苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题05旋转之线段问题(原卷版+解析)

专题05旋转之线段问题【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是_______；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：___________．【详解】（1）如图，△AP1B为所作；连接PP1，△AP1P为等边三角形理由如下：∵△APC绕点A顺时针旋转60°后得△AP1B，∴AP1=AP，∠PAP1=60°，∴△AP1P为等边三角形；（2）∵△AP1P为等边三角形；∴PP1=AP=3，又根据旋转的性质得BP1=PC=5，PP12+PB2=32+42=25，BP12=CP2=52=25，∴PP12+PB2=BP12∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1=90°；（3）∵△APP1为等边三角形，∴∠APP1=60°，而∠BPP1=90°；∴∠APB=90°+60°=150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离．2．（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，，求证：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．6．在等边中，于点F，点A为直线DF上一动点，以点B为旋转中心，把BA顺时针旋转60°至BE．(1)如图1，点A在线段DF上，连接CE，求证：；(2)如图2，点A在线段FD的延长线上，请在图中画出BE并连接CE，当时，连接AC，求出的度数；(3)在点A的运动过程中，若，求EF的最小值7．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．8．如图所示，正方形中，点、、分别是边、、的中点，连接，．（1）如图1，直接写出与的关系______；（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段，连接．①求证：≌；②直接写出、、三者之间的关系；9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：

（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；

（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．

10．[方法探索]如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接．接着写下去：11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点在等边外，且，，若，求度数．②如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；

③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．13．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是___________；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：___________．专题05旋转之线段问题【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出绕点顺时旋转60°后的，并判断的形状是_______；(2)试判断的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：___________．【详解】（1）如图，△AP1B为所作；连接PP1，△AP1P为等边三角形理由如下：∵△APC绕点A顺时针旋转60°后得△AP1B，∴AP1=AP，∠PAP1=60°，∴△AP1P为等边三角形；（2）∵△AP1P为等边三角形；∴PP1=AP=3，又根据旋转的性质得BP1=PC=5，PP12+PB2=32+42=25，BP12=CP2=52=25，∴PP12+PB2=BP12∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1=90°；（3）∵△APP1为等边三角形，∴∠APP1=60°，而∠BPP1=90°；∴∠APB=90°+60°=150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论；（2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【详解】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，∴△APP'是等边三角形，∴PP'=PA，∵PC=P'C，∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，∴AC=10，BC=，如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'=PB，∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，∴∠ABC'=90°，由勾股定理得：∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．（1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，，求证：小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，，那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，结合（1）中证明方法进行证明即可．【详解】证明：（1）∵，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵，∴，即点F、D、G共线，∴，，，即．∵，∴∴．∴，即（2）．理由：如图2所示．∵，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∵∴点C、D、G在一条直线上．∴，，．∵∴．∵∴∴．∴∴∵∴．【点睛】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；【类比应用】(3)如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．【答案】(1)等边三角形(2)(3)【分析】（1）由旋转的性质得出BD＝DB′，∠BDB′＝60°，所以△BDB′是等边三角形；（2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB′的面积即可；（3）将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，则△BDM≌△CDP，得出MD＝PD，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，证明△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝4．【详解】（1）解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∴△BDB′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）解：由（1）知，△BCD≌△B′AD，∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积，∵BC＝AB′＝1，∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质得到AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝90°，证明∠AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质证明；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证明△EAF≌△EAM，根据全等三角形的性质证明；(1)延长FD到点G使DG=BE，连接AG．如图（1），在正方形ABCD中，AB=AD，在和中，≌(SAS)

在和中，≌(2)理由如下：如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，在和中，≌在和中，≌【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见解析【分析】对于（1），先将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根据“SAS”证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．（1）EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠EAF=∠EAH=45°．∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE，∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF；（2）由（1），得△FAE≌△HAE，AG，AB分别是△FAE和△HAE的高，∴AG=AB=AD=8．在Rt△AEG和Rt△ABE中，，∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），∴EG=BE，同理GF=DF，∴△EFG的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点睛】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．6．在等边中，于点F，点A为直线DF上一动点，以点B为旋转中心，把BA顺时针旋转60°至BE．(1)如图1，点A在线段DF上，连接CE，求证：；(2)如图2，点A在线段FD的延长线上，请在图中画出BE并连接CE，当时，连接AC，求出的度数；(3)在点A的运动过程中，若，求EF的最小值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由旋转的性质、等边三角形的性质找到条件，证明，即可得到结论；（2）由（1）可知，，得到，，又是等边三角形，得到，，由，，，，得，∠CDA＝150°，，，，∠DEC＝∠EDC，，，，，即可求得的度数；（3）由图1可知，当点A在线段DF上时，；由图3可知，当点A在线段FD的延长线上时，；由图4可知，当点A在线段DF的延长线上时，；综上所述，当点A在直线DF上运动时，直线CE与直线BC的夹角始终为30°，即点E的运动轨迹为一条直线，过点F作于点，则当点E运动到点时，此时EF的长度最短，进一步求得的值．（1）解：由旋转得，，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，在与中，，∴（SAS），∴．（2）解：如图3，由（1）可知，，∴，，又∵是等边三角形，∴，，∵，∴△BCD是等腰三角形，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴．（3）解：∵由图1可知，当点A在线段DF上时，；由图3可知，当点A在线段FD的延长线上时，；由图4可知，当点A在线段DF的延长线上时，；∴综上所述，当点A在直线DF上运动时，直线CE与直线BC的夹角始终为30°，即点E的运动轨迹为一条直线，过点F作于点，则当点E运动到点时，此时EF的长度最短，∵，，∴，又∵，，∴，∴的最小值为．【点睛】此考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和、等腰三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决问题的关键．7．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【详解】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．8．如图所示，正方形中，点、、分别是边、、的中点，连接，．（1）如图1，直接写出与的关系______；（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段，连接．①求证：≌；②直接写出、、三者之间的关系；【答案】（1），；（2）①见解析；②【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°，由“SAS”可证△AEF≌△BFG，可得EF＝FG，由等腰直角三角形的性质可得∠AFE＝∠BFG＝45°，可证EF⊥FG；（2）①由旋转的性质可得PF＝FH，∠PFH＝∠EFG＝90°，由“SAS”可证△HFE≌△PFG；②由全等三角形的性质可得EH＝PG，由等腰直角三角形的性质可得BG＝EF，可得结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°，∵点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，∴AE＝AF＝BF＝BG，∴△AEF≌△BFG（SAS），∴EF＝FG，∵AE＝AF＝BF＝BG，∠A＝∠B＝90°，∴∠AFE＝∠BFG＝45°，∴∠EFG＝90°，∴EF⊥FG，故填：，；（2）①证明：由（1）得：，，∵将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段，∴，，∵，，∴，又∵，∴≌（SAS）；②解：，理由如下：∵≌，∴，∵，，∴，∴，∵，∴【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明△HFE≌△PFG是解题的关键．9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：

（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；

（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．

【答案】（1）CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析．【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【详解】（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴CD=BE；（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS）．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°．∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．[方法探索]如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接．接着写下去：11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点在等边外，且，，若，求度数．②如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长．【答案】10．PB=

11．=90°；=【分析】（1）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，根据勾股定理即可求出BP．（2）①把绕着点逆时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是等边，△BPC是直角三角形，则可得到=90°．②将△APC绕点A逆时针旋转90°得到△，连接，过B点做BM垂直于AP于M点，易证明△PBM是等腰直角三角形，△是直角三角形，用勾股定理即可求出PC．10．由△APC旋转60°得到AP==2，PC==4，∠=60°△为等边三角形AP===2，=60°=90°在Rt△中，由勾股定理可得：BP===11．把绕着点B顺时针旋转得到，连接由△APB逆时针旋转60°得到AP==3，PB==3，∠=60°，△为等边三角形,∴=PB=3=120°，∠=60°∠=180°，即三点共线．PC=+=6在△PBC中，PC=6，PB=3，BC=△PBC是直角三角形，故=90°．将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△，连接，过B点做BM垂直于AP于M点，BM⊥AP，PB=2PM=BM=AB=在Rt△AMB中，AM=AP=PM+AM=△由△APC旋转90°所得AP==，∠=90°，∠=45°在Rt△中，=∠=45°，=90°在Rt△中，PC==【点睛】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；

③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解．【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可；②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC=∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可；③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可．（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可．【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE；证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，