高中数学选择性必修二：5-3-1函数的单调性（教案）

第06讲函数的单调性

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课程标准课标解读

1理.解导数与函数的单调性的关系.

2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

3.能利用导数求不超过三次多项式函数的通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，

单调区间.会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利

4.会利用导数证明一些简单的不等式问题.

用导数解决单调性与含参数相关的问题.

5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基

本方法.

册:知识精讲

知识点

1.函数的单调性与导函数的关系

一般地，设函数y=7(χ)在区间3，/，)内可导，则在区间(4,6)内,

⑴如果/(x)>0,则火X)在这个区间内单调递增;

(2)如果/(x)<0,则凡r)在这个区间内单调递减.

2.利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y=∕(x)的定义域；

⑵求导数)，'=∕(x);

(3)解不等式,(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间；

(4)解不等式/(χ)<0,解集在定义域内的部分为减区间.

3.函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间伍，切内的函数y=Λx):

人尤)的正负加)的单调性

∕ω>o单调递增

∕ω<o单调递减

特别提醒：①若在某区间上有有限个点使了(X)=0,其余的点恒有/(x)>0,则危)仍为增函数(减函数的情形

完全类似).

②/(X)为增函数的充要条件是对任意的x∈(α,份都有/(x)≥0且在(小份内的任一非空子区间上八龙)不恒为0.

4.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y=∕(x),在区间(4,h)±.

导数的绝对值函数值变化函数的图象

越大怏比较“陡峭”(向上或向下)

⅛Φ慢比较''平缓”(向上或向下)

【微点拨】

1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.

(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在

定义域内的间断点.

(3)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“U”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.

2.(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(小切内，若/(x)>0,则y=∕(x)在5，6)上单调递

增；如果了(x)<0,则y=Ax)在这个区间上单调递减；若恒有/(x)=0,则y=∕(x)是常数函数，不具有单调性.

【即学即练1］函数y=xlnx在(0,5)上的单调性是().

A.单调递增

B.单调递减

C.在(θ,j上单调递减，在5)上单调递增

D.在上单调递增，在［/,5)上单调递减

【答案】C

【分析】

利用导数判断函数y=xlnx在(0,5)上的单调性.

【详解】

y0=lnx+l,令V>0,得5>x>L

e

令y'<0,得0<x<L

e

.∙.函数y=xlnx在(0.)上单调递减，在上单调递增.

故选：C

【即学即练2】函数/(x)=2X-InX的单调递减区间为().

C.(；，2)D∙y,2)

【答案】A

【分析】

直接求出导数，建立不等式，即可求出单减区间.

【详解】

〃力的定义域为(0,也)，因为尸(X)=2-gΓ(x)=2-l<0,解得x<g,所以函数/(x)=2x-Inx的

单调递减区间为(0,；］

故选：A.

【即学即练3】函数/(x)=(l+cosx)sinx在［-π,π］的图象大致为()

【答案】D

【分析】

结合奇偶性、特殊点和导数确定正确选项.

【详解】

〃-X)=(I+cosX)Sin(-x)=-∕(x),.所以〃X)为奇函数，图象关于原点对称，排除B选项.

U=I>0,排除A选项.

222

f(x)=-sinx+(1+cosx)cosx=-sinx+cosx+cosx,/(0)=2>0t排除C选项.

故选：D

【即学即练4］函数y=:丁-62+》一2。在(0,+8)上单调递增，则a的取值范围是.

【答案】(-8,1]

【分析】

转化为V=X2-20x+l≥0,在区间(0,+8)恒成立，利用参变分离，转化为求函数最值问题.

【详解】

函数导数y'=χ2-2αr+l,因为函数在R上是单调递增函数，所以导数y'=V-2ox+120,在区间(0,+⑹恒

成立，

即2α≤^^=x+',即2α≤(x+1],

XX∖x√min

x+-≥2,(x>0),当x=l时等号成立，=2,

XVɪ/min

即2〃W2,解得：a≤i.

故答案为：(-8,1]

【即学即练5]若/(x)=COSX-sinx在[0,可上是减函数，则。的最大值是.

【答案】T3兀

【分析】

求出导函数/'(X),然后解不等式f∖x)≤O确定。的范围后可得最大值.

【详解】

/o/9

由题意/'(X)=-Sinx-Cosx,/,(x)=-sinA∙-cosx≤0,SinX+cosx≥0,—sinx+-cosx≥0,

22

sinx+-≥0,2kπ≤x+-≤2kπ+π,k≡Z,

I4；4

2kτr――≤x<2kτr÷——,⅛∈Z,Λa∈(0,——],。的最大值为—.

4444

故答案为：-ɪ-

4

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调

性的关系列不等式求解即可.

【即学即练6】已知函数/U)=?.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)比较20182019与20与刈8的大小.

【答案】(1)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(4侄)；(2)20182OI9>20192018.

【分析】

(I)首先求函数的导数,利用导数求解函数的单调区间;(2)首先转化为比较20191n20利和20181n2019的

大小，通过做差，以及第一问函数的单调性，即可比较大小.

【详解】

,Λ

(1)∕(x)=ɪJΓ(X>O),

当/'(x)>0时，解得：()<x<e,函数的单调递增区间是(0,e),

当了'(x)<0时，解得：x>e,函数的单调递减区间是(e,s)；

(2)2018—和2019刈8比较大小,转化为20191n2018和20181n2019比较大小,

20191n2018-20181n2019=2019×2018×f1112018-ln2019I

I20182019)

由(I)可知，函数在(e,+∞)tι单调递减，因为2018<2019,

ln2018>ln2019,g∣j20i91n2018-20181n2019>0,

20182019

所以2018刈9>20192叫

U能力拓展

考法01

判断函数的单调性：

【典例1］下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在(-∞,0)上单调递增的是()

-χ+e*

A./(x)=xcosxB./(%)=-e--

C./(x)=3x-2SinXD.f(x)=xi-x

【答案】C

【分析】

根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案.

【详解】

选项A中，/'(X)=CoSX-XSinX.∙.∕'(x)在(—,0)上不恒非负，选项A错误；

选项B中，"—)=巴F=/(χ),所以的图像不关于原点对称，选项B错误；

选项C中，/(-x)=-3x-2sin(-x)=-∕(x)-即/(x)为奇函数，图像关于原点对称

又广(力=3-2cosx,χ<0时,/'(力>0恒成立

所以/(x)在(-,O)上单调递增，选项C正确；

选项D中，r(x)=3/-1当x<0时，"x)在→≈,-2y上为单调增函数在f-ʃ,θ上为单调减函数,

V/\/

选项D错误.

故选：C.

考法02

利用导数求函数的单调区间：1.求函数y=Aχ)的单调区间的步骤

⑴确定函数y=段)的定义域.

⑵求导数y=∕r(x).

(3)解不等式八x)>0,函数在解集所表示的定义域内为增函数.

(4)解不等式〃x)<0,函数在解集所表示的定义域内为减函数.

2.(1)讨论参数要全面，做到不重不漏.

(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.

【典例2】B知函数/(x)=x3-4X2+4x

(1)求函数/(x)在》=1处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间.

【答案】(1)x+y-2=0;(2)函数/(x)的单调递增区间是(7,|),(2,+8),单调递减区间是停,2).

【分析】

(1)求导f'(x)=3χ2-8x+4,进而得到:⑴，/(1),写出切线方程；

(2)分别由/'(x)>0和f'(x)<O,求得相应的增区间和减区间.

【详解】

(1)f'(x)=3χ2-8x+4=(3x-2)(x-2),

则尸(I)=-1,/(1)=1.

所以函数/(χ)在X=I处的切线方程为yτ=-(χ-i),

即x+y-2=0.

、ɔ

(2)令八尤z)=0,得X=;或x=2,

令r(x)>O,得x<彳或X>2;令ιf(x)<O,得:<X<2,

所以函数/(X)的单调递增区间是［8彳)，(2,+8),单调递减区间是仔,2).

【典例3］已知函数/(x)=χ3+0χ2+bx+/,当力=O时讨论“X)在［0,2］的单调性.

【答案】详见解析

【分析】

求导得到/'(x)=3xt+∣”)讨论α≥0,α3］和α«-3,0)三种情况，分别判断导函数的正负得到

函数单调性.

【详解】

当6=0时，/(x)=x3+or2+a2,∕/(x)=3x2+2ar=3x^x+∙∣6/^,

当α20时，Jce［0,2］,/'(x)=3x?+24x=3x卜+ga)≥O,函数单调递增；

当“<0时,

若a∈(-∞,-3］,∙∣ɑ≤-2,x∈［0,2］,;(X)=3/+2Or=3,ι{x+∙∣α)≤0,函数单调递减；

若ae(-3,0)时，∣β∈(-2,0),故XeO,-Ia)时，,f'(x)≤O,函数单调递减，

当x∈(一会,2时，盟x)>0,函数单调递增.

综上所述：当α≥0时，函数在［0,2］上单调递增：当a∈(-∞,-3］时，函数在［0,2］上单调递减：当αe(-3,0)

时，函数在0,-：。)上单调递减，在上单调递增.

【即学即练7】函数/(x)=2x7nx的单调递减区间为().

C.加D∙(F2)

【答案】A

【分析】

直接求出导数，建立不等式，即可求出单减区间.

【详解】

“X)的定义域为(0,+8),因为r(x)=2-LΓ(Λ-)=2--^<0,解得》<；，所以函数/(x)=2X-InX的

单调递减区间为(O

故选：A.

考法03

函数图象与导数图象的应用：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间m，加内，若/(χ)>o,

则)，=於)在(",份上单调递增；如果/(x)<0,则尸外)在这个区间上单调递减；若恒有/(x)=0,则y=∕U)

是常数函数，不具有单调性.

(2)函数图象变化得越快，/(x)的绝对值越大，不是/(x)的值越大.

【典例4］已知函数/(x)的导函数尸(x)有下列信息：

①/'(x)>0时，-l<x<2;

②广(6‹0时,x<-lglζx>2;

③/'(x)=0时,X=-I或x=2.

则函数/(x)的大致图像是图中的().

【分析】

根据导数的正负与函数的单调性关系判断.

【详解】

根据导函数信息知，函数/(X)在(-1,2)上是增函数，在(τo,T),(2,物)上是减函数.

故选：C.

【即学即练8】设∕∙'(χ)是函数/(χ)的导数，将y=∕(χ)和y=∕'(χ)的图像画在同一个平面直角坐标系中,

【答案】D

【分析】

根据导数的正负与函数单调性之间的关系逐个判断选项即可.

【详解】

选项A:若尸(X)的图象为C-则/'(x)≥0恒成立且不恒为零，所以“X)单调递增，此时“X)的图象可以

为G，故选项A正确：

选项B:若尸(X)的图象为G，则r(χ)>。恒成立，所以〃X)单调递增，此时“X)的图象可以为G，故

选项B正确；

选项C:若r(χ)的图象为G，则尸(χ)>0恒成立，所以f(x)单调递增，此时“X)的图象可以为G，故

选项C正确；

选项D:若G为导数r(χ)的图象，则y=∕(χ)应为增函数，C2的图象不符合；

若Cz为导数/'(X)的图象，则y=∕(x)应为减函数，G的图象也不符合，故选项D错误.

故选：D.

考法04

利用导数求参数的取值范围：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即/(x)≥0(或/(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求

解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意；

②先令∕Q)>0(或/(x)<0),求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”时兀0是否满足题意.

(2)恒成立问题的重要思路：

①力豕X)恒成立=，*M(X)max；

②"7≤∕(x)恒成立="0(x)min.

【典例5】已知函数y(x)=fcr—lnx.

(1)在区间(1,+8)上单调递增，求Z的取值范围.

(2)在区间(1,+8)上单调递减，求k的取值范围.

(3)在区间(1,+8)不单调，求人的取值范围.

【题点】已知函数的单调性求参数(或其范围)

【答案】(1)[1.+∞);(2)(-∞,0]；(3)(0,1).

【解析】(1)由于/(X)=yW=AX—Inx在区间(1,+8)上单调递增，等价于F(x)=%-在(1,+

8)上恒成立.由于左≥;,而所以化1.

即上的取值范围为[I，+∞).

(2)•./(X)=氏一3

又负x)在(1,+8)上单调递减，

H(x)=%-在(1，+8)上恒成立，

即悬，V0<∣<l,Λ⅛≤0.

即A的取值范围为(-8,0].

(3)«¥)=丘一Inx的定义域为(0,÷∞)t

当狂0时，/(x)<0.

.∙√(x)在(0,+oo)上单调递减，故不合题意.

当Qo时，令F(X)=0,得X=工,

只需％G(1,+∞)>即%>1,贝!]0<%<l.

.∙.A的取值范围是(0,1).

【即学即练9]若函数"x)=e'(sinx+α)在R上单调递增，则实数”的取值范围为()

A.(√2,-1jB.(-ɔɑ,ʌ/ŋ

C.(→3O,2)D.[0,+∞)

【答案】D

【分析】

求函数的导数，要使函数单调递增，则f(x)∙∙0恒成立，然后求出实数。的取值范围.

【详解】

解：因为/(x)=ex(sinx+a),所以/'(x)=e"(sinx+〃+cosx).

要使函数单调递增，则/'α)∙.o恒成立.

即SinX+α+cosx..O恒成立.

所以a..一SinX-COSX,

因为-SinJV-CoSX=-V5sin(x+C)

4

所以一x∕⅛∣J-sinX-COSX√2,

所以”..√∑,即ae［√2+∞).

故选：D.

【即学即练10】已知函数/(x)=(xT)∕-HnΛ⅛ɪ3上单调递减，则〃的取值范围是.

【答案】［9e3,+∞)

【分析】

等价于α≥xb，在；，3上恒成立，设g(x)=xV,利用导数求出g(x)的最大值为g⑶=9廿，即得解.

【详解】

f(x)=xe'-g≤O在:,31上恒成立，

则”≥x1”在ɪ,ɜ上恒成立，

设g(x)=x2ex,g'(x)=+2x)ex>0,

所以g(x)在；，3单调递增，

故g(x)的最大值为g(3)=9e,

故α≥9e3.

故答案为：［9e3,+∞)

【即学即练11】已知函数〃μ=%3-/+6-5在区间［-1,2］上不单调，则实数。的取值范围为.

【答案】(—3,1)

【分析】

求导函数，先考虑其反面函数单调时。的范围，再求结论的补集即可得到结论.

【详解】

∕r(x)=X2-2X÷Λ=(X-1)^+«-1,

若函数〃x)=gχ3-χ2+αr-5在区间［T,2］上单调，

则,(x)≥0或，(x)≤0在［T2］上恒成立,

即a-INO或尸(T)=3+a≤0,

，a≥l或a≤-3,

于是满足条件的实数。的范围为(-3,1),

故答案为：(—3,1).

【点睛】

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.

【即学即练12】已知函数=-2x+e*-J∙,其中e是自然对数的底数，若"24-3)+/(/)对,则

实数a的取值范围是.

【答案】(→o-3JU,xo)

【分析】

先判断函数奇偶性以及单调性，再化简不等式，即可求解.

【详解】

由f(X)=-xi-2x+ex--,

则ʃ(-ɪ)=ɪ(-%)3-2(-x)+H'-二=-g/+2χ+二一/=-/(X)，即函数为R上的奇函数.

3e3e

又f(x)=χ2-2+e*+L≥χ2-2+2je*∙-!-=χ2-2+2=χ2≥0,函数/(x)为R上的增函数，

exYex

22

又f(2a-3)+∕(∕)≥0,所以/(24-3)2-/1/)=/(_/),g|J2a-3≥-a=⅛a+2a-3≥0,

解得a≥l或a≤-3,即实数>的取值范围是(YO,-3］(取”).

故答案为：(-8,-引［l,+∞)

考法05

证明不等式：用导数证明不等式J(X)>g(x)的一般步骤

(1)构造函数F(X)=AX)—g(x),x^［a,b］.

(2)证明Fa)=/(x)—g'(x)≥O,且F(α)>O.

(3)依⑵知函数F(X)=/U)—g(x)在［a,例上是单调递增函数，故於)-g(x)>O,即yU)>g(x)∙

这是因为F(X)为单调递增函数，

所以F(x)>F(a)>0,

即火X)—g(x后/3)—g(α)>O∙

【典例6】已知可导函数的定义域为(0,+功，满足才(x)-2∕(x)>0,且"2)=4,则不等式f(2,)>4,

的解集是.

【答案】(L+8)

【分析】

构造函数g(χ)=AR,由导数确定g(x)单调性，将已知不等式转化为关于g(x)不等式，然后利用单调性即

X

可求解.

【详解】设g(x)=少，则g'(x)=:如"/,立.

XX'

因为x>O,√,(x)-2∕(x)>0,所以g'(x)>O,可得g(x)在(O,+∞)上单调递增，

不等式/(2*)>4*,即∕lΞ)>ι=2≡,即空军，所以g(2')>g(2),

4Λ4(2x)2

因为g(x)在(O,+8)上单调递增，所以2">2,解得：x>l,

所以不等式的解集为：(1，母)，故答案为：(l,+∞)∙

【典例7】证明e*≥x+l>sinx+l(x>0).

【题点】利用导数证明不等式

【证明】令√(x)=e，一X-I(X≥0),则/(x)=e'—120,

.∖Λx)在［0,+8)上单调递增，

对任意χW［0,+∞),W∕x)>AO),而40)=0,

.∖Λ∙r)≥O,即e'*r+l,

令g(x)=χ-sinx(x>0)>g'(x)=1—cosx>0,

∙,.g(x)≥^(O),即x-sinx>0>

.∙.x+l>sinx+I(XN0),

综上，e'>r+l>sinx+l.

高分层提分

题组A基础过关练

1.函数/(x)=X-Sin2x在(θ,?)

上的单调减区间为()

ππ

A∙吟B.D.0

6^,7C.

【答案】C

【分析】

求导，令导函数小于零，解不等式即可

【详解】

解：由已知/'(x)=l-2cos2x

令J"(x)=l-2cos2x<°,且2xe(θ’S

TTIT

则0<2x<—,.,.0<X<—

36

即单调减区间为

故选：C.

有x+sιnx

2.函数y=一—的函象大致为()

e+e-X

B.

yi

D.

N

【答案】A

【分析】

确定函数为奇函数排除C,判断当x∈(0,+∞)时,/(x)>0,排除BD,得到答案.

【详解】

y"(x)=2鲁meR,则”-X)=X二寸(X)，函数为奇函数，排除C；

设g(x)=x+sinx,则g'(x)=l+cosx≥0,函数单调递增，g⑼=0,

故当x∈(0,+∞)时,g(x)>0,即/(x)>0,排除BD.

故选:A.

3.设函数f(x)=lnx-g/在(1,4W)上单调递减，则实数4的取值范围是()

A.(0,l]B.[l,+∞)C.(0,1)D.(1,-HX>)

【答案】B

【分析】

根据题意，容易判断了'(X)=L-以≤0在(1,一)上恒成立，进而分离参数转化为最值问题，最后求出答案.

X

【详解】

由题意，f'(x)=L-αr≤0在(1,y)上恒成立，则α≥g在(l,+∞)上恒成立，因为4∈(θ,l),所以α≥L

XXX

故选：B.

4.已知函数〃力=XlnX-1,则的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】

由题可得函数在(1,”)上为增函数，X∕(l)<0,∕(2)>0,即得.

【详解】

V/(x)=xlnx-l,∕,(x)=l+lnx,

由/'(x)=l+lnx=0得，x=i,Λx>i,r(x)>0,函数/(x)为增函数，

当0<x<l时，/(x)=xlnx-1<0,χ∕(l)=-]<0,∕(2)=21n2-l=ln->0,

e

故“X)的零点所在的区间是(1,2).

故选：B

5.若函数/(x)=lnx+αχ2-2在区间内存在单调递增区间，则实数〃的取值范围是()

A.(-∞,-2]B.f-p+α0]C.1-2,D.(-2,田)

【答案】D

【分析】

求出函数的导数，问题转化为而g(x)=+在g,2)递增，求出g(x)的最小值，从而求出。的

范围即可.

【详解】

若"x)在区间(g,2)内存在单调递增区间，则/(x)>O,Xe((2)有解，

故”-小

令孤)=-*

g(x)=-在(22)递增，

2r2

∙,∙g(x)>g(])=-2,

故α2-2,

故选：D

6.函数/(x)=(χ2-2x)e*的图象大致是()

【分析】

山函数/(x)有两个零点排除选项C,D；再借助导数探讨函数/*)的单调性与极值情况即可判断作答.

【详解】

由/(x)=0得，X=O或x=2,选项C,D不满足；

由"x)=(χ2-2χ)e'求导得rα)=(χ2-2)e)当χ<-√∑或χ>√∑时，f'(x)>0,当-夜<x<血时，

f'(x)<O,

于是得/(X)在(-8,-夜)和(0,+∞)匕都单调递增，在(-0,√Σ)上单调递减，F(X)在x=_0处取极大值,

在x=0处取极小值，B不满足，A满足.

故选：A

7.已知函数，")=*在(-1」)上为减函数，则实数”的取值范围是()

A.(-∞,1]B.(-°°,1)C.(-00,-1]D.(-00,-1)

【答案】B

【分析】

Q-]Q—J

求出导函数r(x)=7~~方，将问题转化为r(x)=7~~节4°在(-1,1)上恒成立，进而得出α≤l,分析。=1

(x+l)(x+l)

不具有单调性，从而可得α<l.

【详解】

a-1a—ɪ

由题意，得/(x)=7一M，又r(X)=T―U40在(Tl)上恒成立，所以α≤l.

(X+1)(x+l)

而当α=l时，/(X)恒为()，此时/(x)=l(x≠-l),不具有单调性，

所以“<l,即实数”的取值范围为(-∞,1).

故选：B

8.已知函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图所示，则下列选项中是函数的图象的是()

【分析】

利用导函数的图象判断出/'(X)的正负以及单调性，进而判断出原函数的增减性及增减的快慢，结合选项即

可得出结果.

【详解】

由函数F(X)的导函数/⑺的图象可知,在(Tl)上，r(χ)>0,所以函数“X)在(Ti)上为增函数,在(TO)

上，/'(X)单调递增，故f(χ)在(TO)上增加得越来越快，函数f(χ)的图象应为指数增长的模式，在((M)

上，尸(力单调递减，故/(χ)在(0,1)上增加得越来越慢，函数/(χ)的图象应为对数增长的模式.

故选：B.

9.定义在R上的函数/(x)其导函数/'(x)<3恒成立，且/⑴=3,则不等式/(x)<4x-l的解集为()

A.(→o,0)B.(0,+∞)C.(l,+∞)D.(→o,l)

【答案】C

【分析】

根据题意，设g(X)=∕(x)-3x,求出其导数，分析可得/(X)<0,则g(X)在R上为减函数，又由/

(1)=3,则g(l)=0,/(x)<4x-ln∕(x)-3x<x-l=g(x)<x-l,结合函数的单调性分析可得答案.

【详解】

解：设g(X)=f(X)-3x,则g'(X)=f(X)-3,

又由了(X)<3,则/(X)<0,则g(X)在R上为减函数，

又由f(1)=3,则g(1)=f(1)-3=0,

则g(X)过点(LO),且在R上为减函数，

由/(x)<4x-l得/(x)-3XCX-1

UPg(x)<x-l,由于y=χ-l过点(1,0),且在K上为增函数,

则必有x>l

故选：C

10.已知定义域为(v,θ)的函数"x)满足幺-2∕(x)=M"(x)(f(X)为/(x)的导数)成立，则不等式

(3X+2022)243X+2022)<∕(-1)的解集为()

≡,-674(2023

A.B.,-674

2【一亍

D.(-1011,-674)

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=χ2"x),利用导数分析函数g(x)在(-∞,0)卜一的单调性，将所求不等式变形为

g(3x+2022)<g(T),可得出关于X的不等式，即可解得X的取值范围.

【详解】

令g(x)=χ2∕(x),x∈(→Λ,0),x2-2∕(x)=Λf,(x),贝iJ4，(x)+2,f(x)=x2,

.・.g，(X)=2∙√"(x)+d∕'(x)=χ3<0,∙∙.g(x)在(γ>,0)上是减函数.

(3x+2022)2+2022)</(-1),

Λ(3X+2022)2/(3X+2022)<(-1)2/(-1)

2023

.∙.g(3x+2022)<g(T),.∙.-l<3x+2022<0,———<%<-674,

故选：B.

题组B能力提升练

1.函数/3=3(〃?-2)/+(〃-8户+1(,心0,”“)在区间ɪ3上单调递减，则皿的最大值为()

CC4981

A.16B.18C.—D.—

32

【答案】C

【分析】

由题意可转化为则r(x)≤O,在ɪ3上恒成立，即(w-2)x+∕j-8≤0在［别恒成立，

而(m-2)x+〃-8是一次函数，在3的图象是一条线段，故只须在两个端点处/'(1)物)J”(3)0即可，列

出不等式组，再结合基本不等式求出〃?〃的最大值.

【详解】

函数/瓮）=:（，〃-2）/+（〃-8口+1（，心0,心0）在区间ɪ3上单调递减,

乙_乙_

则f'（x）≤O,在g,3上恒成立，即（%—2）x+〃—8≤O在g.3恒成立，

而（m-2）x+〃-8是一次函数，在ɪ3的图象是一条线段，故/'（1）熟）J'（3）0,

所以如-A"3。

”?+2”418

∕z(x)=(7/7-2)X+H-8,

3"z+"≤14

3(∕n-2)+n-8≤0

m≥0,n≥0,.∙.2y∣2mn≤m+2∕?≤1813.2∖∣3mn≤3∕π+π≤14»

.___497

即2j3mn≤14，mn≤-,当且仅当3zn="=7,即，"=§,〃=7时等号成立,

此时，相〃的最大值为j49

故选：C

2.（多选题）已知函数/（x）的导函数为/'（X）=加-如，若αxθ,则函数/（x）的图象不可能是（）

【分析】

先求导/'（x）="（x-2）,再对。分类讨论得到函数的单调性，再分析判断得解.

【详解】

函数/（X）的导函数为/'（X）=加-2Οx=0r（x-2）,

当α<0时，函数f（x）在（v,θ）上单调递减，在（0,2）上单调递增，在（2,板））上单调递减,所以D正确;

当4>0时，函数f(x)在(γo,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(ZM)上单调递增，所以B正确.

故选：AC

3.(多选题)已知函数/(x),g(x)在［。,用上可导,且r(x)>g'(x),则当α<x<6时，有()

A.f(x)>g(x)B.f(α)+g(。)CfS)+g(α)

C./(x)+g(α)>g(x)+∕(α)D./(x)+g(b)>g(x)+/S)

【答案】BC

【分析】

由条件利用导数判断函数尸(x)="x)-g(x)的单调性，根据单调性的性质判断各选项的对错.

【详解】

令F(X)=/(x)-g(x),则/'(x)=f'(x)-g'(x)，

v∕,(χ)-g,(χ)>o..∙.r(x)>o,

.∙.尸(X)在［4句上是增函数.

由于尸(x)在［α,句上的取值情况不确定，所以无法判断“X)与g(x)的大小关系.

故A错误.

当α<x<b时，尸(4)<尸(x)<尸(6),

二f(x)-g(x)>F(。)-g(α)，f(b)-g(⅛)>/(x)—g(x),f(a)-g(a)<f(b)-g(b),

"(x)+g(a)>g(x)+f(α),/(x)+g(6)<g(x)+y(6),/(b)+g(α)>f(α)+g(").故B,C正确,。错

误.

故选：BC.

4.(多选题)若0<E<%<1,则下列选项正确的是()

2xtt2x,2

A.e`-e'>Inx2-InxlB.Λ2e'>xlcC.x2>x,'

D.Jf,η>x'

【答案】BC

【分析】

A.构造函数ZI(X)=e`-Inx,xe(0,l),研究其单调性可得答案：

B.构造函数小)=(XW(0,1),研究其单调性可得答案；

C.构造函数/.(X)=以，xe(O,l),研究其单调性可得答案；

X

D.构造函数Z)(X)=XlnX,Xe(0,1),研究其单调性可得答案；

【详解】

v；21

选项A：e-eʌ'>Inx2-Inxl<=>e^-Inx2>e`-Inxl.

设∕l(x)=e'-lnx,Xe(0,1).

Λ,U)=e'-ɪ»X∕∕(l)=e-1>0.£；(g)=&-2<0,

∙∙∕(x)在(0,1)上存在极值点,

故人(X)在(0,1)上不单调，对于VO<x,<w<l,力(七)>力(西)不成立，A不正确.

选项B：x,ev,>Xle-<≠∙^r>γ-.

ΛI七

设人(x)=¥，xe(0,l).

力'(刈=色萨<0,

.∙.力(X)在(0,1)上单调递减,；.对VO<x,<三<1,fβ(χ,)>fβ(χ2),B正确.

选项C：>x,"=In(XJ)>ln(x∣*)oXjnX2>x∕nX[O见±>见土.

X2Xl

设Λ∙(X)=吗Xe(O,1).

X

...£(x)=TΔ>0,

.∙..A(X)在(0,1)上单调递增，...对∀O"<三<1,人(三)>/(e).(2正确；

ηK2l2

选项D：x,>X2=In(XJ)>In(x2)=XJnX∣>x2InX1.

设/D(X)=XlnX,x∈(O,l).

(X)=InX+1,令∕'(x)=0,X=-,Λ>(x)在(0,1)上存在极值点,故Λ)(x)在(0,1)上不单调,对于VO<大<毛<1>

ne

Z>α)>∕0(X2)不成立，D不正确.

故选：BC.

5.(多选题)已知定义在。卷]上的函数外)的导函数为尸(x),且"0)=0,f'(∙r)cosx+/(X)SinX<0,则下列

判断中正确的是()

人倚多1B小吟》。

CY讣面图D∙，闱>何图

【答案】CD

【分析】

结合已知可构造g(x)=/也，ʃe[θɪ),利用导数研究函数的单调性并结合条件，可判断出g(x)在I。,1]

COSX2L2J

上单调递减，/(0)=0,得出g(x)≤O,最后根据函数的单调性及不等式的性质，一一分析各个选项即可判

断得出答案.

【详解】

解：令g(x)=A^,xe[O,g),

cos%2

因为f,McosX+f(x)sinx<O,

则g")=f'(x)8sx∙ζf(x)sinx<0在卜⑥上恒成立，

COSXL2)

故g(x)在。身上单调递减，

因为/(0)=0,贝IJg(O)=吗=0,所以g(χ)=∕^≤o在∣^0,g1上恒成立,

COSocos%L2J

结合选项可知，由于所以g(J)>g(f),

6464

ITTT

心/(ɪ)/

从而有谓→,，即f弓)>学吗)，故A选项错误；

Tɪ

因为g>ι,则/〃1>0,结合g(x)在OAl匕单调递减，且g(χ)≤0,

ɔJL//

/%)

可知g0,从而有<0,

cosin—

3

由于0<%<1^，则COS呜>0,可得小号卜0,故B选项错误;

心元)

又因为看竹，所以g《π)>g(gπ,从而有4

^T2

即/(f)>√3∕(⅞),故C选项正确;

63

乂因为所以g(?)>g(?)，从而有

√2ɪ

2

即咛>⑸令故D选项正确.

故选：CD.

x

f,_I

6.(多选题)已知函数/(x)=~则)

X

A.7(x)在定义域内单调性不变B.F(X)在定义域内有零点

C./(x)的导数在定义域内单调性不变D.“X)为奇函数

【答案】AC

【分析】

利用导数可判断AC的正误，求出函数的零点可判断B的正误，利用反例可判断D的正误.

【详解】

exx-^e'-1)et(x-l)+l

其中XW(Y»,0)(θ,-κo),

令S(X)=ex(x-∖)+l,贝IJS'(x)=Fx,

当x<0时，S'(x)<O:当x>0时，S'(x)>O,

故S(X)在(-∞,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数,

故x<O时，S(X)>S(O)=O,x>0时，S(X)>S(O)=O,

故xw(-∞,O)(0,+∞)时,S(x)>O,

所以"x)在(《,0),(0,+8)上均为增函数，故A正确,

、几/、—1)+1/d2χ∙[e'(χ-l)+l]e*任-2x+2)-2

设MX)=-⅛-------〃(X)=

令〃(X)=e*(f-2χ+2)-2,则M(X)=X,

当XNO时，u,(x)=x2ex>0,故"(χ)在(-8,0),(0,+。。)上均为增函数,

故当x<0时,M(X)<H(0)=0;当x>0时,M(X)>M(0)=0,

故当x<0时，∕ι'(x)>O:当x>O时，∕z'(x)>O,

故MX)在(3,0),(0,+8)上均为增函数，故C正确.

令/(x)=I=O,故X=O(舍)，故B错误.

/(l)=e—1,/(—l)=l-e-∣,故1),故/(x)不是奇函数，故D错误.

故选：AC.

7.(多选题)已知函数/O)的定义域为［-1,5］,部分对应值如下表：

X-1045

ʃ(ɪ)1221

/(χ)的导函数y=/(x)的图象如图所示，关于/S)的命题正确的是()

A.函数/(x)是周期函数

B.函数/(x)在［0,2］上是减函数

C.函数y=f(x)-“的零点个数可能为0,1,2,3,4

D.当l<α<2时，函数y=∕(x)-”有4个零点

【答案】BC

【分析】

先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题,

一一进行验证即可得到答案.

【详解】

由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：

8为真命题，因为在［0,2］上导函数为负，故原函数递减：

C为真命题，动直线)'="与y=∕(x)图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，

故函数y=∕(x)-α的零点个数可能为0、1、2、3、4个；

。为假命题，当。离1非常接近时，对于第二个图，y=∕(x)有2个零点，也可以是3个零点，

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系，二者之间的关系是：导函数为正