全国初中数学优质课一等奖《包装盒中的数学制作尽可能大的长方体》教学设计

制成尽可能大的无盖长方体的教学设计一、教学内容解析：本节课的教学内容是探究利用边长为20cm的正方形如何能折成容积尽量大的无盖长方体。本节对学生而言是一种新的学习方式，它需要学生综合所学过的数学知识、技能与方法，通过问题的逐步解决从而获得对相关知识与方法的进一步的理解，体会各个部分之间的联系。让学生经历实验、想像、分析、猜测、交流、推理和反思等一系列过程，培养学生的实践探索及创新能力，加强学生的合作、交流以及事必求真的科学精神，更好地激发学生的学习热情。尽管问题的最后不一定要得到剪去的小正方形边长x的具体值，但是通过学生的不断探究来验证自己的结论，发现更多的探究现象。同时在活动过程中，让学生感受一种新的解决问题的方法逐渐逼近的数学方法。二、教学目标设置1．让学生经历“问题－建模－解决”的过程，进一步丰富学生的空间观念和数感。2．在探究事物变化趋势的活动中,发展学生的推理能力，借助计算器让学生体会“逐渐逼近”的数学方法。3．通过经历克服困难和获得成功的体验，增进学生应用数学的自信心，形成对知识的深刻理解。三、学生学情分析完成7年上册数学的学习，学生已经有了一定空间观念、数感和符号感，学会了用字母表示数，会求代数式的值，会初步应用统计知识来描述事物的特征，会应用计算器进行简单的计算，对数学的学习方法也有了一定的认识。具备了进行本课题学习、研究的基本的条件和能力，但是学生对于逐渐逼近的数学学习方法大部分学生还是第一次接触。对于剪去小正方形边长取整数之后，为什么要在3cm和4cm之间探究，在其他区间是否可能存在更大的，为什么不存在等等都需要学生在逐步探究中去体会。对于本课的内容是学生在以后的学习中会利用三次函数等其他的数学知识求出在给定一张正方形的纸板要制作出最大的无盖长方体需剪掉的小正方形边长是原正方形边长的，这个对于现阶段的学生是没有能力探究出来的，但是在课堂上学生可能会猜想出来，至于具体原因可以告知学生后续学习这个问题也可以不用这样逐渐逼近的方法解决的，这样也激发学生进一步学习的欲望。本节课的教学难点是感受数量之间相依变化的状态和趋势，体验逐渐逼近的数学方法和从特殊到一般的探究过程。对于教学难点的突破是利用学生绘制的统计图和统计表由学生自己来分析数量间的变化状态和趋势，从而找到进一步探究的方案。学生对于逐渐逼近的数学方法让学生在探究过程中由绘制的所有的统计表中的数据来总结出来。四、教学策略分析确定参加本次活动时已是7年级上学期的期末，此时的学生已经具备了一定的探究能力，所以选择学期末的课题学习应该是合适的选择，我选择了新课程标准中课程内容及实施建议中的综合实践的例76：包装盒中的数学。同时也是北师版初中数学教材7年级上的课题学习：如何制作尽量大的无盖长方体盒子。对于本节课的教学方法是以学生的数学活动为主体，老师创设好既有启发性又有挑战性的问题情景，让学生通过观察、操作实验、猜测、合作交流、归纳得出结论。本节课的教学重点引导学生感受课题学习这种探究学习方式;体会用数学知识解决实际问题需要建模。基于这样的教学重点。给学生的问题从瓜子验证同样大小的正方形制成无盖长方体确实有的容积大有的容积小？让学生分析为什么开始，设置了像究竟剪去的小正方形大一些得到的无盖长方体容积大还是剪去小些的容积大？该如何来解决这样的问题？进一步探究应该从那里开始？为什么要这样想等等来引导学生参与本节课的数学活动。对于不同认知基础的学生中认知基础较好的引导他们在用计算器计算完数据后分析变化规律及能否从不同角度分析同一个问题等，对于认知基础相对较差的学生在探究的同时给予他们适度的指导，同时也给这样的学生展示自己的机会，以提高学生的学习热情和信心。对于学生的学习反馈一个是借助课上学生对于设置的问题解决的情况，再一个就是让学生在课下利用边长为30cm的正方形纸板制作尽可能大的无盖长方体，同时要求他们找找这个问题和课上解决的问题有什么相同点和不同点，通过这个检测学生对于本节课的接受程度。五、教学过程（一）展示与设疑

1．学生展示课前准备的用边长为20cm的正方形纸板自制的无盖长方体，说明是怎么制作的。2．利用瓜子测量各小组制成的无盖长方体的容积是否相等?不相等的原因是什么？3．因剪去的小正方形边长不定，所制长方体的容积该如何变化?如何能更直观地表达这个变化趋势?（二）验证

1．由学生分析得出若剪去的小正方形的边长按整数值变化，即分别取1cm，2cm，…，9cm时，折成的无盖长方体的容积将如何变化?请你制作适当的统计图表，展示这个变化状况。(借助计算器求代数式的值，制作统计表，可以形象地表达这个变化。)

2．通过自己所做的统计图表，你发现了什么?

3．观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大?(学生通过制作的统计图表得出：在这10组数中，当边长取3cm时，容积最大为588cm3。)表一边长x/cm123456789容积V/cm332451258857650038425212836（三）再质疑

用边长为20cm的正方形纸板，你能制作出容积尽可能大的无盖长方体吗?教师设疑：是否存在容积大于588cm3的可能?学生先独立思考，然后小组合作交流，结合制作出的统计图表，观察无盖长方体的容积随剪去的小正方形边长的增大而变化的趋势：容积先增大后减小。有的小组发现，可能当剪去的小正方形边长在3cm～4cm之间取值时，无盖长方体的容积V大于588cm3。探究出这个问题以后，接着教师设疑：若剪去的小正方形边长为小数，那么整数部分是几?如何来确定?学生分小组合作，教师参与。（四）再验证

1．由学生分析得出所剪的小正方形边长按0．1cm的间隔取值，即分别取3．1cm，3．2cm，…，3．9cm，计算折成的无盖长方体的容积。学生制作统计图表，表示这个变化状况(借助计算器，小组合作，教师参与。）

2．观察你制作的统计图表，你发现了什么?(要求学生根据统计图表中数据的变化，探索长方体容积的变化趋势和规律，再次得出：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。)

3．观察统计图表，当小正方形边长取什么值时，所得长方体的容积最大?(学生回答：当边长取3.3cm时，容积最大为591.5cm3。)表二边长x/cm3.13.23.33.43.53.63.73.83.9容积V/cm3590.4591.9592.5592.4591.5589.8587.4584.3580.54.引导学生感受在探究过程中所得数据的范围在逐渐的缩小。（五）再试试

是不是边长取3.3cm时，容积就最大了，如果不是我们又该如何进一步探究呢？学生分析得出所剪的小正方形边长按0.01cm的间隔取值，十分位应取3。制作统计图表，让学生观察分析发现了什么?若所剪的小正方形边长按0.001cm的间隔取值呢?(学生按刚才的思路，分小组合作，进一步细化代数式的值考察无盖长方体容积的变化情况。其中有的小组发现：每一次按不同的间隔取值，没有必要9个数据都算出来，只要最大值出现即可。这样可以减少运算量，将节省下来的时间多取几个间隔进行估测。)

表三边长x/cm3.313.323.333.343.35容积V/cm3592.57592.58592.5921592.5908592.5815表四边长x/cm3,3313.3323.3333.334容积V/cm3592.5924592.59252592.59259592.59257（六）得结论

要使所折成的无盖长方体的容积尽可能大，如何确定剪去的小正方形的边长?学生结合自己做的细化统计图表，探索规律：用边长为20cm的正方形纸板，四个角各剪去四个全等的小正方形，当小正方形的边长取3.333…cm，即越来越接近cm时，所折成的无盖长方体的容积将越来越大，但找不到最大的无盖方体。同时和学生一起感受一种新的数学方法逐渐逼近的数学方法。（七）布置作业

探究用边长为30cm的正方形纸板，制作出容积尽可能大的无盖长方体?同时与今天的结论相比较，能得出什么样的结论。（活动目的：边长是30cm的正方形是能制成最大的无盖长方体盒子的，也就是剪去边长是5cm的小正方形，力争让学生产生联想是不是剪去的小正方形边长是原来正方形的时得到无盖长方体的容积就是最大的？如果是有没有其他更简单的方法？）

点评这是一节属于“综合与实践”范畴的课，素材为新课标的案例76“包装盒中的数学”。“综合与实践”是新课标所要求的一项重要课程内容，由于开放程度较大，教师不易把握，因此，历来被认为是教学中的一个难点课程。对此，刘永伟老师在本节课上有所突破，表现上乘，这体现在：1、综合实践课的灵魂应是探索与思考，培养学生的数学思维是综合实践课的核心任务，本节课始终贯彻了这一原则和要求。教师布置学生用大小相同的纸板做出底面为正方形的无盖长方体纸盒，由于没有限定底面边长，自然就要引出容积大小的问题。教师让学生往盒子里倒瓜子，使学生对于容积的大小不同先有了直观的感知。这一环节教师设计得很精心很巧妙，激发了学生的求知欲望，使学生在课堂一开始就进入了状态，为后续的探索做了很好的铺垫。在师生共同归纳出盒子的体积的数学表达式V＝x(20－2x)2(x为地面正方形边长)后，教师不失时机地将课堂推向了第二个高潮。等号左边的代数式是一个关于x的三次式，其最大值的理论求法超出了现在学生的知识范围，那么这个问题目前真的就无从解决了吗？这就构成了本节课的最大认知冲突。在寻求解决途径的过程中，教师不惜大量的时间，为学生提供充分的讨论平台，有力地促进了学生的深度思考，从而“生成”(对学生而言)了解决此问题的合理策略。我们看到，学生在短短的45分钟内，提出了许多大胆而合理的猜想。因此，本节课关于培养学生的数学思维的目标很好地得以实现。2、新课标对于数学课堂的“双基”教学，扩展为“四基”，其中对渗透数学基本思想提出了明确要求。本节课在这方面做得很突出，“逼近思想”贯彻始终。教学的落脚点不是容积的最大值究