苏科版八年级数学下册题型突破提高类型五、反比例函数与一次函数结合求不等式解集与面积(原卷版+解析)

类型五、反比例函数与一次函数结合求不等式解集与面积【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，．(1)求，对应的函数表达式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式的解集．方法：1.求（1）代入即可；2.（2）先求得直线与轴的交点为，然后根据割补求得即可；3.（3）观察图形，先找出一次函数与反比例函数的交点，一次函数的值大于反比例函数的值，说明一次函数在反比例函数上面的部分，然后再看横坐标范围即可．【融会贯通】1．如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（

）．A． B．或 C．或 D．2．如图，直线与双曲线在同一坐标系中如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或3.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______．【知不足】1.如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或2．已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(－1，yA)和点B(3，yB)两点，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（

）A．x＜－1或0＜x＜3 B．－1＜x＜0或0＜x＜3C．－1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________．4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，请你直接写出满足条件：的的取值范围.【一览众山小】1.如图，直线与双曲线在同一坐标系中如图所示，则不等式的解集为（）A． B．C．或 D．或2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，点A的横坐标为2，当时，x取值范围是(

)A．或 B． C． D．3.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求出另一个交点B的坐标；(3)根据图象直接写出当时，不等式的解集．4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数交于点、，过作轴于，连接，，若，．(1)求点的坐标，并求出反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；(3)直接写出关于不等式：的解集为______．5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数的解析式及的值；(2)观察图像，直接写出不等式的解集．【温故为师】1.已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；(3)若这个一次函数的图象与轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，连接AD，BD，求△ABD的面积．2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式．(2)根据图像，请直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围．3．如图，直线与双曲线（m≠0）相交于A（1，2），B（-2，-1）两点，(1)若为双曲线上的三点，且，则的大小关系为；(2)观察图象，请直接写时，x的取值范围为；(3)分别连接OA、OB，求△OAB的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在轴正半轴上，，的面积为．(1)求的值和点的坐标；(2)根据图象直接写出时的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，(1)求，对应的函数表达式；(2)根据函数图像，直接写出关于x的不等式<的解集；(3)过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标．6．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图像交于A（m，6），B（n，3）两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图像直接写出时x的取值范围；(3)若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求点M坐标．7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出当取什么值时，．8．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限内交于A(1，6)，B(3，n)两点．请解答下列问题：(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出kx+b﹣>0的x的取值范围．9．如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．10．如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于、两点．(1)求k、b的值，并直接写出当时x的取值范围；(2)点是线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．求的面积S关于n的函数解析式11．已知：正比例函数的图像与反比例函数的图像有一个交点的纵坐标是2，(1)当时，求反比例函数的值；(2)当时，反比例函数的取值范围是______；(3)当正比例函数值大于反比例函数值时，的取值范围是______．12．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．(1)求n和b的值；(2)观察图像，不等式的解集为________．类型五、反比例函数与一次函数结合求不等式解集与面积【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，．(1)求，对应的函数表达式；(2)求的面积；(3)直接写出不等式的解集．方法：1.求（1）代入即可；2.（2）先求得直线与轴的交点为，然后根据割补求得即可；3.（3）观察图形，先找出一次函数与反比例函数的交点，一次函数的值大于反比例函数的值，说明一次函数在反比例函数上面的部分，然后再看横坐标范围即可．【融会贯通】1．如图，直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是（

）．A． B．或 C．或 D．【答案】B【详解】解：根据图象，可得：不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，又∵直线与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，∴不等式的解集是或．2．如图，直线与双曲线在同一坐标系中如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【详解】解：有题意可知，当时,解得直线与双曲线在第二象限交点的坐标为由中心对称可得，直线与双曲线在第四象限交点的坐标为观察图象可得，不等式的解集为或3.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是______．【答案】或【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即，【知不足】1.如图，小明同学利用计算机软件绘制函数，，根据学习函数的经验，可以知道的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【详解】解：由可得：的函数图象要在的图象的上方，或．2．已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(－1，yA)和点B(3，yB)两点，当y1＞y2时，实数x的取值范围是（

）A．x＜－1或0＜x＜3 B．－1＜x＜0或0＜x＜3C．－1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3【答案】A【详解】解：依照题意画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________．【答案】或【详解】解：将点代入反比例函数得：，解得：，∴反比例函数为，将点代入得：∴点的坐标是，∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、两点.(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，请你直接写出满足条件：的的取值范围.【答案】(1)；(2)或【详解】（1）解：∵把代入得：，∴反比例函数的解析式是，∵代入反比例函数得：，∴的坐标是，把、代入一次函数得：，①-②，得，把代入①，得，，∴方程组的解集为，∴一次函数的解析式是；（2）解：从图象可知：的的取值范围是当或．【一览众山小】1.如图，直线与双曲线在同一坐标系中如图所示，则不等式的解集为（）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】解：设直线与双曲线的交点为A，B，如图所示：把代入得，∴，再把代入直线得，，解得，∴，联立方程组，解得或，∴，，由函数图象可得，不等式的解集为或．2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，点A的横坐标为2，当时，x取值范围是(

)A．或 B． C． D．【答案】C【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，由函数图象可知，当时，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方，且位于轴负半轴，当时，x取值范围是，3.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和B两点，与x轴交于点C．(1)求反比例函数的解析式；(2)求出另一个交点B的坐标；(3)根据图象直接写出当时，不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）把点代入，得．∴．把代入，∴．∴反比例函数的解析式为；（2）解得或，；（3）由图象可知，当时，不等式的解集或；4．如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数交于点、，过作轴于，连接，，若，．(1)求点的坐标，并求出反比例函数的表达式；(2)求点的坐标；(3)直接写出关于不等式：的解集为______．【答案】(1)；(2)(3)或【详解】（1）当时，，∴；∴，∵∴，∵，∴，∴，∵反比例函数图像位于二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的表达式为．（2）∵反比例函数的表达式为，在该图像上，∴，∴，∴，将代入一次函数解析式中得：，∴，∴一次函数解析式为：，，∴或，∴．（3）由图像可知，的解集为或．5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数的解析式及的值；(2)观察图像，直接写出不等式的解集．【答案】(1)反比例函数的解析式为，(2)或【详解】（1）解：把代入中，得，，反比例函数的解析式为．点在反比例函数的图像上，．（2）解：根据观察图像可知，当或时，一次函数图像在反比例函数图像上方，故不等式的解集为：或．【温故为师】1.已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．(1)求一次函数和反比例函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；(3)若这个一次函数的图象与轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，连接AD，BD，求△ABD的面积．【答案】(1)；；见解析(2)或(3)5【详解】（1）解：∵双曲线的图象过点，∴，∴反比例函数的表达式为,∵的图象过点，∴，∴．∵的图象过点，，，解得，，∴一次函数的表达式为．一次函数的图象如图所示．（2）解：（2）．（3）解：∵的图象过点，∴当时，，∴．∵点D是点C关于轴的对称点，∴．∴．．2．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．(1)求一次函数与反比例函数的解析式．(2)根据图像，请直接写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围．【答案】(1)，(2)或【详解】（1）把、两点代入反比例函数中，得，解得，，故反比例函数解析式为．把、两点代入一次函数中，得，解得，故一次函数解析式为．（2）由函数图像可知：一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或．3．如图，直线与双曲线（m≠0）相交于A（1，2），B（-2，-1）两点，(1)若为双曲线上的三点，且，则的大小关系为；(2)观察图象，请直接写时，x的取值范围为；(3)分别连接OA、OB，求△OAB的面积．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）解：由题意，将点代入得：，则双曲线的解析式为，所以在每一象限内，随的增大而减小，，，（2）解：不等式表示一次函数的图象位于反比例函数的图象上方，则的取值范围或，（3）解：将点代入得：，解得，则直线的解析式为，如图，设直线与轴的交点为点，当时，，解得，即，4．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在轴正半轴上，，的面积为．(1)求的值和点的坐标；(2)根据图象直接写出时的取值范围．【答案】(1)(2)或（1）如图，过点作于点，，，，又该反比例函数图象在第一、三象限，即，，由题意得，方程组的解为或，又点在第一象限，点在第三象限，；（2）根据图象得，当时，的取值范围是或．5．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，(1)求，对应的函数表达式；(2)根据函数图像，直接写出关于x的不等式<的解集；(3)过点B作BP//x轴交y轴于点P，在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，若存在求出Q点的坐标．【答案】(1)，(2)或(3)存在，或【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于A（-2，3），B（m，-2）两点，∴，∴，∴双曲线的表达式为：，B（3，-2），把A（-2，3），B（3，-2）代入得，解得：，∴直线的表达式为：．（2）解：由图像可知，直线在A点的右边与y轴的左侧部分或在B点的右边部分，在双曲线下方∴或．（3）解：如下图，∵BP//x轴，B（3,-2），由，令得解得：．∴C点的横坐标为1，∴要△ABQ的面积等于△ABP的面积的一半，只要=设所以或解得：或∴点坐标为或．6．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图像交于A（m，6），B（n，3）两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图像直接写出时x的取值范围；(3)若M是x轴上一点，且△MOB和△AOB的面积相等，求点M坐标．【答案】(1)y=-3x+9(2)0<x<1或x>2(3)M（3，0）或M（-3，0）（1）解：∵点A和点B在反比例函数的图像上，∴当y=6时，，解得：x=1，当y=3时，，解得：x=2；∴A（1，6），B（2，3），把点A和点B代入y＝kx+b，，解得：，∴一次函数的解析式为：y=-3x+9．（2）∵，∴，∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为2，由图可知：当0<x<1时或x>2时，，∴x的取值范围时：0<x<1或x>2．（3）令一次函数与x轴交于点P，当y=0时，0=-3x+9，解得：x=3，∴P（3，0）∵点A到x轴的距离为6，点B到x轴的距离为3，∴=，∵，解得：OM=3，∴M（3，0）或M（-3，0）7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，．(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)直接写出当取什么值时，．【答案】(1)(2)6(3)或【详解】（1）解：∵在上，∴，∴，∵在上，∴，∴；（2）解：过作于，过作于，设，∴，，∴，∴，∴，，∴，，∴，，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．答：的面积为6．（3）由图象可得，当或时，．8．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限内交于A(1，6)，B(3，n)两点．请解答下列问题：(1)求这两个函数的表达式；(2)根据图象直接写出kx+b﹣>0的x的取值范围．【答案】(1)y＝，y＝﹣2x+8(2)1＜x＜3或（1）∵反比例函数y＝(k≠0)的图象与一次函数y＝kx+b的图象在第一象限交于A(1，6)，B(3，n)两点，∴将A(1，6)代入反比例函数表达式中，m=1×6=6，∴反比例函数表达式为：y=，把B(3，n)代入得n=2，∴B(3，2)，将A、B代入y＝kx+b中得∴，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣2x+8；（2）由图象可得：当kx+b﹣>0时，1＜x＜3或．9．如图，直线与双曲线相交于、B两点．(1)求m及k的值；(2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；(3)直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）将点A（2,1）的坐标分别代入一次函数与反比例函数，可得，，，解得：，；（2）∵两点关于直线对称，∴点的坐标为；（3）由得，即反比例函数的函数