2023高考数学导数练习基础篇08 函数的极值(解析版)

专题08函数的极值

1.函数的极小值：

函数y=Λχ)在点X=XO的函数值犬XO)比它在点X=XO附近其他点的函数值都小，/(χo)=O;而且在点X=

Xo附近的左侧/(x)<0,右侧/(x)>0.则Xo叫做函数y=√(x)的极小值点，y(χo)叫做函数y=7(x)的极小值.如图

函数y=7(x)在点X=XO的函数值yUo)比它在点X=XO附近其他点的函数值都大，/(χo)=0；而且在点X=

Xo附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)<0.则Xo叫做函数y=∕(x)的极大值点，人四)叫做函数y=∕(x)的极大值.如图

2.

3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

对极值的深层理解：,*

(1)极值点不是点：/ʌ(\\

(2)极值是函数的局部性质；--一一一

“.H.()∖I?XtXaJ

(2)按定义，极值点为是区间［。，b^∖内部的点(如图)，不会是端点α,b∙,

(3)若./U)在3,加内有极值，那么KX)在(α,匕)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.

(4)根据函数的极值可知函数的极大值J(X0)比在点XO附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极

大值对应的点是局部的"高峰''；函数的极小值/°)比在点Xo附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现

为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小

值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大

值不一定比极小值大；

(5)使/(x)=0的点称为函数4C)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点.驻点可能是极值点，也可

能不是极值点.例如大X)=X3的导数/(x)=3『在点X=O处有/(0)=0,即X=O是危)=x3的驻点，但从危)

在(-8,+oo)上为增函数可知，X=O不是应r)的极值点.因此若/(xo)=O,则Xo不一定是极值点，即/(沏)

=0是/(x)在X=XO处取到极值的必要不充分条件，函数y=∕(x)的变号零点，才是函数的极值点；

(6)函数«x)在［α,⅛］上有极值，极值也不一定不唯一.它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻

两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数兀0

在［〃，b^］上连续且有有限个极值点时，函数y(x)在［α,b^∖内的极大值点、极小值点是交替出现的.

考点一根据函数图象判断极值

【方法总结】

由图象判断函数y=Ax)的极值

(l)y=∏x)的图象与X轴的交点的横坐标为xo，可得函数y=4x)的可能极值点回；

(2)如果在超附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)<0,那么兀VO)是极大值；如果在Xo附近的左侧/(x)W0,右

侧了(X)K)，那么J(Xo)是极小值.

【例题选讲】

[例1]⑴函数危)的定义域为R，导函数XX)的图象如图所示，则函数兀v)()

A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点

答案C解析设/(x)的图象与X轴的4个交点从左至右依次为XI,X2,X3,X4.当x<x∣时，/(x)>0,

«r)为增函数，当x∣<x<M时，/(x)<0,段)为减函数，则X=Xl为极大值点，同理，X=X3为极大值点，X

—X2,X=X4为极小值点，故选C.

(2)设函数兀V)在R上可导，其导函数为/(x),且函数y=(l—XVJ(X)的图象如图所示，则下列结论中一定

成立的是()

A.函数./U)有极大值人2)和极小值JU)B.函数Kr)有极大值J(一2)和极小值11)

C.函数y(x)有极大值负2)和极小值八一2)D.函数抵外有极大值八一2)和极小值人2)

答案D解析由题图可知，当x<一2时，/(x)>0;当一2<x<l时，/(x)<0;当l<x<2时，/(x)<0;当

尤>2时，/(x)>0.由此可以得到函数式x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值.故选D.

(3)函数√U)=χ3+加+cχ+d的大致图象如图所示，X1,愈是函数y=Λχ)的两个极值点，则才+6等于

)

A.I

答案C解析因为函数兀0的图象过原点，所以d=0.又|一1)=0且犬2)=0,即-1+b—c=0且

f322

8+4⅛+2c=0,解得匕=-1,c--ly所以函数兀¥)=x-χ-Zr,所以/(x)=3x-2x—2.由题意知为，Xi

22

是函数./U)的极值点，所以Xl,X2是/(X)=O的两个根，所以X∣+x2=],X1X2--J,所以才+S=(x∣+x2)2

-2XIX2=V=华，故选C

(4)已知函数)，=*4的图象如图所示(其中/(x)是定义域为R的函数T(X)的导函数)，则以下说法错误的是

()

A∙/(l)=∕(-D=0B.当X=-I时，函数兀V)取得极大值

C.方程;¢(X)=O与兀0=0均有三个实数根D.当X=I时，函数火X)取得极小值

答案C解析由图象可知/(l)=∕(-l)=0,A说法正确.当X<-1时，华<0,此时八X)>O;当一

l<x<0时，,华>0,此时了(x)<0,故当x=-l时，函数段)取得极大值，B说法正确.当Oa<1时，・华ɪθ,

此时/(x)<0;当Ql时，号bθ,此时/(x)>0,故当x=l时，函数XX)取得极小值，D说法正确.故选C.

(5)(多选)函数y=√(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有()

A.(-1,3)为函数y=∕(x)的递增区间B.(3,5)为函数y=∕(x)的递减区间

C.函数y=∕(x)在X=O处取得极大值D.函数丫=於)在x=5处取得极小值

答案ABD解析由函数y=Ax)导函数的图象可知，1》)的单调递减区间是(一8,-1),(3,5),单

调递增区间为(一1,3),(5,+∞),所以《X)在x=-l,5取得极小值，在x=3取得极大值，C错误.故选

A、B、D.

(6)(2018・全国^)函数丫=一/+1+2的图象大致为()

答案D解析当X=O时，y=2,排除A,B.由y=-4X3+2X=0,得X=O或X=结合三次

函数的图象特征，知原函数在(-1,1)上有三个极值点，所以排除C,故选D.

【对点训练】

1.如图是/U)的导函数/(χ)的图象，则y(x)的极小值点的个数为()

1.答案A解析由题意知在X=-I处/(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.

2.设函数/U)在R上可导，其导函数为/(x),且函数g(x)=^(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立

的是()

A../(X)有两个极值点B..穴0)为函数的极大值

C.火X)有两个极小值D.八—1)为兀V)的极小值

2.答案BC解析由题图知，当x∈(-8,-2)时，g(x)>O,.∙.∕(x)<0,当x∈(-2,0)时，g(x)<O,.∖f(x)

>0,当x∈(0,1)时,g(x)<O,.∖∏x)<0,当x∈(l,+8)时，g(x)>O,.∙.∕ɑ)>0..∙√(x)在(一8,-2),(0,

1)上单调递减，在(一2,0),(1,+oo)上单调递增.故AD错误，BC正确.

3.已知函数负X)=X3+Av2+cx的图象如图所示，则后+《等于()

3.答案C解析由题中图象可知40的图象经过点(1,0)与(2,0),X1,12是函数段)的极值点，所以1

+h+c=0,8+4⅛+2c=0,解得〃=—3,C—2,所以“r)=x3—3x2+2x,所以/(X)=3Λ2—6x+2,x∖,

2O8

田是方程3x2-6x+2=0的两根，所以XI+X2=2,xvxz=1yΛX∣+A⅛=(XI+X2)2-2XI%2-4—2x^=2，

4.已知三次函数"r)=Οχ3+⅛χ2+cχ+d的图象如图所示，贝号器=.

z⅛

4.答案1解析f(x)=3ax1+2bx+c,由图象知，方程/(x)=0的两根为-1和2,则有

J—五=一1+2，j3α+2b=0,.4CC

5.(多选)函数y=Λx)的导函数八X)的图象如图所示，则以下命题错误的是()

A.-3是函数y=∕(x)的极值点B.-1是函数y=∕(x)的最小值点

C.y=∕(x)在区间(一3,1)上单调递增D.y=Ax)在X=O处切线的斜率小于零

5.答案BD解析根据导函数的图象可知当x∈(-8,-3)⅛,/(Λ)<0,当x∈(-3,+s)时，八χ)≥0,

；.函数y=a)在(一8,一3)上单调递减，在(-3,+8)上单调递增，则一3是函数y=«r)的极值点，∙.∙

函数y=∙Λx)在(-3,+8)上单调递增，；.一1不是函数y=7(x)的最小值点，-；函数y=7(x)在X=O处的导

数大于0,∙∙∙y=∕(x)在X=O处切线的斜率大于零.故错误的命题为BD.

考点二求已知函数的极值

【方法总结】

求函数的极值或极值点的步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数/(x);

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

④检查了(x)在方程/(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么式x)在这个根处取得极大值;

如果左负右正，那么犬X)在这个根处取得极小值.

【例题选讲】

I例1](1)函数式X)=X⅛r的极大值为,极小值为.

答案4e-2O解析式》)的定义域为(一8,÷∞),f(x')--exx(χ-2').当xG(—oo,0)或x6(2,+∞)

时，/(x)V0;当x∈(0,2)时，/(x)>0.所以在(-00,0),(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增.故

当X=O时，式x)取得极小值，极小值为犬O)=0；当x=2时，7U)取得极大值，极大值为式2)=4e".

2

(2)设函数4τ)=q+lnΛ∙,则()

A.X=T为y(x)的极大值点B.X=T为/(x)的极小值点

C∙x=2为兀V)的极大值点D∙x=2为人尤)的极小值点

21X—2

答案D解析/α)=-∕+[=γ(x>0),当0<x<2时，/(x)<0,当x>2时，/(x)>0,所以X=

2为KX)的极小值点.

Y

(3)已知函数J(x)=2ef(e)lnχ-则«x)的极大值点为()

A.ɪB.1C.eD.2e

2efte)11r21

答案D解析f(x)=~j~~--y故/(e)=[故段)=21除一】令/(x)=;-7>0,解得0<r<2e,令/(x)<0,

ʌCCCΛC

解得x>2e,故/U)在(O,2e)上递增，在(2e,+s)上递减，.∙.x=2e时，犬外取得极大值21n2,则大处的极大

值点为2e.

(4)已知e为自然对数的底数，设函数y(x)=(ex-l)∙(χ-1)"(Z=1,2),则()

A.当Z=I时，兀0在x=l处取到极小值B.当k=l时，7U)在x=l处取到极大值

C.当A:=2时，於)在x=l处取到极小值D.当A:=2时，火x)在尤=1处取到极大值

答案C解析因为了(X)=(X-I)Lea-1+A)—后，当A=I时，/(l)>0,故1不是函数./(X)的极值

点.当k=2时，当项<Λ<l(xo为兀V)的极大值点)时，∕ɑ)<0,函数犬x)单调递减；当Ql时，F(x)>O,函数y(x)

单调递增.故y(x)在X=I处取到极小值.故选c.

(5)若x=-2是函数XX)=(Λ2+or-l)e*r的极值点，则人》)的极小值为()

A.-1B.-2e^3C.5e-3D.1

答案A解析∕α)=(2v+.)eLi+α2+oχ-l)eLi=[Λ2+3+2)x+a-l]eLi.∙.∙χ=-2是兀V)的极值

2xl1x

点，.*./(—2)=0,即(4—2a—4+a—1)「3=0,得〃=—1.∙'.I∕(X)=(JC-χ-l)e^,f(x)=(x+χ-2)e~'.由

/(x)>0,得x<—2或x>l;由/(x)<0,得一2Vχ<l..∙√(x)在(-00,—2)上单调递增，在(一2,1)上单调

递减，在(1,+oo)上单调递增，.∙J(x)的极小值点为1,.∙J(x)的极小值为HI)=-L

(6)设，(x)为函数/)的导函数，已知ΛV(x)+M(x)=lnx,χi)=∣,则下列结论不正确的是()

A.状x)在(0,+oo)上单调递增B.求x)在(0,+8)上单调递减

C.9x)在(0,+8)上有极大值TD.犹x)在(0,+8)上有极小值T

Inγ1nγ

答案ABC解析由Xy(X)+求X)=InX得x>0,则犷Z(X)■,即［浜无)了=『，设g(x)=求x),

Inγ

即g'(x)=-T，由g'(x)>O得X>l,由/(x)<0得0<x<l,即M(X)在(1,+oo)上单调递增，在(0,1)上单调

递减，即当X=I时，函数g(x)=M(x)取得极小值g(l)=∕(l)=T∙故选ABC.

［例2］给出定义：设/(X)是函数y=∕(x)的导函数，/(X)是函数了⑴的导函数，

若方程/'(x)=0有实数解必，则称点(Xo，7(xo))为函数y=∕(x)的拐点.已知√(x)=αr+小SirLr-cosx.

(1)求证：函数y=∕(x)的拐点M(X0，7(xo))在直线y=0x上；

(2)x∈(0,2兀)时，讨论y(x)的极值点的个数.

解析(l)∙∙T(χ)="χ+√5SinJV-Cosx,.".∕(x)=a÷√3cosx+siɪn,

H(X)=一小SinX+cosx,V∕z(%o)=O,/.一小si∏Λo+cosxo=0.

而Λɪo)=αro÷√3siriYo-^cosx()=axo./.点M(X°,#/()))在直线y=cιx上.

(2)令/(x)=0,得a=-2sin(x+W),

作出函数y=-2sin(x+g,x∈(0,2兀)与函数y="的草图如下所示：

由图可知，当α≥2或“三一2时，Kr)无极值点；当〃=—小时，Ar)有一个极值点；

当一2<α<一小或一S<α<2时，/(x)有两个极值点.

［例3］(2021•天津高考节选)已知4>0,函数KX)="一r∙e'.

(1)求函数y=∕U)在点(0,式O))处的切点的方程；

(2)证明y(x)存在唯一极值点.

解析(1)因为犬0)=0,/(x)=α-(x+l)ev,所以八0)=。一1,

所以函数在(0,40))处的切线方程为(“一1>X—y=0.

(2)若证明y(x)仅有一个极值点，即证了(X)=α-(x+l)e∙v=0,只有一个解，

即证4=(x+1)e`只有一个解，

令g(x)=(x+l)ev,只需证g(x)=(x+l)ev的图象与直线y="(4>O)仅有一•个交点，g，(X)=(X+2)e”,

当％=—2时，g'(x)=O,

当x<-2时，g'(x)<O,g(x)单调递减，当x>-2时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

当工=—2时，^(―2)=—e2<0.当χτ+s时，^(x)→+∞,当XT—8时，^(x)→0,

画出函数g(x)=(x+1)e”的图象大致如下，

因为a>0,所以gα)=(x+l)e”的图象与直线y="(α>O)仅有一个交点.即./(九)存在唯一极值点.

【对点训练】

1.函数7(x)=2χ-Mnx的极值是()

ʌ-eB-1c∙eD-e2

1.答案C解析因为/(x)=2-(InX+l)=l-lnx,当/(x)>0时，解得0<x<e;当/(x)V0时，解得

x>e,所以x=e时，√(x)取到极大值，./(X)极大(t=Λe)=e.故选C.

2.函数人X)=(X2-1>+2的极值点是()

A.X=IB.x=—lC.x=l或一1或0D.X=O

2.答案C解析/(x)=2(x2-l)∙2x=4x(x+I)(χ-1),令/(x)=0,解得X=O或X=—1或X=L

3.函数√(x)=52+lnχ-Ir的极值点的个数是()

A.OB.1C.2D.无数

1—2x+](x—]F

3.答案A解析函数定义域为(0,+8),且/(x)=x+±-2=-=kʒ~⅛0,即y(x)在定义

域上单调递增，无极值点.

4.函数式X)=(X2-χ-l)e*(其e=2.718…是自然对数的底数)的极值点是；极大值为.

4.答案1或一2三解析由已知得了(X)=(X2-χ-l+2x—l)e*=(Λ2+χ-2)e*=(x+2)(χ-l)e*,因为e*

>0,令/(x)=0,可得X=—2或x=l,当x<—2时，/(x)>0,即函数式x)在(一00,-2)上单调递增；

当一2Vx<l时，/(x)<0,即函数凡r)在区间(一2,I)上单调递减；当x>1时，/(x)>0,即函数次x)在区

间(1,+8)上单调递增.故/(x)的极值点为-2或1,且极大值为火-2)=也.

5.已知函数段)=0x3—bx+2的极大值和极小值分别为M,加，则M+∕n=()

A.OB.1C.2D.4

5.答案D解析f(x)=3ax1-b=0,由题意，知该方程有两个根，设该方程的两个根分别为两，检，

故./(x)在x∖,X2处取到极值，M+∕n=αR—bxι+2+αd-^⅛T2+2=-Z?(xi+x2)+a(xi+x2)[(xi+x2)2—3XIX2]

+4,又X1+x2=θ,XlX2=一磊，所以“+机=4,故选D.

6.若X=-2是函数yU)=33-θx2-2x+l的一个极值点，则函数/(x)的极小值为()

A.—⅛B.-NC.ɪD.ɪ

ɔOOJ

6.答案B解析由题意，得/(x)=f-2αv—2.又》=-2是函数人x)的一个极值点，所以/(-2)=2

+4.=0,解得“=一£.所以/(X)=∙∣Λ3++-2X+1,所以F(X)=Λ2+X-2=(X+2)(XT).当XV—2或X

>1时，/(x)>0;当一2<尤<1时，/(x)<0.所以函数y=∕(x)的单调递增区间为(一S,-2),(I,+∞),

单调递减区间为(一2,1).当X=I时，函数y=7(x)取得极小值，为*)=；+g—2+1=一/.故选B.

7.已知函数y(x)=21nx+or2—3x在x=2处取得极小值，则外)的极大值为()

A.2B.-⅛C.3+In2D.-2+21n2

2

7.答案B解析由题意得，/(x)=1+2Or—3,在x=2处取得极小值，二/(2)=4“-2=0,解得

I12(X—I)(JC—2)

a=y.∙J(x)=21nx+/一3x,/(x)=f+χ-3=----------------,.∖∕(x)在(0,1),(2,+s)上单调递增，在

(1,2)上单调递减，.Mx)的极大值为TU)=B—3=—|.

8.已知函数4r)=xlnx,贝∣J()

A.危)的单调递增区间为(e,+∞)B./)在(0,匕是减函数

C.当x∈(0,1］时，兀0有最小值一FD.y(x)在定义域内无极值

8.答案BC解析因为/(x)=lnx+l(x>O),令/(x)=0,所以x=：,当Xe(0,时，/(x)<0,当X

e(?+∞)时，/(χ)>0,所以共χ)在(θ,3上单调递减，在(：，+θθ)上单调递增，X=F是极小值点，所

以A错误，B正确；当X∈(0,1］时，根据单调性可知，yU)min=OT,故C正确；显然於)有极小

值；ɑ),故D错误.故选BC.

f+X-1

9.(多选)已知函数危)=一^7—，则下列结论正确的是()

A.函数yu)存在两个不同的零点

B.函数人犬)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<⅛≤0时，方程TU)=人有且只有两个实根

D.若X∈∣7,+8)时，Kx)max=/,则/的最小值为2

-l±λ∕5,,_.X2-X-2

9.答案ABC解析由∕U)=0,得/+χ—1=0,；・无=ɔ)故A正确・f(x)=—=

i(X+1)(X—2)..,

----g----当x∈(-8,-1)U(2,+8)时，/(x)<0,当x∈(—1,2)时，/(x)>O,.∙√(x)在(一8,-

1),(2,+oo)上单调递减，在(-1,2)上单调递增，.VA-I)是函数的极小值，,«2)是函数的极大值，故B

正确.又4-1)=-e,7(2)=^,且当XT-OO时，40—+oo,x-+oo时，y(x)-0,.∖Ax)的图象如图所示，

由图知C正确，D不正确.

10.若函数y(x)=(l-x)α2+ox+b)的图象关于点(一2,0)对称，Xi,X2分别是段)的极大值点与极小值点,

则X2—X1=.

10.答案一2√5解析因为函数y(x)=(l—x)(f+αx+6)的图象关于点(-2,0)对称，且人1)=0,所以

Λ-5)=0,Λ-2)=0,所以x=—2,》=-5是方程/+αv+6=0的两个根.由根与系数的关系可得，

a=7,匕=10,所以40=(1—X)(Λ2+7X+10),所以y(X)=—(f+7X+10)+(1-X)(2X+7)=-3(X2+4X

+1).又因为X1,X2分别是y(x)的极大值点与极小值点，所以X1,X2是X2+4X+1=0的两个根，且X1>X2.解

方程可得，Xl=-2+小，X2=—2—小，所以田一xi=-2∙∖∕5.

11.已知函数,/(x)=e*(χ-1)—ge"『，a<0.

(1)求曲线y=∕U)在点(0,负0))处的切线方程;

(2)求函数大幻的极小值.

II.解析(1)因为式x)=σv(χ-1)—∕e"/,所以了(X)=Xe*-χe".所以火0)=-1,/(0)=0.

所以曲线y=∕(x)在点、(0,10))处的切线方程为)，=-1.

(2)f(x)-xe'-χea-x(c,c—ea),令/(x)=0,得X=O或X="(α<0).

y(x)与『(X)在R上的变化情况如表：

X(—8,a)a5，0)0(0,+∞)

f(x)+0—0+

於)

由表可知，当X=O时，式x)有极小值式0)=—1.

∙v+2

12.已知函数<x)e=—^二.

(1)求函数./(X)的图象在(1,./U))处的切线方程;

(2)证明：函数应r)仅有唯一的极小值点.

12.解析(1)因为了(X)=y/—,所以切线斜率Z=∕(l)=-2.

又因为41)=e+2,所以切线方程为y-(e+2)=—2(χ-l),即2x+y-e—4=0.

(2)证明：令〃(X)=e*(x—1)—2,则∕f(x)=e*∙x,所以x∈(-00,0)时，h'(x)<0,

,

x∈(0,+00)时，∕J(Λ)>0.当X∈(-8,0)时，易知∕ι(χ)<O,

所以/(x)<o,汽用在(一8,0)上没有极值点.

当x∈(0,+8)时,因为〃(1)=一2<0,Λ(2)=e2-2>0,

所以/(l)<0,/(2)>0,Kr)在(1,2)上有极小值点.

又因为〃(x)在(0,+8)上单调递增，所以函数式X)仅有唯一的极小值点.

考点三已知函数的极值(点)求参数的值(范围)

【方法总结】

由函数极值求参数的值或范围

讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论八X)=O根的有无(个数).然后由己知条件列出方程或不等式

求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0

的点两侧导数是否异号.

【例题选讲】

[例1](I)若函数∙∕(X)=X(X-皿)2在X=I处取得极小值，则m=.

答案1解析由/(1)=0可得机=1或相=3.当机=3时，/(x)=3(x—l)(x—3),当l<x<3时，/(x)

<0；当x<l或x>3时，/(x)>0,此时,/(X)在X=I处取得极大值，不合题意，当朋=1时，/(X)=(X-1)(3X

-I).当呆x<l时，/(Λ)<0:当X<∣或X>1时，/(x)>0,此时y(x)在X=I处取得极小值，符合题意，所以机

=1.

(2)已知危)=/+3«?+版+/在χ=-ι处有极值0,则α+∕7=.

lʃ(—1)=0,(〃=1,(〃=2,

答案11解析f(x)=3x2+6cιx+b,由题意得L1、C解得彳，r或tC当α=l,b=3

IA-1)=0,[b=3[b=9,

时，∕α)=3f+6x+3=3(x+l於0,・・・於)在R上单调递增，・・・於)无极值，所以α=l,匕=3不符合题意，

当α=2,。=9时，经检验满足题意.Λr∕÷⅛=11.

(3)若函数於)的导数了(X)=G-I)(X—©*(QI"∈Z),已知X=Z是函数/)的极大值点，则k=.

答案1解析因为函数的导数为/(x)=G-I)(X—4)*，mkGZ,所以若k是偶数,则X=A不是

极值点，则”是奇数，若k<∣,由/(x)>0,解得或XC%；由/(x)<0,解得k<x<∣,即当X=Z时，函数“r)

取得极大值.因为上ez,所以上=1.若由/(x)>0,解得QA或x<∣;由/(x)<0,解得|44,即当X

=&时，函数/外取得极小值，不满足条件.

(4)设函数/U)=InX办2—bx,若x=l是/(x)的极大值点，则α的取值范围为.

答案a>—1解析Kr)的定义域为(0,+∞),f(x)=^-ax-b,由/(1)=0,得6=1一”，所以/(x)=T

—4x-十1十Or-X-(Or十I)(X-ɪ)ɪ,..ʌ,,,.,,..

-ax+a-l=----------------------=-------r------①若a>0,当OaCl时,/(x)>0,√(x)单调递rτ增1；ii当x>∖时，

了(x)<0,y(x)单调递减，所以x=l是y(x)的极大值点.②若α<0,由F(X)=0,得X=I或X=-］.因为X=I

是yω的极大值点，所以一卜1,解得一ι<q<o.综合①②得。的取值范围是心-1.

(5)若函数TU)=竿一(l+2α)x+21ιu∙(α>0)在区间6，1)内有极大值，则”的取值范围是()

A.(ɪ,+∞')B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)

答案C解析&x)="—(l+2.)+［=竺三WQ土(α>O,x>O),若火X)在区间弓，1)内有极大值，

H1

rZjx不一］(2α+l)+2

即/(X)=O在Q,1)内有解，且/(X)在区间d，1)内先大于0,后小于0,贝小八即1i'l'

1/wo,2

、a—(2.+1)+2<0,

解得l<α<2,故选C.

(6)若函数4x)=x2—x+αhw在［1,+s)上有极值点，则实数4的取值范围为；

答案(-8,-1］解析函数兀C)的定义域为(O,+8),/(χ)=21+f=iY，由题意知2?

-χ+α=O在R上有两个不同的实数解，且在［1,+8)上有解，所以/=1-84>0,且2xl2-ι+0≤o,所以

a∈(―co,-1］.

(7)已知函数/U)=X(InΛ-or)有两个极值点，则实数Q的取值范围是.

答案(。，I)解析fix)=x()nχ-cιx),定义域为(O,+∞),/(x)=l+Inx-20x.由题意知，当x>0时，

1+lor—2Or=O有两个不相等的实数根，即2〃=上詈ʌ有两个不相等的实数根,令Pa)=上野W(A>()),.∙.”(χ)

—InX

ɪʒɔ-.当O<x<l时，d(x)>O;当x>l时，φ∖x)<O,；.p(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+s)上单调递减，

且¢(1)=1,当x∙→0时，φ(χ)→-∞,当XT+8时，φ(χ)→O,则0<2α<l,即0<α<^.

(8)(202卜全国乙)设在0,若x="为函数於)="(x—“)2。一切的极大值点，贝∣J()

A.a<bB.a>bC.atx<rD.ab>a2

答案D解析法一(特殊值法)当α=l,b=2时，函数yU)=(x—1)2。-2),画出该函数的图象如

图1所示，可知x=l为函数於)的极大值点，满足题意.从而，根据〃=1,6=2可判断选项B,C错误；

当a=-1,6=—2时，函数y(x)=—(X+1)2(X+2),画出该函数的图象如图2所示，可知X=-I为函数应¥)

的极大值点，满足题意.从而，根据〃=-1,〃=一2可判断选项A错误.

法二(数形结合法)当“>0时，根据题意作出函数y(x)的大致图象，如图3所示，观察可知

当“<0时，根据题意作出函数式x)的大致图象，如图4所示，观察可知”>6.

综上，可知必有">/成立.故选D.

2

[例2]已知曲线段)=肥”一字比3一α?,α∈R.

(1)当α=0时,求曲线y=y(x)在点(Lx1))处的切线方程；

(2)若函数y=∕(x)有三个极值点，求实数〃的取值范围.

解析⑴当〃=0时，J(x)=xex^>f(x)=ev+xeA=>f(1)=2e,

又y∏)=e,故曲线y=∕(x)在x=l处的切线方程为y—e=2e(χ-l),化简得y=2eχ-e.

(2)因为/(x)=et(x+1)-2cιx(x+l)=(x+l)(ev-2cιx),

所以令/(x)=O=(X+l)(e'-20c)=0=x+l=0或ex~2ax=0,

由于函数y=7(x)有三个极值点，所以方程ex-2ax=0必有两个不同的实根，

x,

设g(x)=e-2axf贝Ug(x)=eʌ'-2a,

易知好0时，/(x)>0,g(x)在R上单调递增，不合题意，故〃>0,所以g(x)的两个零点必为正数.

令g<x)=0ne'_2α=0=x=ln(24),

,

所以在x∈(—8,ln(2α))时,g(x)<09g(x)单调递减；在κ∈(ln(2α),+oo)⅛,√(x)>0,g(x)单调递增.

依题意，要使得函数g(x)=e"-20x有两个不同的零点五1,x2(x∖<x2)^则g(x)min=g(ln(24))<0,

于是”3)—2Hn(2Q)<0=2α-2Hn(24)<0=l—ln(24)vθn4>].

e

所以当。得时，在x∈(-8,—1)时，/(x)<0,./U)单调递减，在X∈(-1,X])时，/(x)>O,yω单调递增，

在∙∈(Xι,M)时,/(x)<o,yu)单调递减，在XWa2,+8)时，Fa)>o,yu)单调递增.

故实数”的取值范围是+∞).

【对点训练】

I.若函数y(x)=(x+α)e*的极值点为1,则a=()

A.-2B.-1C.OD.1

I.答案A解析/(x)=ev+(Λ+α)e'=(x+a+l)ev.由题意知/(l)=e(2+4)=0,.'.a——2.故选A.

2.已知函数,ZU)=X(X—Cp在x=2处有极小值，则实数C的值为()

A.6B.2C.2或6D.O

2.答案B解析由/(2)=0可得c=2或6.当c=2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在X

=2处取得极小值；当c=6时，结合图象(图略)可知，函数在x=2处取得极大值.故选B.

3.已知函数/(x)=OX3+fer2+cx-17(α,h,c∈R)的导函数为/(x),了(X)Wo的解集为{x|一2Wx≤3},若/(x)的

极小值等于一98,则α的值是()

81]

A.-22B.ɜC.2D.5

3.答案C解析由题意，/(X)=3οv2+2fer+c,因为/(x)WO的解集为*|一2"3},所以〃>0,且一2+

3=一卷一2x3=*则3a=-26C=-184,«r)的极小值为火3)=27α+%+3c—17=—98,解得α

=2,b=—3,c=-36,故选C.

4.若函数7U)=Λ3-2CX2+x有极值点，则实数C的取值范围为.

4.答案(一8,一坐)U惇，+∞j解析若函数y(x)=x3-2cr2+X有极值点，则/(x)=3x2-4CX+1

=O有两个不等实根，故J=(-4C)2-12>0,解得c>坐或c<—乎.所以实数C的取值范围为

(-8,-坐)U停,+J

5.设α∈R,若函数y=e'+or,x∈R有大于零的极值点，则实数”的取值范围是.

5.答案(一8,—1)解析由y=e*+α=O得X=In(―α)(α<0),显然X=Ill(一〃)为函数的极小值点，

又In(―4)>0,Λ-a>∖,即。〈一1.

6.若函数7U)=(2-4)[(χ-2)e"—%χ2+/在6，1)上有极大值，则实数。的取值范围为()

A.(√e,e)B.(y[e,2)C.(2,e)D.(e,÷∞)

6.答案B解析令/(X)=(2—a)(x-l)(eA-a)=0,得X=Inaee，1)，解得。七(/，e),由题意知，

当x∈Q,InJ时，/(χ)>0,当x∈(lnq,1)时，/(x)<0,所以2—4>0,得α<2.综上，α∈(√e,2).故选

B.

7.已知函数Kr)=竟一4x在(1,+oo)上有极值，则实数4的取值范围为()

A.(一8,ɪB.(一8，C.(0,；D.0,I

InY-1InY—1i

7.答案B解析八X)=而彳•一a，设g(x)=而彳=右一,，因为函数./U)在(1，+⑼上有极值，

所以/(x)=g(x)-。有