2022-2023学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二(下)期中数学试

卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知f(x)=xlnx,则曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为()

A.X—y—1=0B.X—y—2—0C.x+y-1=0D.x+y-2=0

2.对于定义在R上的可导函数f(x),f'(x)为其导函数，下列说法正确的是()

A.使/'(X)=0的x一定是函数的极值点

B.f(x)在R上单调递增是r(X)>0在R上恒成立的充要条件

C.若函数/(%)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大

D.若/^(x)在R上存在极值，则它在R一定不单调

3.设1(X)是函数/(x)的导函数，y=∕'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象最有可能的

是()

4.函数/(x)=gχ3+}αM+χ一1存在两个极值点，则实数ɑ的取值范围是()

A.(-∞,-2)U(2,+∞)B.(-∞,-2]U[2,+∞)

C.(-2,2)D.[-2,2]

5.设点P在曲线y=mX-；+1上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为()

A.2B.1C.?D.*

6.定义在R上的可导函数/(x)的导函数为/'(x),满足尸(X)>∕(x),/(0)=1，则不等式

/0)<蜻的解集为()

A.(-8,6)B.(6,+8)C.(0Λ+∞)D.(-∞,0)

7.已知&=嗜/=苧,。=2，则a，b,C的大小为()

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

8.已知函数/(X)=［蔽-2一e«>°,则对于方程产⑺—好(X)+4=0.下列说法错误的

l2χ-l,x≤0

是()

A.若Q∈(一4,4),则该方程无解

B.若Q=-4,则该方程有一个实数根

C.若α∈(―2—e——4)U{4},则该方程有两个实数根

D.若αe(-8,-2-6-言］,则该方程有四个实数根

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列求导计算中，错误的有()

A.若y=∙∣sin2x,则y'=cos2xB.若y=cos;则y，=-；sin；

C.若y=∕+e2,则y，=2x+e2D.若丫=》刀-妥，则丫'=；+或

10.己知函数/(%)=XeB久GR下列结论错误的是()

A.函数f(x)不存在最大值，也不存在最小值

B.函数/(X)存在极大值和极小值

C.函数/(x)有且只有1个零点

D.函数f(x)的极小值就是f(x)的最小值

11.若将一边长为ɑ的正方形铁片的四角截去四个边长均为X的小正方形，然后做成一个方盒,

则下列说法正确的是()

A.当X=料，方盒的容积最大B.当X=热，方盒的容积最小

C.方盒容积的最大值为驾D.方盒容积的最小值为需

12.英国数学家布鲁克泰勒(Brook7αy∕or,1685.8〜1731.11)以发现泰勒公式和泰勒级数而

闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数/(©在包含与的某个开区间(α∙b)上具有S+1)

阶导数，那么对于∀x∈(α;b),有/(%)=隼4+-X0)+乙祟(X-XO)2+…+

牛…尸+…,若取”0,则f(χ)=*+华χ+华/+..•+晔”+…，

v

n∖υyyvy0!1!2!n∖

此时称该式为函数/(x)在X=0处的n阶泰勒公式.如靖=l+x+^+1+t+…+5+

LΛ«ɔ∙I•"•

v31γ∙5γl-v2τι^^^ɪ

∙∙∙smx=x--+---+∙∙∙+(-ir÷^rŋ+-

由此可以判断下列各式正确的是()

A.eix=Cosx+isin久(i是虚数单位)B.eix=—i(i是虚数单位)

C.2x≥l+x'n2+^"(x≥0)D.cosx≤l-y+^(x∈(0,1))

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数f(%)=5InX的单调递增区间为.

14.已知f(x)=(X-。)2姬在(一LI)上单调递减，则实数α的值为.

15.若函数f(X)=x3-3x在(α,10+2a?)上有最小值，则实数α的取值范围是.

16.定义：若直线I与函数y=∕(x),y=g。)的图象都相切，则称直线I为函数y=/Q)和

y-g(x)的公切线.若函数/^(x)=alnx(a>0)和g(x)=/有且仅有一条公切线,则实数ɑ的值

为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设函数/(x)=xsinx+cosx+x2+1.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)当Xe[-，扪时，求f(χ)的最值.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=αx—(2α+l)1nx—彳a&R.

(I)若函数〃x)在X=I处取得极值，求ɑ的值.

(2)讨论函数/(x)的单调区间.

19.(本小题12.0分)

已知函数/^(x)=X3-X2-∣∕,(-l)χ-其中f'(x)是/(x)的导函数.

⑴求「(-1)；

(2)求过原点与曲线y=/(x)相切的切线方程.

20.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=X2+axlnx[a∈/?).

(1)若/Q)在区间(1,+8)上单调递增，求Q的取值范围；

(2)若Q=1,证明：/(x)≥X-e~x.

21.(本小题12.0分)

已知Q∈R,函数/(%)=?+伍%,g(%)=ax-Inx-2.

(I)当/(%)与g(%)都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a的值;

(2)当Q=1时，若f(%ι)=/(%2)=b(xl≠X2)»求证：X1+x2>2

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=klnx+ɪ(/e∈/?).

(1)若函数y=f(%)在(2,3)上不单调，求Zc的取值范围；

(2)已知0<x1<x2∙

(i)证明：⅛-⅛>-ln^>1-⅛

(ii)若苗=影=鼠证明：∣‰)-‰)∣<1∙

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由/(x)=xlnx,得/'(X)=Inx+1,

∙∙∙f'(l)=∕nl+1=1,又/"(1)=0,

二曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=x-l,即X-y-1=0.

故选：A.

求出原函数的导函数，得到函数在X=I处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础

题.

2.【答案】D

【解析】解：对于A：/'(X)=0的X不一定是函数的极值点，

比如：/(x)=x3,∕,(X)=3X2,f'(0)=0,f(x)在R上单调递增，

但X=0不是f(X)=/的极值点，故A错误；

对于B：/(x)在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0,

比如f(X)=/为单调递增函数，f(χ)=/在X=0处导函数值为0,

故/Q)在R上单调递增不是f'(x)>0在R上恒成立的充要条件，故B错误；

对于C：若函数/(x)既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，

比如/(x)=x+3在久=-1处取得极大值-2,在X=I处取得极小值2,极小值大于极大值，故

C错误；

对于D：根据极值点和极值的定义可以判断，若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调，故

。正确.

故选：D.

ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义判断，即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于中档题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数的导数与函数的图象的关系，判断函数的单调性以及函数的极值点是解题的关键，

属于基础题.

利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即

可.

【解答】

解：由题意可知：当X<0,或%>2时，∕,(x)>0,

则函数在(一8,0),(2,+8)上是增函数；

%∈(0,2)时,f'(x)<0,所以函数在(0,2)是减函数，

所以X=0是函数的极大值点，%=2是函数的极小值点，

所以函数的图象只能是C.

故选C.

4.【答案】A

【解析】解：由题意得尸(X)=X2+ax+1,

•••函数/(X)存在两个极值点，即其导函数/'(X)有两个变号零点，

.∙.4=α2-4>0,解得a>2或a<-2,

实数a的取值范围是(一％-2)U(2,+∞).

故选：A.

根据/(x)存在两个极值点，可得其导函数广(约有两个变号零点，结合二次函数的性质，可得4=

a2-4>0,即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：函数y=)X-工+1的导数为y=[+3

由;+玄=2,得X=I或X=-X舍).

把X=1代入y=Inx—ɪ+1,得y=0,

即当P的坐标为(Lo)时，IPQl最小,

此时为P到直线2x-y=O的距离d=g=经.

故选：D.

求函数的导数，根据导数的几何意义求出切点坐标，利用平移切线法及点到直线的距离公式即可

得到结论.

本题主要考查两点之间的距离的求解，根据切线的几何意义求出对应的切点是解决本题的关键，

是中档题.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本

题的关键，属于中档题.

构造函数g(x)=33,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.

【解答】

解：构造函数g(x)=肾，

贝婕)=稣警="丝

V∕,(x)>/(x),Λ√(x)>0,

即g(x)在R上单调递增，

∙∙"(0)=l,∙∙∙g(0)=竿=1,

则不等式/O)<e*,等价为g(x)=肾<1，

即g(x)<9(0)，

则X<0,

即不等式的解集为(一叫0),

故选：D.

7.【答案】。

【解析】解：令/(X)=要，∕,(x)=¾≡.

令/'(X)>0,可得0<xVe,令/'(X)V0,可得%>e,

所以f(X)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

因为α=亨=苧=警=/(4)，b=噂=/(3),c=∕=f(e),

由e<3<4,所以<(e)>f(3)>/(4),

即C>b>Q.

故选：D.

令f(x)=*利用导数判断函数的单调性，从而可比较α,b,C的大小•

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题.

8.【答案】C

作出函数/■(%)的图象如图.

设t=/(尤)，

则方程等价为产一at+4=0,

当a6(—2—e——4)时，方程a=t+；,有两个实根tɪ,t2，设tɪ<£2,

4

则一2—e<t<—2,—2<t<.X»

12一(4十

则f(x)=tι,没有实根，/(x)=t2＞有2个或3个实根，故C错误.

。.当αe(--8,2—e—Ag,方程α=t+/,有两个实根t3,Q,设t3<t4,

4

则t3≤-2一e,-l<Ξ^j≤t4<O,

则/(x)=t3,有一个实根，/(x)=t4>有3个实根，故D正确.

故选：C.

当》>O时,求函数的导数,研究函数的单调性和极值,作出函数/'(X)的图象,利用换元法设t=f(x),

则方程专业为关于t的一元二次方程t2-at+4=0,根据条件判断方程根的范围，分别进行判断

即可.

本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数图象，利

用换元法转化为一元二次方程，利用一元二次方程根的分布进行求解是解决本题的关键，是中档

题.

9.【答案】BCD

【解析】解：A.y,=ɪ∙2cos2x=cos2x,A正确；

B.y'=—ɪ"(―sinɪ)=ʒ^sinɪ,B错误；

C.y'=2x,C错误；

D∙y'W一手4+5。错误•

故选：BCD.

根据基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式求导即可.

本题考查了基本初等函数、商的导数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：∕,(x)=ex+xex=(x+l)ex,

易知当X6(-8,—1)时，∕,(%)<0,∕^(x)单调递减，

当κ∈(-1,+8)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

且当X<0时，/(x)<0,x>0时，/(x)>0,

作出函数图象如下图所示，

由图象可知，f(x)存在最小值/(-1)=-e-ι,不存在最大值，选项A错误；

“X)存在极小值，不存在极大值，选项8错误；

f(x)有且仅有一个零点，即X=0,选项C正确；

函数/(%)的极小值就是/Q)的最小值，选项。正确.

故选：AB.

利用导数研究函数/(乃的单调性，作出图象，然后根据极值，最值，零点的定义逐项判断即可.

本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是基础题.

11.【答案】AC

【解析】解：方盒的容积为U(X)=(α-2x)2x(0<X<今，

V,(x)=—4(Q—2x)x+(α-2x)2=(Q-2x)(a—6x)=(2x—α)(6x—a),

令片(X)=0,得％=*或X=

当0<x<利，,(%)>0,函数单调递增，当,<x<1时,K,(x)<0,函数单调递减,

∙∙∙V(X)max=U(∣)=符，故AC正确,BD错误.

故选：AC.

根据题意表示出方盒的体积U(X)并求出X范围，利用导数研究KX)的单调性，根据单调性即可得

出正确选项.

本题考查函数模型的应用，导数的应用，属于中档题.

12.【答案】AC

.23

【解析】解：对于4由e*,cosx,sin%的泰勒展开知e汉=1+比+写-+写-+…=1+以一

2

Xiχ3χ4ιχ5

2!3!4!5!

=1-ɪj-+ɪj--------Fixɪ+----------1一会+为----1-i(x—+-----)=Cosx+isinx^A正

确；

对于B,eiπ=cosπ=—1,8错误；

2

对于C,Q2xy=2xln2,所以其泰勒展开为>=l+χ,∏2+喈-+…，

当X≥O,2X≥1+X∕n2+^L,当且仅当久=0,等号成立，C正确；

I.、t,γ246824682

对于。，当一上+土r一土γ+≡r-----γyγr上r+

OV%V1,COSX=12!4!6!8!=l-±2!+±4!+(l--6!+≡-8-!------))V1-2!

当且仅当％=0,等号成立，由于0<x<l,所以等号取不到，C错误.

4!

故选：AC.

根据泰勒公式对各选项进行展开分析计算即可.

本题主要考查函数的泰勒公式展开，属中档题.

13.【答案】(0急

,=6x

【解析】解：∕(x)—~2~~yf(X>0),

令(⑶>0得:0<x<∣,

所以F(X)单调递增区间为(Ot).

故答案为：(0,|).

由导数与单调性的关系求解.

本题考查函数的单调性，解题关键是求导分析符号，属于中档题.

14.【答案】1

【解析】解：已知/(x)=(X-α)2eL函数定义域为R,

可得/'(X)=2(X—a)ex+(x—a)2ex=(X-α)(x—ɑ+2)ex,

因为f。)在(一1,1)上单调递减，

所以1(X)<0在(-1,1)上恒成立，

因为靖>O在区间(一1,1)上恒成立，

所以(x-Q)(%—Q+2)≤0,

解得Q-2≤X≤Q,

因为｛C1，

lα-2≤—1

解得a=1,

故答案为：1.

由题意，对函数/(x)进行求导，将函数单调递减转化成/∙'(x)≤0在(-1,1)上恒成立，列出等式即

可求出实数a的值.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

15.【答案】［一2,1)

【解析】解：/(x)=X3-3x,∕,(x)=3/-3,取((X)=3/-3=O得到X=±1,

当XC(-8,-1)时，f(%)>0,函数单调递增；

当X∈(一1,1)时，∕,(%)<0,函数单调递减；

当X∈(l,+8)时，f(X)>0,函数单调递增；

f(l)=-2,¾∕(x)=X3-3x=-2,则X=-2或X=1,

函数f(x)=/—3%在(a,10+2a2)上有最小值，则<ɪ<10+2a∖

解得—2≤aV1,即aE［-2,1).

故答案为：［—2,1).

求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算∕∙(l)=-2,得到卜<1：1°+2。2,解得答案.

本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】2e

【解析】解：设直线，与y=/(x)切于(m,a/nni),与y=g(x)切于(n,n?),

∙∙∙f'(χ)=Pg'(χ)=2χ,

xalnm2

・••/(%)与g(%)切线方程分别为y=-+-a9y=2nx-n,

由题意得［m—2葭,则Q=4m2—4m2Inm.

Valnm—a=-n2

令/i(nɪ)=4m2—4m2lnm,m>O,

则九'(m)=8m—Bm∙Inm-4m=4m(l—2∕nm),

当m∈(0,√^^)时,hf(m)>O,九(Tn)单调递增，

当?n∈(√"?,+8)时，∕ι,(m)<O,∕ιOn)单调递减.

∙∙∙h(m)max=∕ι(√^e)=2e.

又当mτO时，h(m)→0,当?n->+8时，∕ι(m)→—∞,且已知α>0,

・•・若函数f(x)=alnx(a>0)和g(x)=/有且仅有一条公切线，则实数0的值为2e∙

故答案为：2e.

设直线E与y=/(%)切于On,α"m),与y=g(x)切于(几,几2),利用导数求出过切点的切线方程，再

2222

由斜率相等及切线在y轴上的截距相等列式，可得Q=4m-4mInmf令∕ιOn)=4m-4mInm,

m>0,再由导数求最值，即可求得实数Q的值.

本题考查导数的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1),・,f(%)=xsinx+Cosx+x2+1,

••・1(X)=sinx+xcosx—sinx÷2x=x(2+CoSX),

•・./'(%)只有唯一零点0，

・•・当%>O时，∕,(x)>0,当XVO时，/'(%)<0,

・・•/(%)的递减区间是(一8,0),递增区间是(0,+8).

(2)由(1)得/(%)在［一?0)递减，在(0,扪递增，

・••/Wmin=/(O)=2,

fMmax=max(/(-2,/(ττ)}=max(≡+?+1，π2}=π2.

【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可.

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是中档题.

18.【答案】解：⑴函数f(%)的定义域为(0,+8),

Qf、2cz÷l2ax2-(2a+l)x+2(ax-l)(x-2)

f(x)=a--1+返=------------=-√-'

因为/(x)在X=1处取得极值，

所以((1)=0,

解得Q=1,

当α=1时，∕,(x)=(X-?尸)，

令/(X)=O得X=1或2,

所以在(0,1)上，∕,(x)>0,f(x)单调递增，

在(1,2)上，f'(x)<0,f(x)单调递减，

在(2,+8)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,

所以f(x)在X=1处取得极大值，符合题意.

(2)函数/(x)的定义域为(0,+8),

a，、2α+l2αxz-(2α+l)x+2

f(x)=a-—+1厘=----—，

当α=0时，∕,(x)=

令/'(X)=得X=2,

所以在(0,2)上((乃>0,/(%)单调递增，

在(2,+8)上(。)vθ,f(%)单调递减，

当α≠0时，令/'(%)=0,得％=2或%=ɪ,

若”O则在(0,2)上/(%)V0,f(%)单调递减,

在(2,+8)上/(X)>0,/0)单调递增，

若0VLV2,即Q>［时，

a2

在(0,》上，∕,(x)>0,f(x)单调递增，

在&,2)上，f'(x)<O,f(x)单调递减，

在(2,+8)上，∕,(χ)>0,/(%)单调递增，

若;>2,即OVQVg时，

在(0,2)上，f,(x)>0,/(%)单调递增,

在(2,》上，∕,(x)<0,f(x)单调递减，

在(；,+8)上，∕,(χ)>0,/(X)单调递增，

若;=2,即α=£时，

在(0,+8)上，f,(x)≥0,f(x)单调递增，

综上所述，当a=0时，〃>)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减,

当α<0时，/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

当ɑ>±时，f(x)在(0,》，(2,+8)上单调递增，在弓,2)上单调递减，

当O<α<M寸，/(x)在(0,2),+8)上单调递增，在(2,；)上单调递减，

当a=2时，f(x)在(0,+8)上单调递增.

【解析】(1)求导得/'(X)=3-30-2)，由/(%)在％=1处取得极值得/'(I)=0,解得a，再检验

此时，/(x)是否在X=1处取得极值，即可得出答案.

(2)求导得/⑶=a∕-(2aJI)X+2,分四种情况：当。=。0寸，当a<0时，当a>；时，当0<a<;

时，当a=*j,分析八X)的符号，的单调性，即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)•；函数/(X)=χ3-χ2-∣∕,jDχ,其中「(X)是/(X)的导函数，

∕,(x)=3x2-2x-∣∕,(-l),

.∙.f(-l)=3-2×(-l)-∣∏-l),

解得f'(T)=3；

(2)由⑴得:/(x)=X3—X2—2x,∕,(x)=3X2—2x—2,

设切点为：(XOJ(XO))，则切线的斜率，=/'(&)=3就一2&-2,

二切线方程为：y-/(x0)=/'(XO)(X-a)，

(0,0)代入上式可得f(&)=f(x0)∙⅞-

BPXQ-XQ-2X0=(3XQ-2X0-2)∙X0,

整理得：xθ(2x0-1)=0,可得Xo=O或XO=

・・..(&)=_2或/(%0)=_3，

故切线方程为：、=一2%或)7=-3％.

【解析】(1)求出导函数，再令X=-I即可求解结论；

(2)设切点为：(XoJQo)),求出切线的斜率，表示出切线方程，把(0,0)代入切线方程，求出沏，

进而求解结论.

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题.

20.【答案】解：(1)若/(x)在区间(1,+8)上单调递增，则((X)=2x+αhιx+α≥0在(1,+8)上

恒成立，

即α≥-盖WE(I,+8)上恒成立，令∕ι(χ)=∈(l,+∞),

ɪIJLILllΛ

所以∕l'(X)=_2(1+—)-产=一2ln^≤0在(1,+8)上恒成立，

(l+∕nx)(1+Znx)

所以九(%)在(1,+8)上单调递减，

所以∕ι(x)<A(I)=—2,所以ɑ≥—2»即a的取值范围为［—2,+8).

2

(2)证明：当Q=I时，/(x)=X+xlnχf要证f(%)≥%—即证/+工①%≥%—ei”,

印证式+Inx+ɪ—1≥0,即ln(%e")÷-ʌ-—1≥0,令XeX=3t>0,即证仇t÷ɪ—1≥0,

令g(t)=Znt+ɪ-1,t∈(0,+∞),所以O=；-表=詈，

令g'(t)=O,解得t=l,当0<t<l时，所以g'(t)<O,所以g(t)在(0,1)上单调递减，

当t>l时，g'(t)>O,所以g(t)在(1,+8)上单调递增，所以当t=l时，g(t)取得极小值即最小

值，

所以g(t)≥g(l)=0，B∣∏nt+ɪ-1>0,所以f(X)≥χ-e-*.

【解析】(1)因为f(x)为(1,+8)上的单调递增函数，故r(x)≥0恒成立，参变分离后可求得参数ɑ

的取值范围；

(2)由/(x)≥%-e—知需证明In(Xe*)+*-1≥0,换元，对函数求导，研究函数的最值即可.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑

推理能力，属于中档题.

21.【答案】解：已知/O)=?+)X,函数定义域为(0,+8),

可得f'(x)=_/+：=等，

当α≤0时，f(%)>0,/(无)单调递增，无极值，不符合题意；

当α>0时，

当0<X<α时，∕,(x)<0,f(x)单调递减;

当x>α时，/'(X)>0,/(x)单调递增，

所以函数/(x)在％=Q处取得极小值，极小值f(α)=1+Ina；

已知g(x)=ax-Inx-2,函数定义域为(0,+8),

可得g(x)=a-；,

当Q≤0时，g’(x)<0,g(x)单调递减，无极值，不符合题意;

当Q>。时，

当0v%v，时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当%>，时，g'(%)>0,g(%)单调递增，

所以函数g(x)在X=，处取得极小值，极小值g(,)=-1+Ina,

若/(%)与g(%)都存在极小值，且极小值之和为0，

此时1+Ina-1+Ina=0,

解得Q=1;

(2)证明：当Q=I时，/(x)=ɪ÷Inx,

若/01)=/(&)=b,

ɪ+Inx=b

Bpk11,

——FInx=b

S2

1

两式相减得学子=Inx2-Inx1,

即(仇工2一"XI)XlX2_ɪ

、×2~×1一，

要证%ι+X2>2,

即证X]+3>20吟TnXDX叱

*2ɪl

不妨设A⅛>¾>0»

要证蛰W>2,n包，

XlX2M

需证式一言>2)?

xlx2xI

令t=孑,t>1>

xI

即证t—ɪ>2lntf

不妨设h(t)=2仇七一£+；,函数定义域为(1,+8),

可得力，©=：—==一噌<0，

所以函数奴t)在定义域上单调递减，

又九(1)=0,

所以∕ι(t)<0在定义域上恒成立，

则t—；>2lτιt»

故%ι+X2>2.

【解析】(1)由题意，对函数/(x)和g(x)求导，分别讨论α≤0和a>0这两种情况，结合导数的几

何意义得到函数/(X)和g(%)的单调性极值，进而即可得到答案；

(2)将α=1代入函数/(x)的解析式中，若/(xι)=/(x2)=b,列出等式可得四写竺因强=1,要

x2xI

证与+亚>2，即证Xi+X2>也气甯泊,设小>Xi>O，将问题转化成求证券一言>2伍言，

利用换元法，令t=藁，t>l,构造函数W)=2伉"t+1,对∕ι(t)进行求导，利用导数得到∕ι(t)

的单调性和最值，进而即可求证.

本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力.

22.【答案】解：⑴己知f(x)=k仇x+2(k6R),函数定义域为(0,+8),

可得/'(%)=：_'，

若函数y=/(%)在(2,3)上不单调，

则1(X)=O在(2,3)上有变号的实数根，

即k=盘在(2,3)上有变号的实数根，

不妨设g(χ)=卷，函数定义域为(0,+8),

可得g'(χ)=⅛ξ>

当2<%V3时，g'(x)<O,g(%)单调递减，

又g(2)=⅛-g⑶=⅜>

所以或<k<捻，

则k的取值范围为©,分

(2)(团)证明:因为7(%)=皆,

当O<xVl时，g,(χ)y>O,g(%)单调递增;

当%>1时，g,(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(χ)≤g(l)=；，

即工≥4-

当k=⅛∙,f(χ)=^-l=l(i-≡)≥0,

eJ、'XexXeex

所以/(X)=号+2在定义域上单调递增，

已知0Vɪɪ<%2,

则f(%2)>f(∕)