1.2第2课时直线的斜率与倾斜角方向向量的关系课件-高二上学期数学北师大版选择性

1.2第2课时新授课直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系1.理解直线斜率与倾斜角的关系.2.理解直线斜率与方向向量的关系.知识点1：倾斜角、斜率的范围问题2：如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？问题1：直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？k∈(－∞,＋∞)，α∈[0,π).而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有即k＝tanα.αα如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当α=

时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大.归纳总结1.直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tanα(其中

).2.斜率k与倾斜角α有如下关系：当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大.当α＝

时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.例1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k.（1）若0≤α≤

，求斜率k的取值范围；（2）若

≤α≤

，求斜率k的取值范围；解:（1）由

及正切函数的性质，可得∴斜率k的取值范围是当

时，综上，斜率k的取值范围是{k|k≤-1或k≥1}.（2）由正切函数的性质，可得当

时，当

时，斜率k不存在.解:（3）由

，可得又0≤α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是例1:已知直线l的倾斜角为α，斜率为k.（3）若

≤k≤

，求倾斜角α的取值范围；（4）若-1≤k≤

，求倾斜角α的取值范围.（4）由

，可得又0<α<π，∴由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤

或

≤α<π}.例2:已知直线l1的倾斜角α=30°，且l2⊥l1，求直线l1和l2的斜率.解：依题意画图，由于直线山的倾斜角α=30°，于是，直线l1的斜率k1=tan30°=

，直线l2的斜率k2=tan120°=

.且l2⊥l1，则直线l2的倾斜角β=120°.思考1：什么是直线的方向向量？如何求？知识点2：直线斜率与方向向量的关系直线上的向量及与之平行的非零向量称为直线的方向向量，思考2：直线的斜率与方向向量有何关系？当x1＝x2时，

＝(0，y2－y1)是垂直于x轴的直线的方向向量.则

＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.如果P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点，归纳总结1.在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量

是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量

之间的关系是2.若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝

例3:已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.解:设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v=(x2－x1,y2－y1)．即y2－y1＝2(x2－x1).所以v=(x2－x1,y2－y1)=(x2－x1)(1,2).因此，(1,2)是直线l的一个方向向量的坐标.由经过两点的直线斜率的计算公式，可得解:设直线l的倾斜角为α．例4:根据下列条件，求直线l的倾斜角：(1)斜率为;(2)经过A(－2，0)，B(－5,3)两点；(3)一个方向向量为(1)∵直线l的斜率为

，∴tanα=又∵0≤α<π,∴(2)由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜