26.1.1 反比例函数 课件 2023-2024学年人教版数学九年级下

26.1.1反比例函数思考之前我们已经学习了函数，如：一次函数、二次函数，那么你能说说函数的概念吗？新课引入一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.思考(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间

t(单位：h)的变化而变化；

路程一定时，两个变量t与v成反比例关系，变量v随着变量t的变大而变小而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应，所以v与t间具有函数关系，解析式为(t＞0)新知学习变量间成什么比例关系？具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式.(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2

的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；面积一定时，两个变量y与x成反比例关系，变量y随着变量x的变大而变小而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y与x间具有函数关系，解析式为(x＞0)变量间成什么比例关系？具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式.(3)已知北京市的总面积为1.68×104km2

，人均占有面积S(km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.面积一定时，两个变量n与S成反比例关系，变量S随着变量n的变大而变小而且对于n的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与其对应，所以S与n间具有函数关系，解析式为(n＞0)一般地，形如y＝

(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．y的取值范围也是不等于0的一切实数.思考

下列解析式有什么特点？新知学习1.两个变量具有反比例关系2.两个变量具有函数关系注意反比例函数的定义(k为常数，k≠0)自变量x的取值范围是什么？为什么？因为x作为分母，不能等于零，所以自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.例1下列哪些关系式中的

y是

x

的反比例函数？(k为常数)一次函数y=3x一次函数反比例函数反比例函数k可能为0不是反比例函数反比例函数反比例函数反比例函数之前我们学习了二次函数的各种形式，你能具体说一说有哪些形式吗？a≠0一般式：y=ax2

+bx+c

顶点式：y=a(x-h)2+k同样的反比例函数也有其他形式，接下来我们一起来看一下.一般形式其他形式例2若函数

为反比例函数，则m=______.解：由题意得：

，且m-1≠0，∴m=-1.-1例3已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6(1)写出y关于x的函数解析式;解：设,因为当x=2时，y=6，所以有

解得k=12.因此(2)当x=4时，求y的值

解：把

x=4

代入

，得y=3分析:因为y是x的反比例函

数，所以设

，把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值.(3)当0<x<4时，求y的取值范围

解：因为反比例函数为

所以x与y成反比例关系，所以当x变小时，y会变大，当x无限接近于0时，y会变得无限大.因为当x=4时，y=3，所以y>3.1.

用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系.（1）圆的面积S与半径r的关系

（2）正方形的周长l与边长a的关系（3）长方形的面积为40，宽为a,长为b，a与b的关系

S=πr²，二次函数关系l=4a，正比例函数关系，反比例函数关系随堂练习2.填空(1)若

是反比例函数，则m的取值范围是_____.m≠1(2)若

是反比例函数，则m的取值范围是____________.m≠0且m≠1解：m(m-2)≠0，m≠0且m-2≠0所以m≠0且m≠-1(2)若

是反比例函数，则m的取值范围是____________.m=-1解：m-2≠0，且m2-m-2=0即m≠2且(m-2)(m+1)=0所以解得m=-13.文文家离学校1000m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑

车．假设文文每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为

t(min)．(1)求变量v和t之间的函数关系式；解：(1)

(t>0)．(2)星期二他步行上学用了25min，星期三他骑自行车上学用了8min，

那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少呢？(2)当t＝25时，

；当t＝8时，

，125－40＝85(m/min)．答：文文星期三上学时的平均速度比星期二快85m/min.4.已知y=y1+y2，y1

与(x

-1)成正比例，y2

与(x+1)成反比例，当x=0时，y=

-3；当x=1时，y=-1，求：(1)y关于x的关系式；解：(1)设y1=k1(x

-1)(k1≠0)，(k2≠0)，则.∵x=0时，y=

-3；x=1时，y=-1，∴-3=

-k1+k2∴k1=1，k2=

-2.∴.教材分析

通过研究反比例函数

中k的几何意义，来解决反比例函数与面积类综合问题，能更好地考查学生灵活运用数学知识的能力及对数学思想方法掌握的情况，进一步让学生感悟数形结合分析数学问题的意识，培养学生把实际问题中的文字语言、符号语言、图形语言进行“互译”并“转换”成有效的解题信息链，培养学生建立合理合适的数学模型去解决实际问题的能力和方法．

教学目标教学目标：1.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.2.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐

标系中图形的面积计算.

3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，

进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力．教学重点:通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性．教学难点:理解反比例函数性质，并能灵活应用．新知导入

情境引入【提问一】回顾反比例函数的图象与性质？比例系数图象图象形状经过象限增减性k>0k<0双曲线第一、三象限第二、四象限y随x的增大而减小y随x的增大而增大【提问二】k的正负决定了什么？k的正负决定反比例函数所在的象限和增减性.新知讲解

合作学习思考1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1,S2与k的关系P(2,2)Q(4,1)44S1=S2S1=S2=k2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格：S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1,S2与k的关系P(-2,2)Q(-4,1)44S1=S2S1=S2=-k提炼概念

反比例函数解析式中k的几何意义

对于反比例函数，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______.

推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是S△PAO=S△PBO=______.|k|典例精讲

例3已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.

因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.

所以反比例函数的解析式为.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？A(2，6)反比例函数

满足解析式,在各点坐标分别代入不满足解析式,不在判断点是否在反比例函数图象上的两种方法

(1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值，看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；(2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数的比例系数k.解：(1)由图可知这个函数的图象一支位于第一象限，所以该函数的另一支位于第三象限∵该函数位于第一、三象限∴m-5>0，则m>5.

例4如图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：(2)∵m－5＞0∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，∴当x1＞x2时，y1＜y2.

例4如图，它是反比例函数图象的一支，根据图象，回答下列问题：(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？归纳概念

比较反比例函数值大小的方法(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减情况．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号．(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．课堂练习必做题1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（

）A.3B.-1.5

C.-3D.-6C

C选做题

综合拓展题合作探究4、如图，P，C是函数(x>0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则S1=

；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2