2023-2024学年河北省石家庄数学高二年级上册期末预测试题含解析

2023-2024学年河北省石家庄数学高二上期末预测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/'（%）是函数/（x）=Asinx的导函数，贝1/［引=（）

A.OB.1

71

C.—D."

2

2.设等差数列｛4｝的前“项和为S”.若％=1,出+%=6,则邑=()

A.19B.21

C.23D.38

3.若复数z满足|z-l+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）

A.3B.9

C.6兀D.9兀

4.如图，在平行六面体A3。一44GA中，"为AC与的交点，若|44|=|4〃|=|44=1,/442=90,

/明耳=/440=60,则14M的值为o

5.如图，在三棱锥P—A3C中，AB=AC=PB=PC=5,丛=4,BC=6,点加在平面内，且AM=厉，

设异面直线AM与所成角为a,贝！Icosa的最大值为（）

p

6.一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（）

A.C：种B.4种

C.A：种D4种

7.双曲线型自然通风塔外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上

口半径为拽9米，下口半径为迎8米，高为24米，则该双曲线的离心率为。

33

A.2B.6

C.V2D.2拒

8.已知等差数列｛。,,｝的前〃项和为S,,为=1,16=0,当S“取最大时”的值为（）

A.7B.8

C.9D.10

9.抛物线/=4%上有两个点43,焦点已知|AF|+|班'|=5,则线段A3的中点到V轴的距离是（）

3

A.lB.一

2

5

C.2D.-

2

10.设函数/(x)=U，则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+l

C./(%+l)-lD./(x+l)+l

11.设函数/(x)=d+(a—1)犬+砒，若〃无)为奇函数，则曲线y=/(x)在点(I"⑴)处的切线方程为()

A.y=4x-1B.y=5x—2

C.y=4x-2D.y=5x-3

+1

12.已知数列｛a.｝满足q=La“eZ,且见刊—%]<3"+g,a„+2->3"-1,则为(m=()

22022i

A.-~—

8

a20201D—

C.-——

88

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知椭圆和双曲线有相同的焦点耳和工，设椭圆和双曲线的离心率分别为«2，P为两曲线的一个公共点,

且W耳-"卜2俨。|（O为坐标原点）.若,则02的取值范围是______

（22_

14.如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上

一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下.当有大量

的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球.现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置

的概率是

以2刊4忖

15.(x+的展开式中的常数项为一

16.如图，正方体的棱长为1,C、O分别是两条棱的中点,4、5、"是顶点,那么点“到截面43。。的距离是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工

业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据

统计如下：

收益J亿元

70

(13,58)

60

50

1^(8,50)

40

(6,42)

30

/(4,31)

20

/(3,22)

10

0

2345678910111213

研发投入，亿元

（1）根据折线图的数据,求y关于x的线性回归方程（系数精确到整数部分）;

（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时，国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元

时公司的实际收益

£（%-可（xT）

附:其回归方程f=6+晟的斜率和截距的最小二乘法估计分别为g=上—------------，a=y-bx.参考数据

f（者-可2

«=1

77

了）（y-歹）“400,2（七一于『“98

/=11=1

18.（12分）已知p：%2-8x-20<0»q：l-m<x<l+m（m>6）

（1）若P是g的必要不充分条件，求实数机的范围；

（2）若是F的必要不充分条件，求实数机的范围

19.（12分）如图甲，平面图形A5CDE中，AE=ED=DB=BC=1,CB上BD,ED〃AB,NEAB=60,沿将

△BC。折起，使点。到点口的位置，如图乙，使BF_LBE,EG=BF.

甲乙

（1）求证：平面GEBP，平面AEG；

（2）若点M满足MG=-2河/，求点。到直线A"的距离.

20.（12分）如图，在多面体A5CE尸中，ABC和.ACE均为等边三角形，。是AC的中点，EF//BD

（2）若平面ABC,平面ACE,求二面角A—5C—E的余弦值.

21.（12分）在数列｛4｝中，％=1,%=2%T+〃一2（九22）.

（1）证明：数列&+〃｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列｛4｝的前〃项和S”.

22.（10分）已知椭圆。：。+木=1（。〉6〉0）的焦距为2拒，离心率为当.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若斜率为1的直线/与椭圆。交于不同的两点A,B,求A6的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】求出/'(%),代值计算可得的值.

【详解】因为/(x)=xsinx,贝！)/'(%)=sinx+xcosx,因此，=1.

故选：B.

2、A

【解析】由已知及等差数列的通项公式得到公差乙再利用前"项和公式计算即可.

【详解】设等差数列{4}的公差为d,由已知，得'「＜，

[%+%=+7d=6

—1

7x64

解得，4,所以57=7X1+[「X三=19.

I7

故选：A

3、D

【解析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.

【详解】复数z满足卜-(1-可=3,表示复数z对应的点的轨迹是以点(L-1)为圆心，半径为3的圆，所以围成图形

的面积等于S=〃x32=9».

故选:D

4、D

【解析】将4"用基底{AAA4，A2}表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.

【详解】因为四边形ABC。为平行四边形，且A。BD=M,则河为的中点，

BXM=B}B+BM=BlB+^BD=B}B+^AD-AB)=AiA-^AlB}+^A}Dl,

则

1/222

二544AA+44+q_D]_44A,+44A,A。]_24耳,qz)]

=-A/6-4X12xcos60-2xl2xcos60

22

故选：D

5,D

【解析】设线段BC的中点为。，连接A。，过点P在平面PAD内作POLAO,垂足为点。，证明出P0,平面

ABC,然后以点。为坐标原点，CB、AD>OP分别为了、丁、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设

BM=mBP+nBC，其中根2。，n>QS.m+n<l,求出3巾+6m一3的最大值，利用空间向量法可求得cosa的最

大值.

【详解】设线段的中点为。，连接A。，

AB=AC=5,。为的中点，则ADL5C,

BC=6,则50=CD=3,AD=-JAB2-BD1=4»同理可得？0=4,PD±BC,

PDAD=£>,.•.BC，平面PAD,

过点P在平面PAD内作POLAD,垂足为点O,

因为刈=?。=4)=4,所以，34。为等边三角形，故。为AD的中点，

，平面PAD,尸Ou平面B4。，则5CLPO,

POLAD,AD\BC=D,.•.尸平面ABC,

以点。为坐标原点，CB、AD>0尸分别为X、丁、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系。-孙z,

因为△B4D是边长为4的等边三角形，。为AD的中点，则OP=PAsin60=26,

则4(0,—2,0)、5(3,2,0)、C(—3,2,0)、P(0,0,2^/3),

由于点M在平面PBC内，

可设5M=mBP+nBC=m-3,-2,2^3j+«(-6,0,0)=^-3m-6n,—2m,2y/3inj,

其中帆2。，n>0S.m+n<l9

从而AM=AB+BM=（3,4,0）+^-3m-6M,-2m,2百向二0—3m-6n,4-2m,2y/3mj,

因为卜河卜行，则（3—3加—6"）2+（4-27%）2+12机2=15,

所以，（3—3加一=—16〃z2+16m—l=—（4m—2）2+3,

19

故当机=5时，-16〉+16加一1有最大值3,即（37"+6”一3）<3,

故—有<3根+6〃—346，即3加+6”一3有最大值班，

cos«-|cos<AMg]-1AM困」6（3-3…叽673—石

所以,1

I|AM|.|BC|6V156V155

故选:

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的

三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向

量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

6、C

【解析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案.

【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，

所以不同的放映次序有4种，

故选:C

7、A

2

【解析】以A4的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为3-

求得得到若，进而求得双曲线的离心率.

机—24,代入双曲线的方程,6=12,2=

a

【详解】以AA的中点0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则|。4|=|。4|=4百,

22

设双曲线的方程为三―3=1（。〉0力〉0）,则0=46,

可设G,m,B],m—24(0<m<24),

7

卜如、2

2

m1

48

又由耳，G在双曲线上，所以＜,解得m=89b=12f

(20勺

、3,(加—24)2

二1

48b2

即？=所以该双曲线的离心率为Jl+X=2.

aVa-

第H卷

8、B

【解析】由已知条件及等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，再根据等差数列前〃项和的函数性质判断S„取最

大时〃的值.

【详解】令公差为d,贝!I】:7解得；C，

516=16^+120^=0[d=-2

所以S“=15〃一”(〃一1)=16〃一/=-(n-8)2+64,

当〃=8时，S.取最大值.

故选：B

9、B

【解析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段A3中点的横坐标,

即得到答案.

【详解】由已知可得抛物线y2=4x的准线方程为1=-1,

设点AB的坐标分别为(为％)和(%,%)，

由抛物线的定义得|AF|+忸同=%+9+2=5,即%+%=3,

线段A3中点的横坐标为五*=』，

22

3

故线段A3的中点到y轴的距离是一.

2

故选：B.

10、A

【解析】求出函数/(%)图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.

【详解】因为一-1，

所以，/(x)+/(—2—力=1—々+1_1=2,

x+1-2-x+l

所以，函数八％)图象的对称中心为(-□),

将函数/(尤)的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，

即函数/(》—1)—1为奇函数.

故选：A

11、C

【解析】利用函数的奇偶性求出。，求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用点斜式即可求出结果

【详解】函数/(x)=d+(a—1)无2+依的定义域为R,若/⑺为奇函数，则/⑺=_〃_%)

则x3+(«-l)x2+ax=x3-(a-l)x2+ax,即a-l=O,

所以a=l,

所以函数/(%)=三+%,可得/(x)=3x2+1,/(1)=2；

所以曲线y=/(x)在点处的切线的斜率为/'⑴=4,则曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为

y-2=4(x-l),即y=4x-2

故选:C

12、A

【解析】由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得4+2-%=3e，然后利用累加法可求得。2021

1111

【详解】%+1<3"，工4+2<3"+1+万，・•・3〃+1<3"+1+耳，又为£Z,q=lwZ，

W+1

•，2+2—%£Z,即an+2—cin=3,

j_gl0112022_1

••42021=+（4314）+（。5-"3）++（。2021—“2019）=1+3?+3，++3?°2°=----------=------------

1—98

故选：A

【点睛】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项.解题关键是利用“两边夹”思想求解

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、停,+8）

【解析】设出半焦距C,用C,%,02表示出椭圆的长半轴长、双曲线的实半轴长，由P片-。月|=2，。|

可得△尸公心为直角三角形，由此建立关系即可计算作答，

【详解】设椭圆的长半轴长为〃，双曲线的实半轴长为优，它们的半焦距为C,于是得a=£,a'=—,

由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点片和心在X轴上，点P在y轴右侧，

］「耳|+」闯=2a

由椭圆及双曲线定义得：，，解得|「耳|=。+。'，|尸耳|=。一储，

［冏卜］%=2储-

因回—%=2囱，即,闾=2陷，而O是线段耳鸟的中点，因此有/耳环=90,

则有IP耳F+I尸鸟F=l耳&『，即5+优）2+5—。,）2=4。2,整理得：a2+a'2=2c2）

从而有（£）2+（£）2=2（?,即有3=2-士，又变<,三且，则有。<2-［〈■|,即解得如,

/0202G22023222

所以的取值范围是［乎,+00）.

故答案为：口色,+00）

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，C值，根据离心率的定义求解离心率e；

②齐次式法：由已知条件得出关于。的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

45

14、——

512

【解析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出

5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率

【详解】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，U,12,13,14指小球第2层到第3层的线路图，以此类

推，小球所有的路线情况如下：

01-11-21-31,01-11-21-32,01-11-22-33,01-11-22-34,01-12-23-33,01-12-23-34,01-12-24-35,01-12-24-36,02-14-26-38,

02-14-26-37,02-14-25-35,02-14-25-36,02-13-24-36,02-13-24-35,02-13-23-34,02-13-23-33,共16种情况，其中落

入2号位置的有4种，

41

所以每个球落入2号位置的概率为—

164

所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为

故答案为：——

15、15

,3

【解析】先求出二项式展开式的通项公式乙+|=5,，然后令X的次数为0,求出厂的值，从而可得展开式中的常

数项

【详解】二项式展开式的通项公式为（+1

3

令6——r=09得〃=4,

2

(1

所以XH—『展开式中的常数项为端=15

7

故答案为：15

【解析】由题意建立空间直角坐标系，然后结合点面距离公式即可求得点M到截面A5C。的距离.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

AM=(0，1，0)，AB=(1，1，0),AD=(0,1),

设〃=(x,j,z)为平面ABC。的法向量，

n-AB=x+y=0

则＜1,取y=-2,可得x=2,z=l,

n-AD=—y+z=0

I2，

/.n=(2,-2,1),

\AM'n\77

...M到截面ABCD的距离d=1,,1=,=-

H722+(-2)2+l23

2

故答案为彳.

3

【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用，点面距离的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=4x+12

(2)85亿元

【解析】⑴利用公式和数据计算即可

⑵代入回归直线计算即可

【小问1详解】

146

由折线图中数据知，x=-x(2+3+4+6+8+10+13)=y,

1272

歹二—x(13+22+31+42+50+56+58)=〒

7

；二(七一V)400200

因为8=—~=---------------Q-----=-----a4,

T/-\29849

i=l

27220046

所以a=y—阮=......—X—«12

"7497

所以y关于x的线性回归方程为y=4x+12

【小问2详解】

当％=17时，y=4xl7+12=80亿元，

此时公司的实际收益的预测值为80+5=85亿元

18、(1)(0,3]；

(2)[9,+oo)

【解析】解不等式Y-8X-20,,0,

一2、,1一nt

⑴由题意得〈八1,从而求得；

10..1+7M

1—ITL,,—2

⑵由题意可转化为。是q的充分不必要条件，从而得到，，八化简即可

l+m..10

【小问1详解】

解不等式尤2一8x-20,,0得-2黜10,

—2,,1—772

〃是q的必要不充分条件，.・.，，解得，0＜加”3,

10..1+7W

即实数机的范围为(0,3].

小问2详解】

「，是F的必要不充分条件，

."是"的充分不必要条件'故［1—+7小72),—。2’解得’帆⑼

即实数M的范围为［9,+8)

19、(1)证明见解析

⑵逑

4

【解析】(1)利用给定条件可得EG,平面ABDE,再证人石，成即可证得班1平面AEG推理作答.

⑵由⑴得EA,EB,EG两两垂直，建立空间直角坐标系，先求出向量AD在向量AM上的投影的长，然后由勾股定

理可得答案.

【小问1详解】

uuuuim

因为£G=BF，则EG/ABE,且EG=BF,又BF1BE,BFLBD,BEcBD=B,BE,BDu平面ABDE,

因此，跖，平面ABDE,即有EG,平面ABDE,EBu平面ABDE,则EG_LEB,

^AE=ED=DB=1,ED//AB,则四边形ABDE为等腰梯形，又/E钻=60°,则有NBDE=NAE。=120，

于是有"EB=30°,贝！JNA£B=9O。，即AEEG=E,AE,EGu平面AEG,

因此，平面抽G，而BEu平面GEBF,

所以平面G£Bb，平面AEG.

【小问2详解】

由⑴知，EA,EB,EG两两垂直，以点E为原点，射线EA,EB,EG分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标

系石一.，如图，

因4£=即=、。＞6=3产=1,四边形GEB尸是矩形，则尸G=8E=若，即A(l,。,。)，3(0,6,0),G(0,0,l),

D一5万,0

/、

uuuuuu

由MG=—2"F，则M。,4

7

uuur、uuin"_3V3A

则AM=T手,AD=一，万,0

77

uuuruum

AM-AD

则向量A。在向量AM■上的投影的长为一«>«—

AM

uun2

又从=代,所以点。到直线的距离

4AMd=AD

【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到AC,即、ACA.DE,即可得到AC,平面班史，再根据£F〃皿，

即可得证；

（2）由面面垂直的性质得到DEL平面ABC,建立如图所示空间直角坐标系，设A6=2,即可得到点B,C,E的

坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；

小问1详解】

证明：连接OE

因为43=6。，且。为AC的中点，所以

因为AE=EC,且。为AC的中点，所以ACLDE

因为BDu平面屈DE,DEu平面且BDcDE=D，所以AC,平面或见

因为EFIIBD,所以环u平面也汨，所以AC，所

【小问2详解】

解：由（1）可知。EJ_AC

因为平面ABC，平面ACE,平面ABC平面ACE=AC,DEu平面ACE,所以。平面ABC,所以。C,

DB,£>E两两垂直

以。为原点，分别以DC，DB，£>E的方向为x，y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z

设AB=2.则8(0,6,0),C(l