建筑力学与结构(4章)

第3章平面力系3.1平面汇交力系3.2平面力偶系3.3平面平行力系3.4平面任意力系第3章平面力系3.1平面汇交力系13.1平面汇交力系在平面力系中，如果各力的作用线都汇交于一点，就称为平面汇交力系。平面汇交力系是分析研究其他力系的基础。如图所示，起重机起吊构件时，作用在吊钩上的力系就是平面汇交力系。平面汇交力系3.1平面汇交力系在平面力系中，如果各力的作用线都汇交于21．力在坐标轴上的投影设力F作用于直角坐标xOy平面内的点A，则作图方法见下图。力在坐标轴上的投影是代数量，它的正负号规定：当从力的始端投影到终端投影的方向与投影轴正向一致时，力的投影为正值；反之，为负值。3.1.1平面汇交力系的合成力在坐标轴上的投影已知力F的大小为F（恒为正值），若α为力F与坐标轴x所夹的锐角，投影Fx和Fy可由下式计算：如果已知力F在坐标轴上的投影为Fx和Fy，则力F的大小和方向为由图可知，力F沿直角坐标轴Ox和Oy可分解为两个分力Fx和Fy，分力与投影之间有下列关系：其中i，j分别为x轴和y轴的单位矢量。1．力在坐标轴上的投影3.1.1平面汇交力系的合成力在坐33.1.1平面汇交力系的合成2．求平面汇交力系的合力求合力1）用几何法求合力力系中的各力矢量与合力矢量构成的多边形ABCD称为力多边形，表示合力矢量的边AD称为力多边形的封闭边，用力多边形求合力FR的几何作图规则称为力多边形法则，这种求合力的方法称为几何法。2）合力投影定理合力在任一轴上的投影等于力系的各个分力在同一轴上投影的代数和，称为合力投影定理。投影关系为3）用解析法求合力如图（c）所示，合力矢量FR在x和y轴上的投影分别为FRx和FRy，则根据上式可求得合力矢量的大小及其与x轴正向间的夹角α为（a）（b）（c）这种用代数法求合力的方法称为解析法。3.1.1平面汇交力系的合成2．求平面汇交力系的合力求合4平面汇交力系可以合成为一个合力FR，即合力FR与原力系等效。如果平面汇交力系的合力等于零，则物体的运动效果与不受力一样，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。反之，欲使平面汇交力系成为平衡力系，必须使它的合力为零，所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是力系的合力为零，即上式和恒为正，要使FR=0，只有所以，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。用这个方程可以求解两个未知量。在用平面汇交力系的平衡方程求解未知力时，要注意选取合适的投影轴，尽量使一个方程只含有一个未知力，避免求解联立方程组，以简化计算。3.1.2平面汇交力系的平衡条件及其应用平面汇交力系可以合成为一个合力FR，即合力FR与原力系等效。53.2平面力偶系如图所示，当用扳手转动螺母时，作用于扳手一端点A的力F使扳手绕点O转动的效应，不仅与力F的大小有关，而且与点O到力F作用线的距离d有关。因此作用于物体上的力F，使物体绕其上任一确定点O的转动效应，以乘积Fd度量，这个量称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即点O称为力矩中心，简称矩心，d称为力臂，乘积Fd称为力矩的大小，而正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩取正号，反之取负号。平面内力对点之矩只取决于力矩的大小和转向，因此在平面问题中，力矩是代数量。由图（b）可知，力矩的大小还可以用力F为底边，矩心为顶点所构成的三角形面积的两倍来表示，即力矩的单位是N·m或kN·m。3.2.1力矩（a）

（b）3.2平面力偶系如图所示，当用扳手转动螺母时，作用于扳手61．力偶与力偶矩大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，用M表示。把力偶中任何一力的大小F与力偶臂d的乘积Fd，冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，即一般规定，逆时针方向转动的力偶矩为正，顺时针方向转动的力偶矩为负。平面力偶的力偶矩是代数量，其单位与力矩的单位相同。由图（c）可知，力偶矩的大小还可用一个力F为底边，另一个力F的作用线上任一点A为顶点所构成的三角形面积的两倍来表示，即3.2.2力偶（a）

（b）

（c）力偶与力偶矩1．力偶与力偶矩3.2.2力偶（a）73.2.2力偶1）力偶不能与单个力等效或平衡2）力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩3）作用在同一平面内的两个力偶等效的充分必要条件是力偶矩相等2．力偶的性质3.2.2力偶1）力偶不能与单个力等效或平衡2）力偶对其83．平面力偶系的合成若有n个力偶作用于刚体上的某一平面内，这种特殊力系称为平面力偶系。如图（a）所示，设在刚体某平面内有力偶M1，M2，…，Mn作用，求其合成结果。如图（b）所示，在该平面内任取两点A，B，使AB=d，作为公共的力偶臂。保持各力偶的力偶矩不变，将各力偶用分别作用在A，B两点的反向平行力表示，则有3.2.2力偶（a）

（b）

（c）平面力偶系的合成3．平面力偶系的合成3.2.2力偶（a）93．平面力偶系的合成于是在A，B两点上各得一组共线力系，其合力各为FR和FR'，且有如图（c）所示，FR和FR'为一对等值、反向、平行而不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，合力偶矩为由此可知，平面力偶系可合成一个合力偶，合力偶等于各分力偶的代数和。3.2.2力偶（a）

（b）

（c）平面力偶系的合成3．平面力偶系的合成3.2.2力偶（a）10平面力偶系是平面力系的另一种特殊情况。根据力偶的定义，平面力偶系的主矢一定为零。由于平面力偶系可合成一个合力偶，因而由式（3-12）可知平面力偶系平衡的充分必要条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即上式称为平面力偶系的平衡方程。3.2.3平面力偶系的平衡条件及其应用【例】

如图（a）所示梁AB受一力偶的作用，已知力偶

，梁长

，梁自重不计，求A，B支座处反力。【解】取梁AB为研究对象。画其受力图，如图（b）所示，则（a）（b）平面力偶系是平面力系的另一种特殊情况。根据力偶的定义，平面力113.3平面平行力系力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。如图所示，设物体受平面平行力系的作用，如选取x轴（或y轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在x轴（或y轴）上的投影恒等于零，即

（或

）。于是，平面平行力系独立平衡方程的数目只有两个，即因而平面平行力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在x轴（或y轴）上投影的代数和等于零。上式为平面平行力系的平衡方程。平面平行力系的平衡方程也可用两个力矩方程的形式表示，即其中A，B两点连线不得与各力的作用线平行。平面平行力系3.3平面平行力系力系中各力的作用线均相互平行的平面力系123.4平面任意力系作用于刚体上的力，可以等效地平移到刚体内任一点，但须附加一力偶，此附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。这称为力的平移定理。根据力的平移定理，总可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力，此力与原力矢量相等，但作用线平移了一段距离。3.4.1力的平移（a）

（b）

（c）力的平移3.4平面任意力系作用于刚体上的力，可以等效地平移到刚体131．平面任意力系向一点简化力系向一点简化是一种较为简便、具有普遍性的简化方法。该方法的基本思路是：应用力的平移定理，将力系中的各力向选定的某点平移，得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，然后将这两个力系再进一步合成，最后得到力系向该点简化的结果。为了具体说明力系向一点简化的方法和结果，设物体上作用有四个力F1，F2，F3和F4，它们组成的平面任意力系，如图（a）所示。于力系所在的平面内任意选定一点O，称为简化中心。应用力的平移定理，将力系中各力都平移到点O，每平移一个力，需附加一个力偶，于是就得到作用于点O的平面汇交力系：F1‘，F2’，F3‘和F4’，以及一个附加的平面力偶系：M1，M2，M3和M4，如图（b）所示。这些附加力偶的力偶矩分别等于原力系各力对点O之矩。这样，原来的平面任意力系就等效成了两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。3.4.2平面任意力系的合成（a）

（b）

（c）平面任意力系向一点简化1．平面任意力系向一点简化3.4.2平面任意力系的合成（141．平面任意力系向一点简化力偶矩为M1，M2，M3和M4的平面力偶系，可合成为一个力偶M，这个力偶的力偶矩等于各附加力偶之矩的代数和，由于附加力偶之矩等于原力系的各力对简化中心点O之矩，所以有即力偶M的矩等于原力系的各力对点O之矩的代数和。对于由n个力组成的平面力系，不难推广：平面任意力系向简化中心O简化得到的一个力和一个力偶分别为平面任意力系中所有各力的矢量和称为该力系的主矢量，简称主矢，用

表示，即3.4.2平面任意力系的合成（a）

（b）

（c）平面任意力系向一点简化1．平面任意力系向一点简化3.4.2平面任意力系的合成（151．平面任意力系向一点简化主矢可通过矢量多边形求得。因为

，所以，

，即原力系向简化中心简化得到的力矢量

等于主矢。平面任意力系中各力对于简化中心点O之矩的代数和，称为该力系对点O的主矩，用MO表示，即因为，所以有

，即原力系向简化中心简化得到的力偶之矩M等于主矩。综上所述，平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心，其大小和方向等于该力系的主矢，该力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。3.4.2平面任意力系的合成（a）

（b）

（c）平面任意力系向一点简化1．平面任意力系向一点简化3.4.2平面任意力系的合成（161．平面任意力系向一点简化为了用解析法来计算主矢

，可在力系的作用面内取直角坐标系xOy，如图（c）所示，由于主矢，由合力投影定理可得于是，主矢

的大小和方向为3.4.2平面任意力系的合成（a）

（b）

（c）平面任意力系向一点简化1．平面任意力系向一点简化3.4.2平面任意力系的合成（172．简化结果的分析力系向某一简化中心O简化的结果，不是简化的最终结果，尚可进一步简化。可按以下四种情况进一步讨论平面力系简化的最后结果。（1）FR'=0，MO≠0，原力系简化为一个力偶，其力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。由力偶的性质可以推知，在这种情况下，主矩与简化中心的选择无关。（2）FR'≠0，MO=0，此时附加力偶互相平衡，原力系简化的最后结果是一个力，该力即为原力系的合力，它的作用线通过选定的简化中心O。3.4.2平面任意力系的合成（a）

（b）

（c）力系的继续简化2．简化结果的分析3.4.2平面任意力系的合成（a）182．简化结果的分析（3）FR‘≠0，MO≠0。如图（a）所示，此时原力系可以进一步简化为一个合力。只要将力偶MO用一对等值、反向、不共线的平行力

和

表示，且使

，则力偶臂

，如图（b）所示。若使力

作用于点O，则力

和

构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力只剩下作用于点

的力FR。显然，力FR就是原力系的合力，如图（c）所示。因此在这种情况下，原力系简化的最后结果是一个合力FR，其大小和方向与主矢FR'相同，合力的作用线离简化中心O的垂直距离为合力作用线在简化中心O的哪一侧，应由主矩MO的转向决定。（4）FR'=0，MO=0，原力系平衡。3.4.2平面任意力系的合成2．简化结果的分析3.4.2平面任意力系的合成193．合力矩定理由图（c）可知，作用于点O'的力FR是原力系的合力，FR