高中数学必修第二册 直线与平面平行 学案

8.5.2直线与平面平行

考点学习目标核心素养

理解直线与平面平行的定义，会用图

形语言、文字语言、符号

语言准确描述直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定直观想象、逻辑推理

定理，会用直线与平面平

行的判定定理证明一些空间线面位置

关系

理解并能证明直线与平面平行的性质

定理，明确定理的条件，

直线与平面平行的性质直观想象、逻辑推理

能利用直线与平面平行的性质定理解

决有关的平行问题

■预习案，@@@

©研递:导学・尝试.4

◎问题导学

预习教材P135—P138的内容，思考以下问题：

1.直线与平面平行的判定定理是什么？

2.直线与平面平行的性质定理是什么？

1.直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平

文字语言

面平行

符号语言a-。，buQ,旦a"b0alia

——a

图形语言Z—N

■名师点拨...................................................................

用该定理判断直线a和平面a平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面a外，即aQ。.

⑵直线Z?在平面Q内，即bua.

(3)两直线a,b平行,即。〃

2.直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么

文字语言

该直线与交线平行

符号语言a//a,auB,aClB=bna//b

\pa\

图形语言

/b

■名师点拨...................................................................

(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：

①直线4与平面a平行，即a〃a；

②平面a,£相交于一条直线，即aCl夕=匕；

③直线a在平面£内，即au£.

以上三个条件缺一不可.

(2)定理的作用：

①线面平行=线线平行；

②画一条直线与已知直线平行.

(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得

到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想.

检测»

fl判断(正确的打“卜：错误的打“X”)

(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

(2)若直线/上有两点到平面a的距离相等，则/〃平面a.()

(3)若直线/与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线平行.()

(4)若直线a〃平面a,直线a〃直线江则直线匕〃平面a.()

(5)若直线a〃平面a,则直线a与平面a内任意一条直线都无公共点.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

»能保证直线a与平面a平行的条件是()

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BSa,C,D®b,S.AC//BD

D.aQa,bua,a//b

答案：D

❸如图，在三棱锥S-A8C中，E,尸分别是SB,SC上的点，且EF〃平面ABC,则()

A.EF与BC相交B.EF//BC

C.EF与8c异面D.以上均有可能

解析：选B.因为平面SBCC平面4BC=BC,又因为E尸〃平面ABC,所以EF〃BC.

0已知/,，〃是两条直线，。是平面，若要得到“/〃a”，则需要在条件“，"Ua,I//

W中另外添加的一个条件是.

解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“/《a”.

答案：/Qa

解惑•探究,突破

探究点包

直线与平面平行的判定

函厅1如图，在正方体48aMiBiGDi中，E,F,G分别是BC,CG，

BBi的中点，求证：EF〃平面AAG.

【证明】连接8G,则由E,尸分别是BC,CG的中点，知EF〃BC\.

又AB/ABiZOiG,所以四边形ABC。1是平行四边形，

所以BCi〃ADi,所以EF〃4D|.

又ERI平面ADiG,A£>iu平面A9G,

所以EF〃平面AD\G.

应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有:

①空间直线平行关系的传递性法;

②三角形中位线法；

③平行四边形法；

④成比例线段法.

［提醒］线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

跟踪训练

1.如图，下列正三棱柱4BC4SG中，若M,N,P分别为其所在棱的中点，则不能

得出A8〃平面MNP的是()

G

解析：选C.在题图A,B中，易知MNu平面MNP,ABC平面MNP,

所以A8〃平面MNP;在图D中，易知AB〃尸N,PNu平面MNP,ABC平面MNP,所以A8〃

平面MNP.

2.已知有公共边A8的两个全等的矩形ABC。和A8EF不同在一个平面内，P,。分别

是对角线A£8。上的点，且AP=£>Q.求证：P0〃平面CBE.

证明：如图，作PM//AB交8E于点M,作QN〃AB交8c于点N,

连接MV,则PM〃。/V,

PM_EPQN_BQ《

AB~EA'CD~BD--7/V

因为EA=8O,AP^DQ,

所以EP=BQ.

又因为AB=CD,所以PM!LQN,

所以四边形PMNQ是平行四边形，

所以PQ//MN.

又因为PQ(t平面CBE,MMz平面CBE,

所以「。〃平面CBE.

探究点画__________________________

线面平行性质定理的应用

他叼如图，尸是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在。M上

取一点G,过点G和AP作平面，交平面8OM于GH.求证：AP//GH.

/•\

【证明】如图，连接AC,交BQ于点0,连接M0.

因为四边形A8C。是平行四边形，

所以点。是AC的中点.

又因为点M是PC的中点，

所以AP〃OM.

又因为A因平面BOM,OMu平面8。例,

所以AP〃平面BDM.

因为平面以HGC平面BDM=GH,

APu平面例”G,所以AP〃GH.

驷倒痈用

利用；系乏，民事或5二泰量屋年行手-¥¥®"'

线面

平行：金比7/拿我5豆豆紊直鼻五入京市而

的性

质定［交的平面

理解

题的

步骤

尉跟踪训练;如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且以=3.尸在

棱以上，且AF=1,E在棱PQ上.若CE〃平面BDF,求PE：E。的值.

解：过点E作EG//FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O,

连接FO.

因为EG〃F£),EGC平面BDF,

尸。u平面BDF,

所以EG〃平面BDF,又EGCCE=E,CE〃平面BDF,EGu平面CGE,

CEu平面CGE,

所以平面CGE//平面BDF,

又CGu平面CGE,

所以CG〃平面BDF,

又平面8£)Fri平面A4C=FO,CGu平面P4C,

所以FO〃CG.又O为4c的中点，

所以F为AG的中点，

所以FG=GP=1,

即G是PF的中点，又EG//FD,

所以E为PO的中点，所以PE：EO=1：1.

》恻评案▼❿O侈国］验证•反馈•达标—.

1.已知6是平面a外的一条直线，下列条件中，可得出b〃a的是（）

A.b与a内的一条直线不相交

B.b与a内的两条直线不相交

C.匕与a内的无数条直线不相交

D.。与a内的所有直线不相交

解析：选D.若。与a内的所有直线不相交，即匕与a无公共点，故匕〃a.

2.给出下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行：

③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平

面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.

3.三棱台ABC-481cl中，直线与平面Ai8cl的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.在平面内D.不确定

解析：选B.在三棱台ABC-481cl中，AB//A\B\,ABC平面AiBG,A^u平面AHG,

所以A8〃平面Ai81cl.

4.如图，直三棱柱ABC-ABiG中，D是A8的中点.证明：BG〃平面4CD

证明：如图，连接AG交4c于点F,则F为AG的中点.

又。是AB的中点，连接DF,则DF//8cl.

因为。Fu平面ACC,8GG平面ACQ,所以BG〃平面ACD

[A基础达标]

I.下列选项中，一定能得出直线机与平面a平行的是（）

A.直线〃?在平面a外

B.直线m与平面a内的两条直线平行

C.平面a外的直线切与平面内的一条直线平行

D.直线m与平面a内的一条直线平行

解析：选C.选项A不符合题意，因为直线〃?在平面a外也包括直线与平面相交；选项

B与D不符合题意，因为缺少条件Mia；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直

线m与平面a平行，故选项C符合题意.

2.如图，已知S为四边形ABC。外一点，G,H分别为SB,BD1.於、

的点，若G"〃平面SCD,则（）/；

ZDXZT-7

A.GH//SA//

B.GH//SD

C.GH//SC

D.以上均有可能

解析：选A因为GH〃平面SCD,G”u平面SBD,平面SBCC平面SCD=SD,所以

GH//SD,显然GH与SA,SC均不平行，故选8.

3.已知直线a〃平面a,a〃平面夕，anfi=h,则”与仇）

A.相交B.平行

C.异面D.共面或异面

解析：选B.因为直线。〃a,a//H,所以在平面a,。中分别有一直线平行于a,不妨

设为nz,n,所以“〃m，a//n,所以机〃机又a,8相交，在平面a内，〃在平面4内，

所以，"〃夕，所以，“〃/?,所以a〃尻

4.在空间四边形ABCD中，E,F,G,”分别是A8,BC,CD,D4上的点，当80〃

平面EFGH时，下列结论中正确的是（）

A.E,F,G,，一定是各边的中点

B.G,H一定是CD,D4的中点

C.BE:EA=BF：FC,且DH:HA=DG：GC

D.AE:EB=AH:HD,且BF:FC=DG:GC

解析：选D.由于BO〃平面EFGH,由线面平行的性质定理，有BD〃EH,BD//FG,

则AE:EB=AH：HD,且BF:FC=DG:GC.

5.若直线/〃平面a,则过/作一组平面与a相交，记所得的交线分别为a,b,c,…,

那么这些交线的位置关系为（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

解析：选A.因为直线/〃平面a,所以根据直线与平面平行的性质知/〃氏/〃"l//c,…，

所以a〃匕〃c〃…，故选A.

6.在正方体ABC。481cl，中，E、F分别是对角线40、5口的中点，则正方体

6个表面中与直线EF平行的平面有________________.

解析：如图，连接4G,CiD,

所以F为4cl的中点，

在△4G。中，EF为中位线，

所以EF//CiD,又ERI平面C\CDD\,

GOu平面C\CDD\,所以E尸〃平面C\CDD\.

同理，EF〃平面AiSBA.

故与所平行的平面有平面GCDCi和平面A/iBA.

答案：平面CiCDA和平面A山1BA

7.如图，在正方体中，AB=2,点E为AD的中点，

点F在C。上.若EF〃平面A8C,则线段EF的长度等于________."室—r\

解析：因为在正方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,所以AC=2啦.'，二、;g

又E为AO的中点，EF〃平面ABC,EFu平面AOC,平面4OCC平面4B,

ABxC=AC,所以EF〃AC,

所以F为0c的中点，

所以EF=%C=也.

答案：也

8.如图，正方体ABS-AiBiGOi中，AB=2,点E为AC的中点，点FD

在C。上，若E/〃平面AB1C,则线段EF的长度等于.4仔

解析：因为EF〃平面ABC,EFu平面ACQ,平面ACCA平面A8C=0^

所以E尸〃AC,又E为AD的中点，48=2,

所以EF—^AC—^Xyj22+22—y]?..

答案：也

9.如图所示，四棱锥P-ABC。的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF=2FD,

求证：BE〃平面AFC.

证明：如图，连接8。，交AC于点。，取PF的中点G,连接EG,

ED,ED交CF于点、M,连接MO.

在△「（；尸中，E,G分别为PC,PF的中点,

则EG//FC.

在△ECG中，MF//EG,且尸为DG的中点，则M为的中点.

在△BED中，O,M分别为B。，EQ的中点，

则BE//MO.

又MOu平面AFC,8EQ平面AFC,所以BE〃平面AFC.

10.如图，在正方体ABCDAiBiGG中,E,F分别是棱5C,CD

的中点，求证：EF〃平面A,

解：如图，取。山।的中点0,连接OF,0B.

因为G,BE^BiCy,A

所以OF^LBE,所以四边形OFEB是平行四边形，所以E尸〃B0.

因为平面BOu平面BDDiBi,

所以EF〃平面BDD\B\.

D,F

AR

[B能力提升]

11.如图所示，在空间四边形ABCQ中，E,F,G,"分别是AB,BC,CD,D4上的

点，EH//FG,则与8。的位置关系是（）

A.平行

C.异面D.不确定

解析：选A.因为EH〃FG,FGu平面8C£）,EHQ平面BCD,所以E”〃平面BCD因为

EHu平面ABD,平面ABDC平面BCD=BD,所以EH//BD.

12.已知直线a〃平面a,P®a,那么过点P且平行于〃的直线（）

A.只有一条，不在平面a内

B.有无数条，一定不在a内

C.只有一条，一定在a内

D.有无数条，一定在a内

解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些

直线都过点P矛盾，因此只有一条.又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在

a内.

13.如图所示，P为矩形A8C。所在平面外一点，矩形对角线的交

点为0,M为PB的中点，给出五个结论：@0M//PD；②。何〃平面

PCD；③〃平面PD4；④0M〃平面P84；⑤0M〃平面P8C.其中

正确的个数是（）

A.1B.