工程力学课件-第4章-运动学

第四章运动学工程力学第一部分理论力学运动学是从几何观点研究物体的位置随时间变化的规律，包括运动轨迹、速度、加速度、运动方程及它们相互间的关系，它是研究物体运动几何性质的科学。在运动学中，我们将研究的物体抽象化为点和刚体两种力学模型，因此，本章主要介绍点的运动和刚体的运动。1第四章运动学工程力学第一部分理论力学运动学是从几何观点研1.1.1电路的组成方程设有动点M相对坐标系Oxyz做空间曲线运动，在某一瞬时t，动点为M，如图所示。由坐标原点O向动点M做矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。动点M在坐标系中的位置由矢径r唯一地确定。当动点M运动时，矢径r随时间的变化而变化，并且是时间的单值连续函数，即第一节点的运动一、点的运动2工程力学1.1.1电路的组成方程设有动点M相对坐标系Oxyz做空间1.1.1电路的组成1.点的速度设在瞬时t动点的位置M，矢径为r。经过Δt时间后，动点运动到M'处，其矢径为r（t＋Δt），如图所示。动点在Δt时间内的位移为二、点的速度和加速度3工程力学1.1.1电路的组成1.点的速度二、点的速度和加速度3工程1.1.1电路的组成由此可得动点在Δt时间内的平均速度当Δt趋近于零时，平均速度的极限即为动点在瞬时t的速度（简称速度）即动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数。当Δt趋近于零时，Δr的极限位置就是轨迹在点M的切线位置。所以动点的速度沿着该点的切线，方向与动点的方向一致。速度的单位为m/s。4工程力学1.1.1电路的组成由此可得动点在Δt时间内的平均速度4工1.1.1电路的组成2.点的加速度设在瞬时t动点的位置M，速度为v。经过Δt时间后，动点运动到M'处，其速度为v'，如图所示。动点在△t时间内速度的改变量为比值称为动点在时间间隔Δt内的平均加速度，记为a*。当Δt趋近于零时，平均加速度的极限即为动点在瞬时t的加速度，记为a，有5工程力学1.1.1电路的组成2.点的加速度5工程力学1.1.1电路的组成1.点的直角坐标运动方程由图可知，动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x，y，z表示，由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，故矢径r可表示为三、点的运动的直角坐标法6工程力学1.1.1电路的组成1.点的直角坐标运动方程三、点的运动的1.1.1电路的组成2.用直角坐标法求点的速度点的直角坐标运动方程式将点的空间曲线运动分解为沿x、y、z三轴向的直线运动。因r＝xi＋yj＋zk，将此式对时间求一阶导数，并注意到i、j、k为大小、方向都不变的常矢量，则设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz，则比较上面2式，得到三、点的运动的直角坐标法7工程力学1.1.1电路的组成2.用直角坐标法求点的速度三、点的运动1.1.1电路的组成即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。求得vx、vy、vz，后，速度v的大小和方向就可由它的三个投影完全确定。速度的大小为速度的方向可由其余弦表示3.用直角坐标法求点的加速度同理，点沿x、y、z轴的加速度分量（加速度投影）分别为8工程力学1.1.1电路的组成即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对1.1.1电路的组成即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各速度的投影对时间的一阶导数，或各对应坐标对时间的二阶导数。加速度a的大小和方向亦可由它的三个投影完全确定。加速度的大小为加速度的方向可由其余弦表示9工程力学1.1.1电路的组成即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各1.1.1电路的组成刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始位置平行，则称刚体做平行移动，简称为平动或移动。刚体平动时，其上各点的轨迹如为直线，则称为直线平动；如为曲线，则称为曲线平动。设在做平动的刚体内任取两点A和B，令两点的矢径分别为rA和rB，并作矢量BA，如图所示。则两条矢端曲线就是两点的轨迹。由图可知：第二节刚体的基本运动一、刚体的平行移动10工程力学1.1.1电路的组成刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它1.1.1电路的组成把上式两边对时间t求一阶导数，由于常矢量BA的导数等于零，于是得将上式两边对时间求一阶导数，得表明，在任一瞬时，A、B两点的速度相同，加速度也相同。综上所述，对于平动刚体，只要知道其上任一点的运动就知道了整个刚体的运动。所以，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点（例如机构的连接点、质心等）的运动，也就是归结为上一节所研究过的点的运动学问题。11工程力学1.1.1电路的组成把上式两边对时间t求一阶导数，由于常矢1.1.1电路的组成1.刚体的转动方程设有一刚体绕固定轴z转动，如图所示。定轴转动刚体具有一个自由度，取转角φ为广义坐标。当刚体转动时，随时间t的变化而变化，是时间t的单值连续函数，即该方程称为刚体定轴转动的转动方程，简称为刚体的转动方程，它反映了刚体整体的转动规律。二、刚体绕固定轴的转动12工程力学1.1.1电路的组成1.刚体的转动方程二、刚体绕固定轴的转1.1.1电路的组成2.角速度和角加速度角速度表征刚体转动的快慢及转动方向，用字母ω表示，它等于转角φ对时间的一阶导数，即单位为rad/s(弧度/秒)。角速度ω是代数量，正负表示刚体的转动方向。若为正值，则其转向与转角φ的增大转向一致；若为负值，则相反。工程中常用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢。角速度与转速之间的关系是角加速度表征刚体角速度变化的快慢，用字母α表示，它等于角速度ω对时间的一阶导数，或等于转角φ对时间的二阶导数，即单位为rad/s2(弧度/秒2)。角加速度是代数量。如果ω与α同号（即转向相同），则刚体做加速转动；如果ω与α异号，则刚体做减速转动。13工程力学1.1.1电路的组成2.角速度和角加速度13工程力学1.1.1电路的组成在工程实际中，不仅要求知道定轴转动刚体的角速度和角加速度，而且还经常需要知道刚体内某些点的速度和加速度。刚体绕定轴转动时，转轴上各点都固定不动，其他各点都在通过该点并垂直于转轴的平面内做圆周运动，圆心在转轴上，圆周的半径R称为该点的转动半径，它等于该点到转轴的垂直距离。下面用自然法研究转动刚体上任一点的运动量（速度、加速度）与转动刚体本身的运动量（角速度、角加速度）之间的关系。用自然法确定的运动方程为点M的速度为三、定轴转动刚体内各点的速度、加速度14工程力学1.1.1电路的组成在工程实际中，不仅要求知道定轴转动刚体1.1.1电路的组成用θ表示a与转动半径OM（即an）之间的夹角，则由上述分析可以看出，刚体绕定轴转动时，其上各点的速度、加速度有如下分布规律：（1）转动刚体内各点速度、加速度的大小，都与该点的转动半径成正比。（2）转动刚体内各点速度的方向，垂直于转动半径，并指向刚体转动的一方。（3）同一瞬时，转动刚体内各点的全加速度与其转动半径具有相同的夹角θ，并偏向角加速度α转向的一方。15工程力学1.1.1电路的组成用θ表示a与转动半径OM（即an）之间1.1.1电路的组成在不同的参考体中研究同一个物体的运动，看到的运动情况是不同的。在研究与运动相对性有关的点的运动时，将研究的点看成是动点，动点相对于两个坐标系运动，其中固结在地球表面上的坐标系称为定参考坐标系（简称定系），固结在运动参考体上的坐标系称为动参考坐标系（简称动系）。动点相对于定系运动可以看成是动点相对于动系的运动和动系相对定系的运动的合成。因此，这类运动就称为点的合成运动或复合运动。第三节点的合成运动一、点的合成运动的概念16工程力学1.1.1电路的组成在不同的参考体中研究同一个物体的运动，1.1.1电路的组成研究点的合成运动必须要选定两个参考坐标系，清楚以下三种运动：（1）动点相对于定参考坐标系运动，称为动点的绝对运动。（2）动点相对于动参考坐标系运动，称为动点的相对运动。（3）动系相对于定系的运动，称为动点的牵连运动。一般来讲，绝对运动看成是运动的合成，相对运动和牵连运动看成是运动的分解，合成与分解是研究点的合成运动的两个方面，切不可孤立看待，必须用联系的观点去学习。动点的绝对运动、相对运

动和牵连运动之间的关系可以

通过动点在定参考坐标系和动

参考坐标系中的坐标变换得到。

以平面运动为例，设oxy为定

系，o′x′y′为动系，M为动

点，如图所示。M17工程力学1.1.1电路的组成研究点的合成运动必须要选定两个参考坐标1.1.1电路的组成M点绝对运动方程为M点相对运动方程为牵连运动是动系o′x′y′相对于定系oxy的运动，其运动方程为由图得坐标变换18工程力学1.1.1电路的组成M点绝对运动方程为18工程力学1.1.1电路的组成如图所示，设oxy为定系，o′x′y′为动系，M为动点。动系的坐标原点O′在定系中的矢径为ro′，动点M在定系上的矢径为rM，动点M在动系上的矢径为r′，动系坐标的三个单位矢量为i′，j′，k′，牵连点为M′（动系上与动点重合的点）在定系上的矢径为rM′，有如下关系：二、点的速度合成定理19工程力学1.1.1电路的组成如图所示，设oxy为定系，o′x′y′1.1.1电路的组成动点M的绝对速度为动点M的相对速度为牵连运动是动系o′x′y′相对于定系oxy的运动，得牵连速度从而得相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系：点的速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时相对速度和牵连速度的矢量和。点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所构成的平行四边形的对角线所确定。20工程力学1.1.1电路的组成动点M的绝对速度为20工程力学1.1.1电路的组成应当注意：（1）三种速度有三个大小和三个方向共六个要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的平行四边形，即可求出剩余的两个要素。（2）动点和动系的选择是关键，一般不能将动点和动系选在同一个参考体上。（3）动系的运动是任意的运动，可以是平移、转动或者是较为复杂的运动。21工程力学1.1.1电路的组成应当注意：21工程力学1.1.1电路的组成机械结构中很多构件的运动，例如行星齿轮机构中动齿轮B的运动，如图（a）所示；曲柄连杆机构中连杆AB的运动，如图（b）所示；以及沿直线轨道滚动的轮子，如图4（c）所示，它们运动的共同特点是即不沿同一方向平移，又不绕某固定点做定轴转动，而是在其自身平面内的运动。即刚体运动过程中，其上任意一点与某一固定平面的距离始终保持不变。刚体的这种运动形式称为平面运动。平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有各点的运动，即刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。第四节刚体的平面运动一、刚体平面运动的基本概念22工程力学1.1.1电路的组成机械结构中很多构件的运动，例如行星齿轮如图（a）所示，在平面图形S内建立平面直角坐标系xoy，来确定平面图形S的位置。为确定平面图形S的位置只需确定其上任意直线段AB的位置，线段AB的位置可由点A的坐标和线段AB与x轴或者与y轴的夹角来确定。二、平面图形的运动方程和平面图形运动的分解23工程力学如图（a）所示，在平面图形S内建立平面直角坐标系xoy，来确1.1.1电路的组成即有（1）若基点A不动，基点A坐标xA、yA均为常数，则平面图形S绕基点A做定轴转动；（2）若φ为常数，平面图形S无转动，则平面图形S以方位不变的φ角做平移。由此可见当两者都变化时，平面图形S运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成。即平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。其中“随基点的平动”是牵连运动，“绕基点的转动”是相对运动。基点的选择是任意的。因为一般情况下平面图形上各点的运动各不相同，所以选取不同的点作为基点时，平面图形运动分解后的平动部分与基点的选择