返,-2),

22

把B(­?■返一,-9)代入y=kx-3得：

22

-g=3加4-3,

22

解得k=-1，

2__

综上所述，々的值为限或-Y2；

22

(3)直线AB，经过定点(0,3),理由如下：

f_2

由y-x得:/+入一3=0,

y=kx-3

设f+&-3=0二根为mb,

Aa+b=-k,ab=-3,A(a,-/),B(b,-〃),

•；B、夕关于y轴对称，

(-b,-〃)，

设直线A夕解析式为y=/nr+〃，将A(a,-/),B'(-b,-b2)代入得:

(2

am+n=-a

2

.-bm+n=-b

解得：(m=-(a-b),

ln=-ab

•:a+b=-k,ab=-3,

•"=-(a-b)=b-«=V(a+b)2-4ab==Vk2+12)«=-ab=~(7)=

3,

，直线AB'解析式为y=7k2+12*-r+3，

令x=0得y=3,

直线A8经过定点(0,3).

3.(2022•巴中)如图1,抛物线yuo^+Zx+c,交x轴于A、B两点,交y轴于

点C，口为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E,当＞20时，-1WXW3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是线段8E上的动点(除8、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物

线于点D.

①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；

②如图2,直线A。，8。分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问，EM+EN

是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

图1图2

【解答】解：(1)•.•当y»0时，-l〈xW3,

/.XI=-1,%2=3是加+2x+c=0的两根，A(-1,0),B(3,0),

•(a-2+c=0

19a+6+c=0

解得：fl.

1c=3

二抛物线的表达式为：y=-/+2x+3；

(2)①把x=2代入y=-/+2x+3得：y—3,

：.D(2,3).

又当x=0,y=3,

：.C(0,3),

二线段CD〃x轴.

■；y=-X2+2X+3=-(x-1)?+4,

4)，=SAFCD+SAACD(yp~yA^=4：

②设£)(m,-n?2+2/??+3)(1</w<3),

直线A£)：y=k\x+b\9BD：y=kix+b2y

0=-k]+b]0=3卜2+b2

因此可得：＜或o

-m+2m+3=k]in+b]-m+2m+3=k2m+b?

ki=3-mk2=-]-m

解得：＜1或

b|=3-mb2=3m+3

直线AD：y=(3-m)x+(3-m),BD：y=-(/n+1)x+3(.m+l).

令x=l得y“=6-2m,yN=2m+2,

ME=6-2m,NE=2m+2,

：.NE+ME=S.

4.(2022•阜新)如图，已知二次函数y=-J+bx+c的图象交工轴于点A(-1,

0),B(5,0),交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图1,点M从点B出发，以每秒加个单位长度的速度沿线段3C向点

。运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点8运

动，点M,N同时出发.设运动时间为，秒(0V/V5).当，为何值时，丛BMN

的面积最大？最大面积是多少？

（3）已知产是抛物线上一点，在直线上是否存在点Q,使以A,C,P,

。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点。坐标；若不存在，

请说明理由.

【解答】解：（1）将点A（-1,0）,B（5,0）代入y=-x1+bx+c中,

得/0=-l-b+c

10=-25+5b+c

解这个方程组得［b=4,

1c=5

二次函数的表达式为y=-/+4x+5;

（2）过点M作MELr轴于点E,如图：

设面积为S,

根据题意得：ON=t,

•；B(5,0),

：.BN=5-t,

在y=-r+4x+5中，令x=0得y=5,

：.C(0,5),

:.OC=OB=5,

；.NOBC=45°.

：.ME=BMsin45°=如t与=t,

:.S=LBN・ME=L（5-1）*t=-工1+且=-A（r-A）2+丝，

2222228

V0<?<5,

.,.当tQ■时，△8WN的面积最大，最大面积是空；

28

（3）存在点Q,使以A,C,P,。为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：

由8（5,0）,C（0,5）得直线8c解析式为y=-x+5,

设。（加，-m+5）,P（〃，-〃2+4〃+5），又4（-1,0）,C（0,5）,

①当PQ,AC是对角线，则尸Q,AC的中点重合，

.m+n=~l+0

・.42，

,"m+5-n+4n+5=0+5

解得加=0（与C重合，舍去）或〃2=-7,

：.QC-7,12）；

②当。A,PC为对角线，则Q4,PC的中点重合，

.fm-l=n+0

，

.~m+5+0=-n2+4n+5+5

解得加=0（舍去）或加=7,

：.Q（7,-2）；

③当。C,附为对角线，则。C,%的中点重合，

.fm+0=n-l

，

,-m+5+5=-n2+4n+5+0

解得m=\或m=2,

：.Q（1,4）或（2,3）,

综上所述，Q的坐标为（-7,12）或（7,-2）或（1,4）或（2,3）.

5.（2022•鞍山）如图，抛物线y=-与x轴交于A（-1,0）,B两

点，与y轴交于点C（0,2）,连接BC.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点。，△BCD的面

积为12,求点P的坐标.

（3）在（2）的条件下，若点E是线段8C上点，连接0E,将沿直线

0E翻折得到△。七夕，当直线与直线8P相交所成锐角为45°,时，求点

8的坐标.

【解答】解：(1)将A(-1,0),C(0,2)代入y=-l^+bx+c,

2

(c=2

••4]f

方-b+c=0

解得力,

c=2

.*.y=--11+旦*+2；

-22

(2)令y=0,则-_1?+%+2=0,

22

解得x=-1或x=4,

：.B(4,0),

：.OB=4,

.,.SABCD=AX4X(2+0。)=12,

2

：.OD=4,

：.D(0,-4),

设直线BD的解析式为y=kx+b,

.*=-4,

I4k+b=0

解得S,

lb=-4

.".y=x-4,

联立方程组

x+2

解得卜=-3或［x=4,

ly=-7Iy=0

(-3,-7)；

(3)如图1,当8在第一象限时,

设直线BC的解析式为y=Z'x+6,

.Jb'=2,

l4k7+—=0'

解得4-2，

b'=2

•*.y=-AX+2,

2

设E(t,-L+2),

2

：.OH=t,EH=-lt+2,

2

,:D(0,-4),B(4,0),

：.OB=OD,

008=45°,

直线EB，与直线BP相交所成锐角为45°,

：.EB'//CD,

由折叠可知，。8=8。=4,BE=BE,

在中，S'H=716-t2>

•''B，£=V16-t2'(_乎2)=V16-t2+1/-2,

.*.BE=Vl6-t2+l/-2,

在R5HE中，2)2=(4-f)2+(-乎2)2

解得一+生区，

一5

,.•0WW4,

.1=逅，

5

：.B'（±ZL82ZL）；

55

如图2,当8在第二象限，ZBGB-450时，

VZABP=45°,

，8G〃x轴，

•.•将△0E8沿直线0E翻折得到△OE8,

：.BE=B'E,OB=OB',ZBOE=ZB'OE,

：.ZBOE=ZB'EO,

：.B'E//B'O,

'：B'E=BO,

...四边形是平行四边形，

：.B'E=4,

：.B'（r-4,-lt+2）,

2

由折叠可知OB=OB'=4,

•••平行四边形OBES是菱形，

:.BE=OB,

••（4-t）2+（-yt+2）2=4,

解得r=4+8&或r=4-竺叵，

55

•.•0WW4,

.*.r=4-

5_

...8（一恒4恒）；

55__

综上所述：8的坐标为（返，/）或（-述，生叵）.

5555

方法2：在中，BC=2娓,CO：OB：BC=1：2：粕,

〈BP与x轴和y轴的夹角都是45°,BP与8E的夹角为45°,

.•.8E〃x轴或8万〃），轴，

当8七〃y轴时，延长8E交x轴于E,

C.B'FLOB,

■:NCBA=NOB'E,

.•.△OBFSACBO,

：.OF：FB'：80=1：2：遥，

•；0B=0B'=4,

:.F0=^~,B'F=8后,

55

：.B,（生叵,8粕）；

55

当B'E//x轴时,过8'作B'FLx中交于F,

：.B'Fl.OF,B'E//OB,

'：B'E和BE关于0E对称,OB和OB'关于0E对称，

C.BE//0B',

"：XFOB'=ZOBC,

：./\OB'F^/\BCO,

：.B'FzF0-.03'=1：2：娓,

'：OB=OB'=4,

：.B'F=^B-,"=8恒,

55

...8（_岖，Wl）；

55___

综上所述：夕坐标为（逅，述）或（-心应，逅）.

Br

6.(2022•荷泽)如图，抛物线＞=加+法+,(aWO)与x轴交于A(-2,0)、

B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将△A3C沿AC所在直线折叠，得到△AOC,点B的对应点为O,直接

写出点。的坐标，并求出四边形OAOC的面积；

(3)点尸是抛物线上的一动点，当NPC8=NA3C时，求点P的坐标.

B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),

4a~2b+c=0

•I64a+8b+c=0>

c=4

'1

解得：|-且•

吨

c=4

.•.抛物线的表达式为、=-12+2X+4；

4X2

(2)点。的坐标为(-8,8),理由：

将△A8C沿AC所在直线折叠，得到△ADC,点3的对应点为O,如图,

(-2,0)、8(8,0),C(0,4),

：.OA=2,OB=8,OC=4.

•.@二，里」，

'0COB

•0A0C

"oc"OB'

VZAOC=ZCOB=90a,

:.△AOCs^COB,

：.ZACO=ZCBO.

,：ZCBO+ZOCB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

AZACB=9Q°,

•.•将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC,点8的对应点为

...点O,C,8三点在一条直线上.

由轴对称的性质得：BC=CD,AB=AD.

VOC±AB,DELAB,

.".DE//OC,

：.OC为△8DE的中位线，

：.OE=OB=S,DE=2OC=S,

：.D(-8,8)；

由题意得：SAACD=S\ABC,

四边形OADC的面积

=S^OAC+S^ABC

=工xOC*OA+1.xAB・OC

22

=±X4X2+J-X10X4

22

=4+20

=24；

(3)①当点P在BC上方时，如图，

J.PC//AB,

...点C,P的纵坐标相等，

点P的纵坐标为4,

令y=4,贝ij-1c+4=4,

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

②当点P在BC下方时，如图,

'：/PCB=ZABC,

设HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=8-m,

在RtZ\COH中，

,:OC2+OH2=CH2,

42+(8-zn)2—nr,

解得：m—5,

：.OH=3,

：.H(3,0).

设直线PC的解析式为y=fcc+〃,

.中=4,

I3ktn=0

1_4

解得：卜一瓦.

n=4

・・・y=-与4+.4A・

：.P(34,-独).

39

综上，点尸的坐标为(6,4)或(旦生--1^2.).

39

7.(2022•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3经过点B

(6,0)和点。(4,-3),与x轴的另一个交点为A,与y轴交于点C,作

直线AD.

(1)①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线的函数表达式；

(2)点E是直线A。下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点、F,连接8D,

DE,尸的面积记为Si,△OEF的面积记为S2,当SI=2S2时，求点E的

坐标；

(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，

与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为。，点C的对应点为C',点G的对

应点为G',将曲线。沿y轴向下平移〃个单位长度(0<n<6).曲线Ci

与直线的公共点中，选两个公共点记作点P和点Q,若四边形CG'QP

是平行四边形，直接写出点P的坐标.

【解答】解：(1)①•••抛物线y=a?+fec-3经过点B(6,0)和点D(4,

-3),

36a+6b-3=0

16a+4b_3=：_3

,1

解得：aq,

b=-l

...抛物线的函数表达式为y=：-x-3；

4

②由①得y=¥-x-3,

当y=0时，Ax2-%-3=0,

-4

用军彳导：xi=6,X2=-2,

AA(-2,0),

设直线A。的函数表达式为则卜2k+d=0,

I4k+d=_3

\_1

解得:k.

d=-l

二直线A。的函数表达式为y=*-1；

(2)如图1,过点8作86〃)轴交直线A。于G,过点E作£”〃>轴交直线

AD于H,

VSi=252,即包迎=2,

^ADEF

.•.班=2,

EF

'：BG//y^,E”〃y轴，

J.BG//EH,

:.ABFGsAEFH,

ABG==BF=2>即BG=2EH,

EHEF

Y点G在直线y=*-1上，BG〃y轴，

：.G(6,-4),

:.BG=4,

:.EH=2,

设E(x,-kx2-x-3),则“(x,_Ax-1),

42

EH=_Ax-1-(A.%2-x-3)=-AX2+A%+2,

2442

2

-AX+_1.X+2=2>

42

解得：xi=0,X2=2,

：.E(0,-3)或(2,-4)；

(3),.,y=L2-x-3=A(x-2)2-4,

44

顶点坐标为G(2,-4),

当x=0时，y=3,即点C(0,-3),

.,.点C'(0,3),G'(2,4),

.•.向上翻折部分的图象解析式为y=-1(x-2)2+4,

...向上翻折部分平移后的函数解析式为y=-l(x-2)2+4-n,平移后抛物

4

线剩下部分的解析式为(九-2)2-4-〃，

设直线BC的解析式为y=/x+d'(/70),

把点8(6.0),C(0,-3)代入得：［6k'+d'=0,

Id7=-3

(，-A

解得：，一2,

d'=-3

二直线8C的解析式为3,

同理直线C'G'的解析式为y=/+3,

：.BC//CG',

设点尸的坐标为(s,工-3),

2

•点C'(0,3),G'(2,4),

...点C'向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G',

•••四边形C'G'QP是平行四边形，

.•.点Q(5+2,1s-2),

2

当点P,。均在向上翻折部分平移后的图象上时，

’191

-T(s-2)+4-n=-z-s~3

贝*:1，

9

工(s+2-2)+4-n=qs-2

解得:s=0

n=6

V0<n<6,

，s=0,〃=6不符合题意，舍去;

当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点。在平移后抛物线剩下部分的图

象上时，

f121

则L-77（s-2）+4-n=K，S-3，

9

1（s+2-2）-4-n=-s-2

解得：卜=i+d万或卜=i-T7（不合题意，舍去），

In=2\n=2

当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图

象上时,

1,91

~r(s-2)-4-n=-^-s-3

则,、

口(s+2-2)+4-n=5s-2

解得：至或卜=1+里1（不合题意，舍去），

n=2+V13ln=2-V13

综上所述，点尸的坐标为（i+VTF，-5而）或J5-V13..）.

22

图2

8.(2022•西藏)在平面直角坐标系中，抛物线y=-U+(a-1)x+2〃？与x

2

轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限内的

一个动点.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A,C的坐标；

(2)如图甲，点M是直线上的一个动点，连接AM,OM,是否存在点M

使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图乙，过点尸作PFLBC,垂足为凡过点C作CO_L3C,交x轴于

点D,连接。P交8C于点E,连接CP.设△PEF的面积为Si,△PEC的面

积为S2,是否存在点P,使得出最大，若存在，请求出点尸的坐标，若不存

S2

【解答】解：(1)将3(4,0)代入y=-Ax2+Cm-1)x+2m,

：.-8+4Cm-1)+2〃z=0,

解得m=2,

.*.y=-AX2+X+4,

2

令x=0,则y=4,

：.C(0,4),

令y=0,则-工

2

解得x=4或％=-2,

AA(-2,0)；

(2)存在点似使AM+OM最小，理由如下：

作。点关于3C的对称点。‘，连接A。'交8c于点M,连接3。,

由对称性可知，0M=O'M,

，AM+OM=AM+O'M^AO',

当A、M、。三点共线时，AM+OM有最小值，

VB(4,0),C(0,4),

：.OB=OC,

：.ZCBO=45°,

由对称性可知/O'BM=45°,

：.BO'±BO,

：.O'(4,4),

设直线AO'的解析式为y=kx+b,

•f-2k+b=0

l4k+b=4

k卷

解得

b4

x+A,

33

设直线BC的解析式为y=k'x+4,

.•.4女'+4=0,

：・K=-1,

，y=-x+4,

y=-x+4

联立方程组，24，

y=7x+3

f8

x至

解得:c,

12

|y=V

：.M(反，必；

55

(3)存在点P,使得2L最大，理由如下：

s2

连接尸8,过P点作PG〃y轴交C8于点G,

设P6-上尸+什4),则G(/,7+4),

2

：.PG=-1?+2/,

2

：08=00=4,

:.BC=4M，

.,.SABCP=1X4X(-工产+2/)=-产+4f=_lX4&XPF,

222

：.PF=-返

4

■:CDLBC,PFLBC,

：.PF//CD,

•••E■F.-3PFi,

CECD

•.a=空,

S2CE

•S1-PF

••一,

s2CD

:B。两点关于y轴对称，

C£)=4^2»

AL=-_L_(i2-4t)="—(/-2)2+A,

S216164

•••P点在第一象限内，

/.0<r<4,

.••当/=2时，包有最大值上,

$24

此时P(2,4).

9.（2022•青海）如图1,抛物线yuf+foc+c与x轴交于A（-1,0）,B（3,

0）两点，与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线8C的交点，点E是抛物线的顶点，求

的长；

（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△%B=6的点P?

如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

【解答】解：（1）将A（-1,0）,8（3,0）代入y=f+bx+c,

得：（l-b+c=0,解得：（b=-2,

I9+3b+c=0\c=_3

二该抛物线的解析式为-2r-3.

（2）..•抛物线的解析式为y=1-2x-3,

抛物线的顶点产的坐标为（1,-4）,抛物线的对称轴为直线.*=

当x=0时，y=02-2X0-3=-3,

.•.点C的坐标为（0,-3）.

设直线8C的解析式为（加W0）,

将B（3,0）,C（0,-3）代入y=wv+〃，

得：13m+n=0,解得：1m=l,

ln=-3ln=-3

直线BC的解析式为y=x-3.

当x=l时，y=1-3=-2,

.•.点£的坐标为（1,-2）,

.,衣=|-2-（-4）|=2.

（3）•.,点A的坐标为（-1,0）,点B的坐标为（3,0）,

：.AB=\3-（-1）|=4.

设点尸的坐标为（力产-2r-3）.

"•"SAMS=6.

.•.1X4X|?-2Z-3|=6,

2

即--2r-3=3或r2-2r-3=-3,

解得：n=1-V7>/2=1+V7'f3=0,白=2,

.♦.存在满足S△用B=6的点尸，点P的坐标为(1-4，3)或(1+J7,3)或

(0,-3)或(2,-3).

10.(2022•上海)在平面直角坐标系宜制中，抛物线y="1d+foc+c过点A(-2,

-1),B(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)平移抛物线，平移后的顶点为尸(m,ri')(；77>O).

i.如果SAOBP=3,设直线x=k,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均

呈上升趋势，求左的取值范围；

ii.点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点0,且NBPQ=120。，求点P

的坐标.

【解答】解：(1)将4(-2,-1),B(0,-3)代入y=L-2+法+c,得：

2

f-l=2-2b+c

I-3=c

解得：1=0,

Ic=_3

二抛物线的解析式为)，=h-3.

(2)i.•.•尸占-3,

2

，抛物线的顶点坐标为(0,-3),

即点B是原抛物线的顶点，

•.•平移后的抛物线顶点为P(〃7,〃)，

...抛物线平移了依I个单位，

*'•S/\OPB~—X3|/n|—3»

2

**•"2=2,

即平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,

•.•在x=Z的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，

.M22；

ii.把尸(如〃)代入丁二2X27,

2

•n=12—3.

qm°'

:,P(m,—2-3)9

2

由题意得，新抛物线的解析式为y=^(x_m)2+n=lx2_mx+m2-3,

，Q(0,m2_3),

•：B(0,-3),

,BQ=m2,BP2=m2+(ym2-3+3)2=m2+[i?，笺=

m2+[(ym2-3)-(m2-3)]2=m2-^m4,

：.BP=PQ,

如图，过点P作尸CJ_y轴于C,则PC=|m|,

,:PB=PQ,PCLBQ,

：.BC=lBQ=lm2,ZBPC=1ZBPQ=1X120°=60°,

2222

12

/.tanZBPC=tan60°=Bt.=2_J7,

PCImlYS

:•m=2M或m=-2如(舍)，

.,.二/--3=3,

，P点的坐标为(2五，3).

轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点，过P作PQ

〃8C交AC于点Q.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CP。面积的最大值，并求此时P点坐标.

【解答】（1）•••抛物线产/+法+c（b,c是常数）的顶点为C,与x轴交于

A,8两点，A（1,0）,AB=4,

：.B（-3,0）,

•fl+b+c=0

I9-3b+c=0

解得『=2,

Ic=_3

...抛物线的解析式为旷=r+2%-3；

（2）过。作QEJ_x轴于E,过。作CFJ_x轴于尸，

设PCm,0),则PA=\-m,

"."y=x2+2x-3=(x+1)2-4,

：.C(-1,-4),

：.CF=4,

,JPQ//BC,

：.^PQA^/\BCA,

•QE_AP^||QE=_l--m'

"CF"AB"'vr

QE=1-m,

•'.SA.CPQ=S^PCA-S八PQA

=1PA*CF-IPA*QE

=_L(l-m)X4-A(1-/«)(1-m)

22

=-—(/n+1)?+2,

2

...当加=-1时SACPQ有最大值2,

面积的最大值为2,此时P点坐标为(-1,0).

11.(2022•福建)在平面直角坐标系xO)，中，已知抛物线>=加+区经过A(4,

0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点，且在直线A3的上方.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若△048面积是面积的2倍，求点P的坐标；

(3)如图，OP交45于点C,PQ〃30交45于点。.记△COP,△CPB,

△CB。的面积分别为S,S2,判断出C+*C是否存在最大值.若存在，求

$2S3

出最大值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)将A(4,0),B(1,4)代入^=加+么,

(4

...[16a+4b=0,解得3

la+b=4N喏

抛物线的解析式为：y=-£+旦.

33

(2)设直线A3的解析式为：y=kx+t,

将A(4,0),B(1,4)代入y=h:+f,

4k+t=0

k+t=4

妊3

解得

16

〈A(4,0),B(1,4),

.*.SAO/IB=1X4X4=8,

2

S/\0AB=2S^PAB-ST即SAB4B=4,

过点P作PMLx轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE上PM于点E,

如图,

设点P的横坐标为m,

.\P(m,-,N(m,-Am+JA)

3333

PN=-AW2+JA/??-(-刍w+K)=3..

33333

解得m=2或加=3；

：.P(2,K)或(3,4).

3

(3)'JPD//OB,

：.ZDPC=ZBOC,ZPDC=ZOBC,

:.△DPCsABOC,

:.CP：CO=CD：CB=PD：OB,

sS

..i=CD=PD2=CP=PP

・豆CB而'可COOB'

SS

•1.2=2PD

*-s7可"5T

设直线A3交y轴于点F.则E（0,竽），

过点尸作轴，垂足为H,PH交AB于点G,如图,

：.ZPDG=ZOBF,

'：PG//OF,

：.NPGD=ZOFB,

:.△PDGSAOBF,

：.PDtOB=PG：OF,

设P(〃，-刍(l<n<4),

33

由(2)可知，PG=-生?2+4-西，

333

2PD=2FG=3PG=-_L(/?-A)2+,5..

S2s3OBOF8228

Vl<n<4,

当〃=上时，包+包的最大值为9.

2s2s38

12.(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线为：y=x2+bx+c

经过点A(-3,0)和点B(1,0).

(1)求抛物线B的解析式；

(2)如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线B关于原点。成中心对称，请直

接写出抛物线B的解析式；

(3)如图3,将(2)中抛物线仍向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物

线B与抛物线尸3相交于C,。两点(点。在点。的左侧).

①求点。和点。的坐标；

②若点M,N分别为抛物线Fi和抛物线B上C,D之间的动点（点M,N与

点C,。不重合），试求四边形CMDN面积的最大值.

•J9_3b+c=0

1l+b+c=O

解得(b=2,

Ic=-3

.*.y=x2+2x-3；

(2),.?=x2+2x-3=(x+1)2-4,

...抛物线的顶点(-1,-4),

•.•顶点(-1,-4)关于原点的对称点为(1,4),

；•抛物线人的解析式为y=-(x-1)2+4,

'•y=~X2+2X+3；

(3)由题意可得，抛物线后的解析式为y=-(x-1)2+6=-f+2x+5,

f2

①联立方程组.y=-X+2*5,

,y=x2+2x-3

解得x=2或x=-2,

：.C(-2,-3)或£>(2,5)；

②设直线CD的解析式为y=kx+b,

•f-2k+b=~3

I2k+b=5

解得产，

Ib=l

/•y=2x+1,

过点M作MF//y轴交CD于点F,过点N作NE//y轴交CD于点E,

设M(m,m2+2m-3),N(〃，-n2+2n+5),

贝!JF(m,2m+1),E(〃，2〃+l),

'.MF=2m+\-(m2+2m-3)=-n/2+4,

NE--n2+2n+5-2n-\=-/r+4,

：-2<m<2,-2<n<2,

...当加=0时，MF有最大值4,

当"=0时，NE有最大值4,

Spqij®CMDN=S^CDN+SACDM=4X(MF+NE)=2(MF+NE),

2

...当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16.

13.（2023•沛县模拟）如图，已知抛物线y=-/+以经过点人（4,0）和B（1,

〃2）点，其对称轴交x轴于点“，点C是抛物线在直线A3上方的一个动点（不

含A,B两点）.

(1)求a、的值.

(2)连接AB.0B,若△A03的面积是的面积的2倍，求点C的坐标.

(3)若直线AC、。。分别交该抛物线的对称轴于点E、F,试问是否

为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【解答】解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4a,解得:

<7=4,

即抛物线的表达式为：y=-f+4x,

当x=l时，y=-f+4x=3,即点8(1,3),即必=3,

故a=4,"?=3；

(2)延长AB交y轴于点N,过点。作CM〃A8交y轴于点

设直线A3的表达式为：y=kx+b,则［3=k+b,

(0=4k+b

解得：八=-1,即点N(0,4),即0N=4,

lb=4

AAOB的面积是△ABC的面积的2倍，

:.MN=L0N=2,即点M(0,6),

2

'：CM//AB,

故直线CM的表达式为：y=-x+6,

联立上式和抛物线的表达式得：-f+4x=-x+6,

解得：x=2或3,

即点C(2,4)或(3,3)；

(3)是定值，理由：

设点C(f,-产+4t),

由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=-/(x-4),

当x=2时，y=2t,即点E(2,2力，则E”=2f,

由点C的坐标得，直线CO的表达式为：y=(-r+4)x,

当x=2时，y=(-什4)x=-2什8,即点F(2,-2什8),贝UFH=-2/+8,

则EH+FH=2t-2r+8=8,为定值.

14.(2023•柳南区一模)如图，已知抛物线的图象经过点C(0,3),与x轴

交于A,B两点，顶点坐标。(1,4),连接8C交对称轴于点£

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点尸是抛物线上的一个动点，位于直线8c的上方(点P与B,。不

重合)，过P作y轴的平行线交BC于F点；

①设点P的横坐标为加，当四边形OEFP是平行四边形时，求〃?的值；

②在①的条件下，抛物线上是否存在点Q,使得△QBC的面积与△P8C的面

积相等，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由.

y.

【解答】解：(1)•.•顶点坐标。(1,4),

设二次函数解析式y=a(x-1)2+4,

把C(3,0)代入y=a(尤T)?+4,解得a=-l,

.••抛物线解析式为y=-/+2无+3；

(2)①当y=0时，贝！J-

••XI=1>X2=3>

.•.点8(3,0),

;点C(0,3),

设直线8C的解析式为丁=辰+力(AW0),

把B(3,0),C(0,3)代入直线尸区+。(20)得倍3k+b,解得(k=-：

I3=b1b=3

.•.8C解析式为＞=-x+3,

•点。(1,4),

.•.点E(1,2),

:.DE=2,

设点P(m,-m2+2m+3),则点F(tn,-m+3),

PF=(-/n2+2/w+3)-(m+3)=-nr+?>m,

•••四边形DEFP是平行四边形，

:.PF=DE,

-2+4=-m2+3m,解得，m=l(不合题意舍去)，mi=2,

••m2；

②当点。、点P在直线BC的同侧时，如图所示：

四边形DEFP是平行四边形,

：.PD//BC,

:.SABPC=SADBC,

，当点。与点D重合时，SABPC=S2BC,

.,.点。(1,4)；

当点P与点Q在直线8C的异侧时，延长交y轴于"，在0C上截取CN

=CH=2,则N(0,1),过点N作3c的平行线交抛物线于点。，

如图所示：

'.,DP//BC,

设直线DP的解析式为y=-x+d,

将。(1,4)代入y=-x+d得到4=-l+d,解得d=5,

二直线DP的解析式为y=-x+5,

，点”(0,5),

,/C(0,3),

：.CH=2,

VBC//QN,NC=CH,

/.QN与BC的距离与DP与BC的距离相等，

：5、BCQ=SABCP,

'：QN//BC,点N(0,1),

/.直线QN的解析式为y=-x+1,

fy=-+lX=9

联立方程组得y\x,解得“L或

y=-x2+2x+3-1W17

_y2__

综上所述,满足题意的点Qi(昱票，二叵)，点Q?卢好，二等工)，

点。3(1,4).

15.(2022•淄博)如图，抛物线y=-N+bx+c与x轴相交于A,8两点(点A

在点3的左侧)，顶点。(1,4)在直线/：y=&+/上，动点P(〃?，〃)在

3

x轴上方的抛物线上.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)过点P作PMJ_x轴于点M,PN上I于点、N,当Km<3时，求PM+PN

的最大值；

(3)设直线AP,BP与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以A,F,

B,G(G是点E关于x轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P点的