2026年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．下列实数中，最小的数是（）A． B．5 C． D．02．若，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．3．下列关系式中，是的反比例函数的是（）A． B． C． D．4．如图，，点为射线上一点，，如果是以点为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定5．如图，在△中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将△剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有种不同的剪法．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种6．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②联结交于点，交于点，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点、．那么线段的长是（）A． B． C． D．1二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.7．实数的立方根是．8．因式分解：．9．方程的解是．10．计算：．11．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是．12．2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计实破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为元．13．已知一次函数经过点且随增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：．14．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是．15．如图，在中，的平分线交于点，，设，，那么用向量、表示向量是．16．如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是．17．如图，在矩形中，将△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，与交于点，如果，，那么四边形的面积是．18．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么△的面积与其外接圆面积的比值是．（保留三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解关于的不等式组：．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点，点和点关于原点对称．（1）求与的值；（2）求的值．22．（10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“唱歌、狮蹈、器乐、戏剧、其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为；（2）本次大赛总共报名人，请补全条形统计图；（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：甲8676796乙8489893平均数中位数方差甲7乙7①表中的数据：，，；②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．．23．（12分）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点，将△沿着直线翻折得到△（点对应点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果四边形是矩形，且，求证：．24．（12分）【问题背景】图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．【数据测量】图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上．【问题解决】如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式；（2）当支撑架为正方形时，求架骨的长；（3）为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围．25．（14分）如图1，是的直径，是延长线上一点，是圆的切线，为切点，联结，．（1）求证：；（2）如图2，过点作交于，①如果，求的长；②联结、，如果△是以为腰的等腰三角形，求的值．

参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列实数中，最小的数是（）A． B．5 C． D．0【分析】先比较大小，再选择即可．解：，最小的数为．故选：．2．若，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．解：．若，则，故选项错误；．若，则，故选项错误；．若，则，故选项正确；．若，则，，故选项错误．故选：．3．下列关系式中，是的反比例函数的是（）A． B． C． D．【分析】形如为常数，的函数称为反比例函数，据此进行判断即可．解：，不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数，中是的反比例函数，而非的反比例函数，中是的反比例函数，故选：．4．如图，，点为射线上一点，，如果是以点为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离，由此即可判断．解：过作于，，，到的距离，的半径，，与相离．故选：．5．如图，在△中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将△剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有种不同的剪法．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．解：过作的平行线交于，得到△△；过作的平行线交于，得到△△；过作的垂线交于，得到△△，有3种不同的剪法．故选：．6．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②联结交于点，交于点，交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点、．那么线段的长是（）A． B． C． D．1【分析】连结、、、，如图，利用基本作图得到垂直平分，，所以点为矩形的对称中心，根据中心对称图形的性质得到，则可判断四边形为正方形，所以，再利用勾股定理计算出，所以，接着证明△△，利用相似比求出，从而得到的长．解：连结、、、，如图，由作法得垂直平分，，，点为矩形的对称中心，，，四边形为正方形，，，，，，，，△△，，即，，．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上，超出答题区域书写的答案无效】7．实数的立方根是．【分析】利用立方根的定义即可求解．解：，的立方根是．故答案．8．因式分解：．【分析】利用平方差公式直接分解即可．解：故答案为：．9．方程的解是5．【分析】将原方程两边同时平方后解得的值，然后进行检验即可．解：原方程两边同时平方得：，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：5．10．计算：，．【分析】将除法化为乘法并约分即可．解：原式，故答案为：．11．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是．【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可．解：由题知，因为关于的方程有两个不相等的实数根，所以△，解得．故答案为：．12．2025年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超6000家，核心产业规模预计实破1.2万亿元，将数据1.2万亿元用科学记数法表示为元．【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时是负整数，由此进行求解即可得到答案．解：1.2万亿．故答案为：．13．已知一次函数经过点且随增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：（答案不唯一）．【分析】设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图象经过点，可得的值，综合两者取值即可．解：设一次函数的表达式为，图象经过点，，随的增大而减小，即取负数，当时，函数解析式为．故答案为：．14．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是3．【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出袋中球的个数，然后即可计算出袋中红球的个数．解：由题意可得，袋中的球的个数为：，袋中红球的个数为：，故答案为：3．15．如图，在中，的平分线交于点，，设，，那么用向量、表示向量是．【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，再根据平面向量三角形运算法求解．解：在中，的平分线交于点，，，，，，，，，故答案为：．16．如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形的边心距是．【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．解：如图，设正六边形的中心为，过点作于点，过点作于点，由拼图和正六边形的性质可知，，，在△中，，，，，即正六边形的边心距为．故答案为：．17．如图，在矩形中，将△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，与交于点，如果，，那么四边形的面积是15．【分析】先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到△△，，接着证明△△，利用相似比可求出，然后根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算．解：四边形为矩形，，，，△绕点旋转至△的位置，点在的延长线上，△△，，，△△，，即，解得，，，四边形的面积．故答案为：15．18．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”，如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么△的面积与其外接圆面积的比值是．（保留【分析】易得等腰三角形的底边与半径相等，画出不同情况，求得等腰三角形的面积，进而与外接圆相比即可．解：等腰三角形是“等接圆三角形”，等腰三角形的底边与圆的半径相等．设圆的半径为，，．①如图1，连接并延长交于点，，，点，在线段的垂直平分线上，垂直平分，，，，，，△的面积与其外接圆面积的比为；②如图，连接交于点，则，，△的面积与其外接圆面积的比为：．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】用分数指数幂、零指数幂、负整数指数幂和实数的运算法则计算即可．解：原式．20．（10分）解关于的不等式组：．【分析】先求出各不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集．解：，解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集为．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点，点和点关于原点对称．（1）求与的值；（2）求的值．【分析】（1）待定系数法求出与的值即可；（2）作，垂足为，利用一次函数解析式得到，，根据正切定义求出和长，继而得到结果．解：（1）反比例函数与直线交于点，，，，；（2）由（1）可知，一次函数，如图作，垂足为，由一次函数解析式可知，，，，，，，．22．（10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“唱歌、狮蹈、器乐、戏剧、其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图．（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为90；（2）本次大赛总共报名人，请补全条形统计图；（3）才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：甲8676796乙8489893平均数中位数方差甲7乙7①表中的数据：，，；②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．．【分析】（1）用计算即可；（2）用组人数除以所占百分比即可求出大赛总人数，再用总人数乘以得出组人数；再用总人数减去，，，人数得出人数，画出条形图；（3）①分别用平均数公式，中位数定义以及方差公式计算出，，的值；②根据甲、乙平均数、中位数、方差得出结论．解：（1）扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为：，故答案为：90；（2）本次大赛总共报名：（人，．舞蹈人数：（人，．其他人数：（人，补全条形统计图；故答案为：160；（3）①甲得分的平均数：（分；乙得分的中位数为：；乙得分的方差：．故答案为：7，8，；②甲、乙平均数相同，说明整体水平相当；乙的中位数大，说明乙的高分段突出；甲的方差小，说明甲的成绩更稳定，故答案为：甲同学成绩稳定，发挥平稳，乙同学成绩波动大，但高分段表现更突出，整体水平与甲相当．23．（12分）如图，已知梯形中，，，对角线与交于点，将△沿着直线翻折得到△（点对应点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果四边形是矩形，且，求证：．【分析】（1）依据题意，由梯形中，，，从而，再结合折叠，可得△△，故，，进而可以得解；（2）依据题意，由四边形是矩形，可得，，从而，又设，结合△△，，可得，进而可得，故，然后再根据翻折，可得，故，则，进而，进而可以证明得解．【解答】证明：（1）梯形中，，，四边形为等腰梯形．．由折叠，△△，，，四边形是平行四边形；（2）如图，四边形是矩形，，，，设，，△△，，，．．，，翻折，，，，，，，，，，．24．（12分）【问题背景】图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．【数据测量】图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边、、为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上．【问题解决】如图3，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求顶点的坐标及抛物线的函数表达式；（2）当支撑架为正方形时，求架骨的长；（3）为满足宽