数算方法总结

瓶子问题：1、5个空瓶子可以换1瓶可乐喝，那么200个空瓶子最多可以喝到多少瓶可乐？

卡卡西解析：

200÷(5-1)=50

公式一：N个换1瓶，总共M个可以换：M÷〔N-1〕

瓶子问题变式：

“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

A.296瓶B.298瓶C.300瓶D.302瓶

设需要买A瓶啤酒

A+A÷(7-1)=347

公式二：

A+A/(N-1)=M。。〔如果出现小数就进1〕

A至少买水瓶数

M喝水瓶数

N换一瓶水空瓶数

数字推理问题1、23，89，57，31，1，〔〕A0B3C5D6

2、20，21，33，-2，〔〕A.0B.5C.9D.11

3、8，0，0，2，3/2，〔〕A5/4B3/7C4/9D3

4、3302912〔〕A92B7C8D10

前面四个题目看似很难！其实不然，每个题的数字的变化趋势都是，由小到大，再由大到小！〔一般都是次方问题〕

我个人习惯叫它“次方的倒置”。

这种题目还是有突破口的：即小数字的大次方到大数字的小次方

如：3^4------------------4^3

"小------大-----小-----小"

如：2133-2

23，89，57，31，1，〔〕

A0B3C5D6

23----89----57----31-----1

和次方数离得不远，而且最关键的一点是：规律满足〔由小到大，再由大到小！一般都是次方问题〕不妨试试“次方倒置”

2^5-9=23；3^4+8=89；4^3-7=57；5^2+6=31；

6^1-5=1；7^0+4=5

左边是小数字为底

右边是大数字为幂

这个题参加了摇摆数列，有一定难度

20，21，33，-2，〔〕A.0B.5C.9D.11

-------------------------------------------

2^4+43^3-65^2+87^1-911^0+10=11

8，0，0，2，3/2，〔〕A5/4B3/7C4/9D3

----------------------------------------------

-1*〔-2〕^30*〔-1〕^21*0^1

2*1^03*2^(-1)4*3^-2=4/9

3302912〔〕A92B7C8D10

----------------------------------------------

1^4+23^3+35^2+47^1+59^0+6=7

行程问题轨迹追踪法解行程问题〔原创〕

所谓轨迹追踪法就是画图抓住运动轨迹与S的关系而解出答案的一种方法。

用例题来说明这个问题

例题1：甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，当他们第一次相遇时甲离B地相距l04米，然后两人继续向前走，当到达目的地后都立即返回，当第二次相遇时，乙离B地相距40米。问AB两地相距多少米?

A.176米B.144米C.168米D.186米

解析：

此题为最根底的屡次相遇问题：抓住相遇时间是解题的关键。

这个必须会：第一次相遇走了一个相遇时间t,第二次相遇走了3个相遇时间3t.

轨迹追踪法：

A---------------------C----------D-----------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

由题中“第一次相遇时甲离B地相距l04米”，即一个相遇时间t内乙走了104里

追踪乙的轨迹：BC------CA----AD

我们发现，第二次相遇的时候乙比2个全程S少走了BD段，而BD段恰好是40米。根据第二次相遇走了3个相遇时间可以知道，乙走了104*3

所以104*3+40=2SS=176

估计有局部新Q友会问：“为什么第二次相遇走了3个相遇时间？为什么不是2个相遇时间？”。下面我来推导下这个问题

A------------------C----------D-------------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.

第二次相遇时，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因为速度不变，所以走的时间为3t

推广下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)个S，花了(2N-1)个相遇时间t。

例题2：两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出，离北岸260千米处第一次相遇，继续行驶，返回时又在南岸200千米处相遇，求河宽。

解析：

画图：南------------C--------------D------------北

同样C表示第一次相遇，D表示第二次相遇。

根据：“离北岸260千米处第一次相遇”，所以追踪乙的轨迹为

北C+C南+南D，观察发现比1S多走了南D段

所以：3*260-200=S

多项项数的数推比方：5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

上面个数列有8项，我习惯把项数多余6项的数列叫做“多项数列”。

这种多项数列的解题思路一般有三种

1、分组，2个一组或者3个一组〔有时间甚至是4个一组〕

2、隔项〔分奇数项和偶数项，或者是质数列项和合数列项〕

3、考虑是不是和数列及A、B、C之间的关系

例题1〔06湖南〕、5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

A7，15B8，12C9，12D10，16

--------------------------------------

此题数项比拟多，考虑隔项发现没规律！只要有点数字敏感度就很容易发现规律：分组

即：5*24=6*20=X*15=10*Y

所以X=8Y=12

例题2〔07黑龙江〕

11，12，12，18，13，28，〔〕，42，15，〔〕

A15，55B14，60C14，55D15，60

-----------------------------

此题比拟简单

奇数项是11，12，13，14，15〔等差1〕

偶数项是12，18，28，42，60〔二级等差4〕

克隆题：

07上海、6，8，10，11，14，14，〔〕----------------隔项

06湖南、40，3，35，6，30，9，〔〕，12，20，〔〕--------------------隔项

例题3〔和数列〕

〔07江西〕、2，3，7，12，22，41，75，〔〕

A128B130C138D140

----------------------------------------------------

做差：

1，4，5，10，19，34--------

--------该数列为一个和数列，即：

1+4+5=10

4+5+10=19

5+10+19=34

A+B+C=D

克隆题：

05中央、0，1，1，2，4，7，13，〔〕-------------------A+B+C=D

06广东、-8，15，39，65，94，128，170，〔〕----------------二次做差之后满足A+B=C

真题3、

34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

-----------------------------------------

项数多考虑分组、各项、和数列。

满足〔A+B〕/2=C

追击问题追击问题的两点重要思路

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

讲解几个例题：

1、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少????

-------------------

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

画个简单的图帮助大家理解

后面追上：------A------>-----B------>---------〔速度差〕

迎面而来：-----A------>-------<---B----------〔速度和〕

所以根据图我们可以得到下面的方程

(1)后面追：(V电－V人)=1/12

(2)迎面来：(V电+V人)=1/4

(1)+(2)==>2V电=1/12+1/4=1/3〔问题是算发车间隔，所以我们要计算车的速度〕

V电=1/6

根据时间=路程÷速度

间隔=1÷1/6

T=6

PS：做熟悉了直接就是1/[(1/12+1/4)/2]=6

2、一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

A10B8C6D4

-----------------------------------------------------

1、设间隔距离看作单位1

2、路程差＝速度差×时间

所以有下面的方程：

(1)(V汽－V步)=1/10(2)(V汽－3V步)=1/20

算出V汽=1/8T=1/(1/8)=8

数字推理一、三位数的数字推理的思路

〔1〕数和数之间的差不是很大的时候考虑做差

〔2〕很多三位数的数字推理题都用“自残法”

如：252，261，270，279，297，〔〕

252+2+5+2=261

261+2+6+1=270

270+2+7+0=279

。。。

二：题目中有分数和整数的思路

〔1〕将分数看成是负次方，其实就是负次方的问题〔最常见〕

如：1，32，81，64，25，6，1，1/8

---------------------------------

4^3

5^26^17^08^-1此题如果熟悉了，1/8=8^-16=6^1此题就迎刃而解！

又如288100-1/8-1/18〔〕

A、-3/64B.-3/32C.-3/25D.-3/16

2x12^2=2881x10^1=100x9^0=0-1x8^-1=-1/8

-2x6^-2=-2/36=-1/18

-3x4^-3=-3/64----------先从分数和10入手，题目就好解了

〔2〕考虑是A+B)/N或者A+C)/2。N最常见的是取值2

如：34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

(A+B)/2=C

行程问题轨迹追踪法解行程问题〔原创〕

所谓轨迹追踪法就是画图抓住运动轨迹与S的关系而解出答案的一种方法。

用例题来说明这个问题

例题1：甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，当他们第一次相遇时甲离B地相距l04米，然后两人继续向前走，当到达目的地后都立即返回，当第二次相遇时，乙离B地相距40米。问AB两地相距多少米?

A.176米B.144米C.168米D.186米

解析：此题为最根底的屡次相遇问题：抓住相遇时间是解题的关键。

这个必须会：第一次相遇走了一个相遇时间t,第二次相遇走了3个相遇时间3t.

轨迹追踪法：

A-------------C----------D-------------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

由题中“第一次相遇时甲离B地相距l04米”，即一个相遇时间t内乙走了104里

追踪乙的轨迹：BC------CA----AD

我们发现，第二次相遇的时候乙比2个全程S少走了BD段，而BD段恰好是40米。根据第二次相遇走了3个相遇时间可以知道，乙走了104*3

所以104*3+40=2SS=176

估计有局部新Q友会问：“为什么第二次相遇走了3个相遇时间？为什么不是2个相遇时间？”。下面我来推导下这个问题

A---------------C----------D-------------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.

第二次相遇时，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因为速度不变，所以走的时间为3t

推广下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)个S，花了(2N-1)个相遇时间t。

例题2：两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出，离北岸260千米处第一次相遇，继续行驶，返回时又在南岸200千米处相遇，求河宽。

解析：

画图：南---------C--------------D---------------北

同样C表示第一次相遇，D表示第二次相遇。

根据：“离北岸260千米处第一次相遇”，所以追踪乙的轨迹为

北C+C南+南D，观察发现比1S多走了南D段

所以：3*260-200=S

多项项数的数推

比方：5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

上面个数列有8项，我习惯把项数多余6项的数列叫做“多项数列”。

这种多项数列的解题思路一般有三种

1、分组，2个一组或者3个一组〔有时间甚至是4个一组〕

2、隔项〔分奇数项和偶数项，或者是质数列项和合数列项〕

3、考虑是不是和数列及A、B、C之间的关系

例题1〔06湖南〕、5，24，6，20，〔〕，15，10，〔〕

A7，15B8，12C9，12D10，16

--------------------------------------

此题数项比拟多，考虑隔项发现没规律！只要有点数字敏感度就很容易发现规律：分组

即：5*24=6*20=X*15=10*Y

所以X=8Y=12

例题2〔07黑龙江〕

11，12，12，18，13，28，〔〕，42，15，〔〕

A15，55B14，60C14，55D15，60

-----------------------------

此题比拟简单

奇数项是11，12，13，14，15〔等差1〕

偶数项是12，18，28，42，60〔二级等差4〕

克隆题：

07上海、6，8，10，11，14，14，〔〕----------------隔项

06湖南、40，3，35，6，30，9，〔〕，12，20，〔〕--------------------隔项

例题3〔和数列〕

〔07江西〕、2，3，7，12，22，41，75，〔〕

A128B130C138D140

----------------------------------------------------

做差：

1，4，5，10，19，34--------

--------该数列为一个和数列，即：

1+4+5=10

4+5+10=19

5+10+19=34

A+B+C=D

克隆题：

05中央、0，1，1，2，4，7，13，〔〕-------------------A+B+C=D

06广东、-8，15，39，65，94，128，170，〔〕----------------二次做差之后满足A+B=C

真题3、

34，-6，14，4，9，13/2，〔〕

A、22/3B、25/3C、27/4D、31/4

-----------------------------------------

项数多考虑分组、各项、和数列。

满足〔A+B〕/2=C

三、要学会观察变化趋势

〔1〕数变化很大，一般和乘法和次方有关。如：2，5，13，35，97〔〕-------------Ax2+1392781=B

又如：1，1，3，15，323，〔〕---------------数跳很大，考虑是次方和乘法。此题-------------〔A+B)^2-1=c

再如：1，2，3，35〔〕------------(axb)^2-1=c

0.41.6856560〔〕

A、2240B、3136C、4480D、7840

(2)数差〔数跳不大，考虑是做差〕

〔3〕数项多考虑1分组2隔项3和数列

〔4〕要对次方附近的数字特别敏感补充：1.两项和为质数或者合数

如：021438〔5〕

2.不同数列组合

等差与等比数列的结合〔相加〕：

153179227321533〔1079〕

150+3170+9200+27240+81290+243350+729=1079

质数列与合数列的结合〔相加〕

如：69131621〔25〕

23571113+

46891012

质数列与合数列做差：

如：2332-1〔-1〕

46891012-

235711133.N次方的问题

根本的N次方

如：1427256〔3125〕分别是12345的12345次方

N次方的稍微变形：

如：241388(1035)

0^11^22^33^44^5+

235711

如：9586595431(30)

1008164493625

-5+5-5+5-5+5

4.隔项

隔项和为质数，为合数，为平方数

如：

1202914〔16〕

A+C=1491625

时针问题时针问题的解法。

时针问题的关键点有两个

1分针每分走6°；时针每分走0.5°〔或者是分针每分走1格，时针每分走1/12格〕

2分针每分比时针多走5.5°〔或者11/12格〕；把时针的追击问题当成是度数的追击问题。例题1

在14点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是()度。

解析：这个题可以看成一个追击问题：14点时，分针和时针之间有一段距离，再求16分钟后分针与时针之间的距离。

14点整时，分针与时针成60°

再过16分钟，分针在16分钟内比时针多走：16x5.5=88

88-60=28°例题2

4点多，当分针和时针重合的时候，应该是4点〔〕分？

A21x9/11B21x8/11C21x7/11D21x6/11

----------------------------------------

解析：4点，分钟与时针成120度角，每分钟分针追及时针6-0.5=5.5度

想当与总路程是120速度差是5.5

所以时间就是120÷5.5=21又9/11例题3

现在是2点15分，再过〔〕分钟，时针和分针第一次重和

A60/11B.14/11C.264/11D.675/11

参考答案：2点15分时分钟与时针已在1点与2点之间重合，故下次重合应在3点以后，于3点过90/5.5=180/11分重合，所以再过45+180/11=671/11。也可这样：可以看成是2点开始，时针分针第二次重合的时间，然后减去15分钟，2点整分针时针角度差60度。到第二次重合，追击路程为360+60=420度，角速度差为5.5度/分，420/5.5-15=840/11-165/11=675/11。也可直算：〔2x30+360〕/5.5-15=675/11分钟

个人解法：2点15分，时针和分针之间的度数是90-〔60+15x0.5〕=22.5度

但是时针追击的路程是360-22.5=337.5度〔因为是顺时针追击〕

337.5/5.5=675/11

比例问题比例法在行程问题中可以表示为

当路程一定，时间和速度成反比

当时间一定，路程和速度成正比

在一般的题目中，比例点增加了N，对用的数目增加了M个。总数就是MxN关键是找到增加的比例点和增加的数目之间的关系

光明小学体育馆保管室的篮球和排球共30个,其比例为7:3,现购入排球x个后,排球占总数的百分之40,那么x=()

A5B7C10D12

-----------------------------------------------------

最开始篮球：排球是7：3=21：9〔即21个篮球和9个排球

购入X个球后，比例变成3：2=21：14

14-9=5个

甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了百分之20，乙的速度提高了百分之30，这样，当甲到达B地时，乙离A还有14千米，那么AB两地间的距离是多少千米？

---------------------------

原来速度比为3：2=27：18

现在速度比为3.6：2.6=18：13

甲走了27+18=45〔恰好是一个全程〕，这时乙走了31份，还差14个比例点〔也就是14千米〕

所以1个比例点就是1千米

45-31=14

1x45=45甲乙二人分别从相距假设干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时

A．2B．3C.4D．6

设X小时他们相遇，所以甲X小时走的路程相当于乙4小时走的路程，乙X小时走的路程相当于甲1小时走的路程

根据他们的速度比不变可以得出：

1：X=X：4

X=2

2+1=3

小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？

----------------------------------------------------

时间比是30：24=5：4

所以速度就是时间比的反比4：5

5-4=1，1个比例点对应25米，所以4个比例点对应4x25=100米〔正常的速度〕

所以S=100x30=3000米

甲乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶，甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A、B两地的距离

A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米

-----------------------------------------------------

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3x〔2x2+1〕=15份

第四次甲行的路程是：3x〔2x3+1〕=21份

两次相距5-1=4份，对应100KM

所以10份对应的就是250KM走楼梯问题1.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。那么当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有〔〕

比例法真是无所不在，这种类型的题也可以用比例法来做，设定三者速度之比，男孩：女孩：电梯=2：1.5：x

当人从底到顶的时候，自己本身走，加上电梯往上走，一共就是电梯裸露在外面的阶梯数

男孩用40秒，女孩用50秒

所以就是

40x2+40xx=50x1.5+50xx解得x=0.5那么所有阶梯40x2+40xx=80+40x0.5=80+20=1002.自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的局部有多少级？

这道同样道理，设定速度是2：1：x

27/2xx+27=18/1xx+18解得x=2，所以一共有54级牛吃草问题

关键有三点

1设一头牛1天吃1份草

2算出草增加或者减少的速度

3算出总量例题1

牧场上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃多少天？

解析：设1头牛1天吃1份草，原有草量M，草长的速度为X

10头牛20天吃的草量=原有草量+20天长出来的草量

15头牛10天吃的草量=原有草量+10天长出来的草量

观察上面的式子发现：原有草量M是不变的

所以：10x20-15x10=〔20-10〕X

X=5

再来算原有草量：10x20-20x5=100〔或者15x10-10x5=100〕

设25头牛可以吃Y天

所以

100+5Y=25Y----------------------Y=5

一般做熟悉了，直接就是

〔10x20-15x10〕/〔20-10〕=5--------------草长的速度

10x20-5x20=100---------------------------------原有量

100+5X=25XX=5

例题2

一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完，如果要求2小时淘完，要安排多少人？

此题是牛吃草问题的变型！

设每人每小时淘水量为“1”

每小时漏进船的水量为：〔5x8-10x3〕/〔8-3〕=2

发现时船内的水量为：5x8-2x8=24

24+2x2=2xX

X=14〔人〕

例题3

超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，那么付款开始几小时就没有顾客排队了

A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时

此题和牛吃草的题类似

一个收银台4小时接收的顾客为80x4=320

每小时排队的顾客是4x60=240

所以没开收银台时已经有320-240=80人排队

80+60X=2x80XX=0.8

难度较大的牛吃草题：

有三块草地,面积分别是5,15,24亩,草地上的草一样厚,而且长得一样快,第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块草地可供多少头牛吃80天?

设1头牛1天吃的草为“1”

〔1〕第一块草地中的草和30天长出来的草一共是：10x30=300

所以一亩地中原有草及30天长出来的草为：300/5=60

〔2〕同理算第二块草地

28x45/15=84

〔3〕因此1公亩草地每天新长出的草量：〔84-60〕/〔45-30〕=8/5

〔4〕1公亩地原有草量为：60-30x8/5=12

第三块草地原有草为12x24=288

24亩80天新长草量为24x1.6x80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42〔头〕解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量〔28x45-30x30〕/〔45-30〕=24；15亩原有草量：1260-24x45=180；15亩80天所需牛180/80+24〔头〕24亩需牛：〔180/80+24〕x〔24/15〕=42头

数字运算技巧1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143+1/195+1/255的值？

A6/17B6/19C8/17D8/19

观察分母：3，15，35

只要把他们分解，此题就比拟简单：3=3x1；15=5x3

1/3=1/2(1/1-1/3)

1/15=1/2(1/3-1/5)

上面两个式子加起来就是1/2(1/1-1/51)....

1/1x3=1/2(1/1-1/3)1/3x5=1/2(1/3-1/5).......

=1/2(1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/15-1/17)=8/17

原式=1/2〔1/1-1/17)=8/172006×20072007-2007×20062006

-----------------------------------------------------

20072007=2007x10001

所以原式=2006×2007×10001-2007×2006×10001

=0173×173×173-162×162×162=〔〕？

A926183B936185C926187D926189

尾数法，只看尾数

3x3x3=72x2x2=87-8=9循环幂尾数类型

自然数N次方的尾数值具有以下特点：

1、1，5，6的N次方尾数保持不变，以1为周期

2、4，9的N次方尾数以2为周期

3、2，3，7，8的N次方尾数以4为周期

所有的自然数的N次方都可以看成以4为周期，上面的规律没必要死记！1989^1988+1988^1989的个位数是〔〕？

1988/4=497........0〔余数0相当于9^0=1〕

1989/4=497........1〔余数1相当于8^1=8〕

1+8=9文氏图问题文氏图，这类题型的关键就是画图！

两种的：N(0)=N-N(A)-N(B)+N(AB)

三种的：N(0)=N-N(A)-N(B)-N(C)+N(AB)+N(AC)+N(BC)-N(ABC)

其中N表示总数N〔ab)表示既A又B的

某班56名学生都参加了奥数或者作文课外兴趣小组的活动，其中参加奥数的有32人，参加作文的有35人，问两种活动都参加的有多少人？

32+35-56=11

根底的文氏图类型题

某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。那么只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多？

按照题意画图如下：

只会一种语言的是2+1+2=5

一种都不会的是2

5-2=3

某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外小组，参加语文小组的有30人，参加英语小组的有17人，参加数学小组的有13。如果有5个学生三种都参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

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根据题意画图：

A+B+C+2D=17+30+13-35=25A+B+C+D=25-5=2035-20=15

路程问题屡次相遇的关键就是速度比和路程的倍数关系

第一次相遇，两人共走了1S

第二次相遇，两人共走了3S

第三次相遇，两人共走了5S

..............

第N次相遇，两人共走了2xN-1个S，经过了2xN-1个相遇时间“为什么第二次相遇走了3个相遇时间？为什么不是2个相遇时间？”。下面我来推导下这个问题

A------------------------C----------D-------------------B

设C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点

第一次甲走的：AC乙走的是BC甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.

第二次相遇时，甲走了AC+CB+BD------------------①

乙走了BC+CA+AD------------------②

①+②=3S〔甲乙共走了3S〕

甲乙第一次相遇共走了1S，1t

甲乙第二次相遇共走了3S，因为速度不变，所以走的时间为3t

推广下成公式：第N次相遇，甲乙共走了(2N-1)个S，花了(2N-1)个相遇时间t。甲乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶，甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A、B两地的距离

A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米

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画个草图A----------C--------D------------B

C表示第三次相遇的地方，D表示第四次相遇的地方。

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3x〔2x2+1〕=15份〔相当于1.5S〕

第四次甲行的路程是：3x〔2x3+1〕=21份

两次相距5-1=4份，对应100KM

所以10份对应的就是250KM给你说下21份和15份

A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B

←C

D→

D和C分别表示第三次相遇和第四次相遇

箭头表示方向

余定理问题一：剩余定理的特殊情况核心根底公式：被除数=除数x商+余数

同余问题核心口诀：“余同取余。和同加和，差同减差，公倍数作周期”

①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，那么取1，公倍数作周期，那么表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，那么取7，公倍数做周期：那么表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，那么取3，公倍数做周期：那么表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？

A、4B、5C、6D、7

〔当然可以用特殊值法〕

因为3+2=4+1=5

所以取12+5=17

17/12=1余5

剩余定理的一般情况：

一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。

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〔7，8〕=56〔5，8〕=40〔5，7〕=35〔5，7，8〕=280

为了使56除以5余156/5=11余1满足

为了使40除以7余1120/7=17余1满足

为了使35除以8余1105/8=13余1满足

所以有：56x2+120x3+105x6=1102

1102-280xN=262〔N取最大取3〕

所以1000以内满足条件的数是3个：分别为262、542、822〔他们之间差是最小公倍数数算题型问题1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

解析：先画示意图：A---------C-------------D----------B

可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。当甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，因此，我们可以理解为乙车一共走了3个64千米，再由上图可知：乙车一共走过的路程减去一个48千米后，正好等于一个AB全程。

①AB间的距离是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.

②两次相遇点的距离为144—48－64＝32〔千米〕.

2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

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解析：甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为〔4—1＋4÷2〕＝5小时.这样就可求出甲的速度.

甲的速度为：100÷〔4－1＋4÷2〕＝10O÷5＝20〔千米/小时〕.

乙的速度为：20÷2＝10〔千米/小时〕

3、在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…〔连续奇数〕分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？

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解析无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150〔米〕.如果两人一直相向而行，那么从出发经过600÷150=4〔分钟〕两人相遇.

画图可知：在16分钟〔=1+3+5+7〕之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6分钟〔=1+5〕，反向走了10分钟〔=3+7〕，此时两人相距600+[150×〔3+7-1-5〕]=1200米，因此，再相向行走，经过1200÷150=8〔分钟〕就可以相遇.

所以是600+150×〔3+7-1-5〕=1200〔米〕

1200÷〔4000÷60+5000÷60〕=8〔分钟〕

1+3+5+7+8=24〔分钟〕

两人相遇时是8点24分.

4、姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米？〔〕

A、600B、800C、1200D、1600

解析：由于小狗的运动规律不规那么，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。

由于姐姐和小狗同时出发，同时终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。

这个时间为80÷〔60-40〕=4分钟

小狗跑了150×4=600米5、小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？〔〕

A、20B、24C、25D、30

解析：设两辆车间距为S。有

S=〔V车+V人〕×20

S=〔V车-V人〕×30

求得V车=5V人

故发车间隔为：T=S/V车=24分钟6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。那么当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：

A．80级B．100级C．120级D．140级

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解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，那么可列方程如下，

〔X+2〕×40=〔X+3/2〕×50

解得X=0.5也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=〔2+0.5〕×40=100

7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是

A．166米B．176米C．224米D．234米

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解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，那么依题意可列方程

8X+8Y=400×3

X-Y=6〔速度差0.1米/秒=6米/分〕

从而解得X=78Y=72

由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙。乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米，那么丙的速度为；

A．24米／分B．25米／分C26米／分D．27米／分

『解析』解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为

，那么乙的速度为2x/3，又根据“甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙”，可知〔＋2x/3〕×〔1+1/4＋3+3/4〕＝600，那么＝72，如果设丙的速度为，那么有〔＋〕×〔1+1/4＋3+3/4＋1+1/4〕＝600，从而解得＝24。9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?

A．5倍B．6倍C．7倍D．8倍〔2003年中央B类〕

解析，如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度〔时间从1点到2点15分〕走的距离和汽车所行的距离〔2点到2点15分〕相等。设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，那么可列方程

5/4A=1/4AX

解得X=5

所以，正确答案为A。

10、某时刻钟表时针在10点到11点之间