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本次课讲授第五章的4.4-5.2。下次课讲授5.3-6.2，下次上课时交作业：P45—P46

重点：常用分布与正态统计量难点：同上第十二讲：极限定律与数理统计基本概念1本次课讲授第五章的4.4-5第十二讲：正态分布与大数定律例题1(2001，数三）第十二讲：正态分布与大数定律例题1(2001，数三）3第十二讲：正态分布大数定律与中心极限定理补充：依概率收敛定义3第十二讲：正态分布大数定律与中心极限定理补充：依概率收敛定4设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数

，恒有

一、切比雪夫大数定律：分别有数学期望及方差

D(X1),一常数K，使得证第十二讲：正态分布与大数定律4设独立随机变量并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任5第十二讲：正态分布与大数定律5第十二讲：正态分布与大数定律6推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对于任何正数

，有第十二讲：正态分布与大数定律6推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对7在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=

p，定理3(伯努利定理）按概率收敛于事件A的概率p.即对于任何正数则事件A在n

次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数

,有证设随机变量Xi表示事件A在第i次试验中发生的次数(i=1,2,…,n,…),则这些随机变量相互独立，服从相同的0-1分布，且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论即得而就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知第十二讲：极限定律与数理统计基本概念7在独立试验序列中,设事件A的概率P(A)=p，定理8二、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的标准变量的分布依概率收敛于标准正态分布，也就是说，和的分布服从正态分布。设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：设随机变量相互独立,则则和的标准变量为：2.中心极限定理变量的设定第十二讲：极限定律与数理统计基本概念8二、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很第十二讲：极限定律与数理统计基本概念第十二讲：极限定律与数理统计基本概念10

在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和拉普拉斯中心定理4.列维定理服从相同的分布，并且有数学期望和方差：则当时，(z为任意实数)设独立随机变量它们和的标准变量的极限是标准正态分布，即：第十二讲：极限定律与数理统计基本概念10在中心极限定理中，我们重点关注列维-林德伯格定理和11棣莫弗—拉普拉斯定理设在独立实验序列中,事件A

在第十二讲：极限定律与数理统计基本概念11棣莫弗—拉普拉斯定理设在独立实验序列中,事件A在第十12其中z

是任何实数，第十二讲：极限定律与数理统计基本概念12其中z是任何实数，第十二讲：极限定律与数理统计基本概念13第十二讲：极限定律与数理统计基本概念13第十二讲：极限定律与数理统计基本概念14例题12-2-1第十二讲：极限定律与数理统计基本概念14例题12-2-1第十二讲：极限定律与数理统计基本概念15第十二讲：极限定律与数理统计基本概念15第十二讲：极限定律与数理统计基本概念16例题12-2-2【数学四，3分】第十二讲：极限定律与数理统计基本概念16例题12-2-2【数学四，3分】第十二讲：极限定律与数理173.样本值（观测值）对总体X中抽取n个体，得到的n个数据称为样本的一个样本观测值.三、总体与样本1.总体：所研究对象的全体。

总体的指标是一个随机变量，总体就是指某个随机变量X

可能取值的全体.记作X.相应地，个体是组成总体的每个单元（或元素）.样本容量样本中所包含的个体的数量n.若从总体X中抽取n个个体则称为X的一个样本.2.样本：总体中的部分个体.第十二讲：极限定律与数理统计基本概念173.样本值（观测值）对总体X中抽取n个体，得到的n18简单随机样本简单随机抽样得到的样本

（1）（2）具有下述特点:

简单随机抽样（1）抽样的随机性

总体中的每一个个体都有同等的机会被抽到.（2）抽样的独立性各次抽样的结果互不影响.4.简单样本：例如从一批含有n个灯泡的产品中，不放回地取20个测定其寿命.就是一简单随机样本第十二讲：极限定律与数理统计基本概念18简单随机样本简单随机抽样得到的样本（1）（2）19随机抽样可以近似看作是简单随机抽样.[注]当总体容量N很大，而样本容量n很小时非简单教材涉及的抽样与样本均是简单随机样本。

对于简单随机样本X1，X2，…，Xn

，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为：又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率密度为若X的分布律为

第十二讲：极限定律与数理统计基本概念19随机抽样可以近似看作是简单随机抽样.[注]当总体容量N20则X1，X2，…，Xn的联合分布律为

6.数据的整理与频率直方图：采集的数据需经过组织和整理才具有价值，一般方法如下：第十二讲：极限定律与数理统计基本概念20则X1，X2，…，Xn的联合分布律为6.数据的整理与频21第十二讲：极限定律与数理统计基本概念21第十二讲：极限定律与数理统计基本概念22四、样本函数与统计量1.样本函数与统计量定义：2.常用的统计量和观测值：样本的（平）均值、方差、标准差、原点距、中心矩均是样本变量的函数，即统计量第十二讲：极限定律与数理统计基本概念22四、样本函数与统计量1.样本函数与统计量定义：2.常用的23第十二讲：极限定律与数理统计基本概念23第十二讲：极限定律与数理统计基本概念24其观测值为：

第十二讲：极限定律与数理统计基本概念24其观测值为：第十二讲：极限定律与数理统计基本概念25计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩.例12-4-1

设抽样得到样本观测值如下：19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3.解样本均值样本方差样本二阶中心矩为使计算简化，可把所得数据整理如下：当样本容量n

较大时，相同的样本观测值往往会重复出现，频数观测值第十二讲：极限定律与数理统计基本概念25计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩.例12-4-26

例12-4-2

设抽样得到100个观测值如下表：81219262114频数543210观测值计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩。解第十二讲：极限定律与数理统计基本概念26例12-4-2设抽样得到100个观测值如下表：27其概率密度:定理1正态分布

N

(0,1)，则随机变量服从自由度为k的分布.设随机变量记为相互独立，并且都服从标准1.分布:五、数理统计中的常用分布第十二讲：极限定律与数理统计基本概念27其概率密度:定理1正态分布N(0,1)，则随机28（1）可加性：若随机变量X与Y独立，且

则

1.分布的性质:（2）可查性：第十二讲：极限定律与数理统计基本概念28（1）可加性：若随机变量X与Y独立，且则1.29查表得例如：k=10，α=0.05时查表附表三

2.t分布（“学生”分布）定理2设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为

k的

t

分布，记作。第十二讲：极限定律与数理统计基本概念29查表得例如：k=10，α=0.05时查表附表三30第十二讲：极限定律与数理统计基本概念30第十二讲：极限定律与数理统计基本概念31当k=10，α=0.05时，可查得例如

3.F分布定理3设随机变量X与Y独立，则随机变量其概率密度:服从自由度为的F分布，并记作为第二自由度。其中为第一自由度；第十二讲：极限定律与数理统计基本概念31当k=10，α=0.05时，可查得例如3.32α第十二讲：极限定律与数理统计基本概念32α第十二讲：极限定律与数理统计基本概念33当=10，=15，α=0.05时，例如查表

第十二讲：极限定律与数理统计基本概念33当=10，=15，α=0.05时，例如34第十二讲：极限定律与数