简谐振动的速度和加速度

关于简谐振动的速度和加速度§10-1谐振动简谐振动（simpleharmonicmotion,SHM）：一、谐振动的特征及其表达式受力特点：线性回复力

动力学特征

物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。第2页,共67页，2024年2月25日，星期天其解为令简谐振动的特征方程简谐振动表达式第3页,共67页，2024年2月25日，星期天vm=A

称为速度幅值

；am=

2A

称为加速度幅值

。简谐振动的速度和加速度：第4页,共67页，2024年2月25日，星期天简谐振动的运动学特征方程

第5页,共67页，2024年2月25日，星期天由初始条件(x0，

v0)求解振幅和初相位：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0第6页,共67页，2024年2月25日，星期天二、描述谐振动的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振动所经历的时间。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角频率（或称圆频率）

：频率(frequency)

:单位时间内完成完全振动的次数。

=1/TAxtOT第7页,共67页，2024年2月25日，星期天相位差：

=(

2

t+

20

)-(

1t+

10)对两同频率的谐振动

=

20-

10初相差

当

=

2k

，(k=0,1,2,…)，两振动步调相同，称同相。初相位（initialphase）

：

0

（

t+

0

）——描述振动状态3.相位（phase）：

当

=

(2k+1)

，

(k=0,1,2,…)，两振动步调相反，称反相。

若0<

20-

10<

，则x2比x1较早达到正最大，称x2比x1超前

(或x1比x2落后)。第8页,共67页，2024年2月25日，星期天x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1第9页,共67页，2024年2月25日，星期天速度相位比位移相位超前/2。加速度与位移反相位。第10页,共67页，2024年2月25日，星期天三、谐振动的旋转矢量图示法

投影点P

的运动为简谐振动。xP

旋转矢量的端点在x轴上的投影点P的位移：O逆时针转动第11页,共67页，2024年2月25日，星期天周期：

旋转矢量的模即为简谐振动的振幅。

旋转矢量的角速度

即为振动的角频率。

旋转矢量与

x轴的夹角(

t+

0

)，为简谐振动的相位。

t=0时，与x轴的夹角

0即为简谐振动的初相位。

旋转矢量旋转一周，P点完成一次完全振动xP

O第12页,共67页，2024年2月25日，星期天Oxva第13页,共67页，2024年2月25日，星期天第14页,共67页，2024年2月25日，星期天例10-1

一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x

轴正向运动。求：(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解：(1)设简谐振动表达式为由初始条件：第15页,共67页，2024年2月25日，星期天简谐振动表达式：(2)或第16页,共67页，2024年2月25日，星期天设在某一时刻t1，x=-0.06m(3)且向x轴负方向运动。第17页,共67页，2024年2月25日，星期天设t2时刻第一次回到平衡位置第18页,共67页，2024年2月25日，星期天四、几种常见的谐振动1.单摆重物所受合外力矩：由转动定律令(q很小时)第19页,共67页，2024年2月25日，星期天振动表达式为角振幅

和初相由初始条件求得。单摆周期T与角振幅的关系为

T0为很小时单摆的周期。当q不是很小时：第20页,共67页，2024年2月25日，星期天2.复摆q很小时一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。第21页,共67页，2024年2月25日，星期天例10-2

一质量为m

的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。船静止时浮力与重力平衡，

船在任一位置时，以水面为坐标原点，竖直向下的坐标轴为y

轴，船的位移用y

表示。解：第22页,共67页，2024年2月25日，星期天船的位移为y

时船所受合力为船在竖直方向做简谐振动，其角频率和周期为第23页,共67页，2024年2月25日，星期天五、谐振动的能量

势能

机械能简谐振动系统机械能守恒!以水平弹簧振子为例动能第24页,共67页，2024年2月25日，星期天第25页,共67页，2024年2月25日，星期天六、用能量法解谐振动问题以水平弹簧振子为例系统机械能守恒：第26页,共67页，2024年2月25日，星期天第27页,共67页，2024年2月25日，星期天例10-3

劲度系数为k，原长为L，质量为

的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为m(>)的物体，在光滑水平面内做直线运动。求解其运动。解：弹簧、物体的动能分别为当物体处于位移x

速度为v时，弹簧元dl的质量为位移为速度为第28页,共67页，2024年2月25日，星期天系统弹性势能为系统机械能守恒，有对时间求导，常量常量仍为简谐振动第29页,共67页，2024年2月25日，星期天§10-2阻尼振动

振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所做的振动，称为无阻尼自由振动。

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼

对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为

：阻力系数第30页,共67页，2024年2月25日，星期天阻尼振动方程：引入阻尼因子

固有频率在小阻尼条件下，微分方程的解为其中

和为积分常数，由初始条件决定。第31页,共67页，2024年2月25日，星期天阻尼振动的准周期性余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；——减幅振动反映了阻尼对振幅的影响。阻尼振动的周期：第32页,共67页，2024年2月25日，星期天阻尼振动的三种情形：

欠阻尼

过阻尼

临界阻尼第33页,共67页，2024年2月25日，星期天§10-3受迫振动共振一、受迫振动

物体在周期性外力（驱动力）的持续作用下发生的振动称为受迫振动（forcedvibration）。驱动力：运动方程：设第34页,共67页，2024年2月25日，星期天当阻尼较小,

＜

0时,方程的解：暂态项稳定项稳定振动状态：第35页,共67页，2024年2月25日，星期天

在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。第36页,共67页，2024年2月25日，星期天稳态时振动物体速度：

在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。第37页,共67页，2024年2月25日，星期天二、共振

当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振（displacementresonance）。第38页,共67页，2024年2月25日，星期天

受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。第39页,共67页，2024年2月25日，星期天§10-4电磁振荡一、LC电路的振荡

电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。LC振荡电路

向左合上开关，使电源给电容器充电，然后将开关接通LC回路，出现电磁振荡效应。第40页,共67页，2024年2月25日，星期天

电荷与电流（电场能量与磁场能量）随时间作周期性变化，且不断相互转换。若电路中无能量损耗，这种变化将一直持续下去，称为(无阻尼)自由振荡。CL+Q-Q+Q-QLC回路的振荡过程II第41页,共67页，2024年2月25日，星期天

设t

时刻电容器极板上电荷量为q，电路中电流为i，顺时针方向为电流正向，振荡角频率（无阻尼）自由振荡的定量分析CLiQ0是电荷量振幅，

0是振荡初相。第42页,共67页，2024年2月25日，星期天电荷和电流都做简谐振动，电流的振动超前电荷

/2。第43页,共67页，2024年2月25日，星期天电场能量为磁场能量为电磁场总能量守恒第44页,共67页，2024年2月25日，星期天二、受迫振荡电共振

LRC

电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡，称为受迫振荡。对受迫振荡：电动势：稳态解：第45页,共67页，2024年2月25日，星期天其中

当电路满足

时，电流振幅最大，称为电共振。电流振幅最大值为即第46页,共67页，2024年2月25日，星期天三、力电类比机械振动电磁振荡(串联电路)位移x速度v质量m劲度系数k阻力系数

驱动力F弹性势能kx2/2动能mv2/2电荷q电流

i电感L电容的倒数1/C电阻R电动势

电场能量q2/2C磁场能量Li2/2第47页,共67页，2024年2月25日，星期天§10-5一维谐振动的合成一、同一直线上两个同频率谐振动的合成

某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动，其振动位移分别为合振动：

合振动仍为同方向同频率的简谐振动。（由振动的叠加原理）第48页,共67页，2024年2月25日，星期天合振动：（1）若则（2）若则第49页,共67页，2024年2月25日，星期天求合振动。例10-3解：第50页,共67页，2024年2月25日，星期天讨论第51页,共67页，2024年2月25日，星期天二、同一直线上两个不同频率谐振动的合成拍

设同方向、角频率分别为和的两简谐振动（>），它们所对应的旋转矢量分别为和

相对于的转动角速度：第52页,共67页，2024年2月25日，星期天振幅：随时间缓慢变化拍：合振动的振幅时强时弱的现象(|

2-

1|<<

2,

1时)拍的周期：拍的频率：谐振因子：第53页,共67页，2024年2月25日，星期天第54页,共67页，2024年2月25日，星期天§10-6二维谐振动的合成

两相互垂直同频率简谐振动的合成,其振动轨迹为一椭圆。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。

同频率垂直简谐振动的合成消去t

，得第55页,共67页，2024年2月25日，星期天yx讨论几种特殊情形：1.质点做线振动s第56页,共67页，2024年2月25日，星期天yx质点做线振动合振动的振幅：第57页,共67页，2024年2月25日，星期天yx质点振动轨迹为右旋正椭圆。特别当A1=A2时，合成为右旋圆轨迹。2.y方向振动超前于x方向质点振动轨迹为左旋正椭圆。第58页,共67页，2024年2月25日，星期天两同频率垂直简谐振动在不同相位差时的合成第59页,共67页，2024年2月25日，星期天

不同频率垂直简谐振动的合成2.当两振动频率恰成整数比时，得封闭稳定轨道，称为李萨如(Lissajous)图。

看成，但相位差缓慢变化。合运动轨迹将按不同相位差的合成图形依次缓慢变化。第60页,共67页，2024年2月25日，星期天ωx:ωy李萨如图