17.1 勾股定理 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系情境引入海口市海秀路受台风的影响，一棵树在离地面3米处被人为砍伐，树的顶部落在离树跟底部4米处，这棵树折断前有多高？如下图所示：3米4米CBA图1-1探究RQPACB（1）正方形P的面积是

平方厘米。（2）正方形Q的面积是

平方厘米。（3）正方形R的面积是

平方厘米。图1-2112QPR图3QPR图4把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。S正方形RQPR图1-3QPR图1-4把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。探究P的面积(单位长度)Q的面积(单位长度)R的面积(单位长度)图2图3P、Q、R面积关系直角三角形三边关系QPR图2QPR图3ABCABC(每一小方格表示1平方厘米)991625413AC2+BC2=AB2SP+SQ=SR根据上面的探究，你能得出什么结论？在直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方结论2动手操作

在右图(学案)的方格图中，用三角尺化出两条直角边分别为3cm、4cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得到的直角三角形三边的关系是否成立。(每一小格代表１平方厘米)345总结

勾股定理：abc勾股弦即：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的故事

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”即我们常说的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。拓展

《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。1、请求说出下列直角三角形三边之间的关系并未知边的长度。试一试：34x(1)10x6(2)x1213(3)解：由勾股定理得：x2=100-36x2=64,x=±8

x2=102-62∴x=8x2+122=132x2=132-122x2=169-144x2=25,x=±5∴x=5∵x>0，（-8舍去）∵x>0，（-5舍去）x2=9+16x2=25x2=32+42∴x=5x=±5∵x>0，（-5舍去）

62+x2=

102(1)(2)(3)例1：如图所示，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC的长为6cm，求AC的长.例题巩固ABC

受台风影响，一棵树在离地面3米处被人为砍掉，树的顶部落在离树跟底部4米处，这棵树折断前有多高？如下图所示：求解过程：3米4米CBA例题巩固想一想思考下列问题：（1）运用勾股定理的条件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？

（3）勾股定理有什么用途？（4）如果一个直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边长为5cm.你以求出另一条直角边的长吗？请说说你的做法。（在直角三角形中）（三边之间）(已知两边求第三条边)（运用勾股定理）小结acb如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理1.勾股定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的________.

2.勾股定理能解决________三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用.

3.勾股定理把直角三角形中的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范.平方

直角

自主导学勾股定理的简单应用

【例1】如图，一条小船从点A处出发，欲到达河对岸的点B处，但由于水流的影响，小船实际靠岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，如果小船在水中实际航行了520m，那么河的宽度AB为多少米?分析：因为AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，根据勾股定理，直角三角形已知两边可求第三边.探究学习

1.有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的最高点飞到另一棵树的最高点，至少要飞________m.

10跟踪训练利用勾股定理求最短距离问题

【例2】如图，正方体的棱长为3，一只蚂蚁在正方体表面爬行，它从点A爬到点B的最短路程是多少?分析：将正方体沿棱剪开得到展开图，从点A到点B最少要穿过两个正方形，连接AB，即为最短距离，利用勾股定理求斜边长度.

技巧点拨：正方体的六个面是相同的，所以无论蚂蚁走哪两个面，最短路程都是一样的.但如果是长方体就需要进行分类讨论，比较后确定最短路程.2.如图，一个长方体的长、宽、高分别为2，1，4，如果一只蚂蚁所处的位置是顶点A，那么它沿长方体表面从点A爬到点B的最短路程是多少?

跟踪训练1.放学以后，萍萍和晓晓从学校门口分开，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40m/min，萍萍用15min到家，晓晓用20min到家，则萍萍家和晓晓家的距离为(

).A.600mB.800mC.1000mD.不能确定C提升训练

C3.小强量得家里新购置的液晶电视屏幕的长为93cm，宽为52cm，这台液晶电视的尺寸(屏幕的对角线长度为电视机的尺寸)最有可能是(

).A.32英寸(约81cm)B.50英寸(127cm)C.42英寸(约107cm)D.60英寸(约152cm)C4.(跨学科情境)如图，一个由传感器A控制的灯，装在门上方离地面高度为4.5m的墙上，任何物体只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.一名身高为1.5m的学生走到离墙(

)远的地方灯刚好发光.A.4mB.3mC.5mD.7mA

D

D7.如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.证明：连接BM，因为MP⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形.所以BP2+MP2=BM2，AP2+MP2=AM2.同理可得BC2+CM2=BM2.所以BP2+MP2=BC2+CM2.又因为AM=CM，所以CM2=AM2=AP2+MP2.所以BP2+MP2=BC2+AP2+MP2，即BP2=BC2+AP2.8.如图，长方体的长为3cm，宽为1cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B(B为棱的中点)，那么所用细线最短是多少厘米?

9.(河北省)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从点P出发向北走6km也到达l，下列说法错误的是(

).A.从点P出发，向北偏西45°走3km到达lB.公路l的走向是南偏西45°C.公路l的走向是北偏东45°D.从点P出发，先向北走3km，再向西走3km到达lA10.如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m