2021年中考数学 一轮汇编正方形及四边形综合问题

2021中考数学一轮专题汇编：正方形及四边形

综合问题

一、选择题

i.下列说法错误的是（）

A.平行四边形的对边相等

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形

2.如图，四边形45CD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1,将O4QE

绕着点幺顺时针旋转到与口48尸重合，则£户=（）

A.vcnB.V42

C.5也D.2^

3.如图正方形48CQ中，E为AB中点，FE±AB,AF=2AE,FC交BD于点、O,

则NDOC的度数为（）

B.67.50

4.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的

点E处，折痕为GH,若BEDEC=2口1,则线段CH的长是（）

A.3A4C.5D.6

5.（2020.温州）如图，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,以其三边为边向外作正方

形，过点。作CRLPG于点R,再过点。作PQLCR分别交边DE,BH于点P,Q.若

QH=2PE,PQ=15,则CR的长为

A.14B.15C.D.675

6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线,E为AB上一点，过点E作EFDAD,

与AC、DC分别交于点G、F,H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列

结论：

AE2

①EG=DF；□□AEH+DADH=180°；DDEHFaDDHC；口若==不贝113s

At）J△HDH

=13SADHC，其中结论正确的有（）

41不A2个C3个D4个

I)

7.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3—1—10所示的正方形（用阴影表

示），点在轴上，点、E［、E,、、E、、E.在轴上.若正方形

/yq112C2,343x1111

的边长为1,Z51C1<9=60°,51ci〃52c2〃83c3，则点/到x轴的距离是（）

8.（2020・东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B

重合），对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：①△APE^^AME；

②PM+PN=AC；③PE?PF?尸。2；©APOF^ABNF；⑤点O在M、N两点

的连线上.其中正确的是（=）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

APB

二、填空题

9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置

（如图）,使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=.（结

果保留根号）

10.如图，四边形ZCD尸是正方形，NCE4和NZ8F都是直角且£,A,8三点

共线，AB=4,则阴影部分的面积是.

U.如图，E,尸是正方形48C。的对角线ZC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则

四边形BEDF的周长是_______.

12.口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACDBD,请添加一个条件：

，使得口ABCD为正方形.

13.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若口口=60。，BC=2,则点D的坐标是

14.如图，在正方形ABCD中，点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上，

g

点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则寸

＞正方形AEFG

的值等于.

15.如图，正方形ABCD的边长为2娘，对角线AC,BD相交于点O,E是0C

的中点,连接BE,过点A作AMDBE于点M,交BD于点F,则FM的长为

16.如图，有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在

边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D在正六边形内部(包

括边界)，则正方形边长a的取值范围是.

三、解答题

17.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQLBE于点Q,DP

±AQ于点P.

(1)求证：AP=BQ;

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线

段与较短线段长度的差等于PQ长.

-----------------KD

E

18.已知正方形ABCD中，BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF

=BE,连接AE、AF,过点A作AHDED于H点.

(1)求证：DADFDDABE；

⑵若BE=1,求tanZAED的值.

19.如图，在正方形中，E是。C边上一点(与C不重合)，连接ZE,

将口2。£沿ZE所在的直线折叠得到口幺庄，延长所交3c于点G,连接ZG,

作与ZE的延长线交于点〃，连接显然ZE是/。4F的平分线，

EA是NQE尸的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于

180。的角的平分线)，并说明理由.

20.已知，在RtO45C中，口4。8=90。，BC=AC,AB=6,。是45的中点，动

点E从点。出发，在48边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,

直线8G,FF相交于点N(点E向左运动时如图□，点£向右运动时如图口).

(1)在点E的运动过程中，直线8G与CQ的位置关系为；

(2)设。£=x,NB=y,求了与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图口，当的长度为时，求□皮咕的度数.

21.如图，在RtA4BC中，ZC=90°，幺C=8,8C=6,点尸在Z8上，幺尸=2.点

E、F同时从点P出发，分别沿PA,PB以每秒1个单位长度的速度向点A.B

匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B

时停止，点£也随之停止.在点£、厂运动过程中，以斯为边作正方形£以汨，

使它与△48C在线段4B的同侧.设£、/运动的时间为/秒。>0),正方形EFGH

与△4BC重叠部分的面积为S.

(1)当/=1时，正方形EEG8的边长是；当/=3时，正方形EFGH

的边长是;

(2)当1</W2时，求S与/的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当/为何值时，S最大？最大面积是多少？

2021中考数学一轮专题汇编：正方形及四边形

综合问题■答案

一'选择题

1.【答案】B

2.【答案】D［解析］由旋转的性质可知，

口ADE沿AABF,

：.BF=DE=l,：,FC=6,,：CE=4,.•.•=<f5r=\受=2\,日.故选:D.

3.【答案】A［解析］连接BE，.•£为48中点，FE1AB,.•.£/垂直平分48,

：.AF=BF.,：AF=2AE,

：.AF=AB,：.AF=BF=AB,:.口48尸为等边三角形,AZFBA=60°,BF=BC,：.

ZFCB=ZBFC=15°,,：四边形ABCD为正方形，

・•.ZDBC=45°,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得N

£><9C=15o+45o=60°.

4.【答案】B【解析】设CH=x,'：BE：EC=2D1,BC=9,：.EC=3,由折叠

可知，EH=DH=9-x,在Rt^ECH中，由勾股定理得：（9—x）2=32+x2,解得：

x=4.

5.【答案】A

【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDPs^CBQ,

所以生=£P,Cg=CD-PE；解得：BC=2CD,所以CQ=2CP,贝I］CP=5,

CBBQCBCB-2PE

CQ=10,由于PQ〃AB,所以NCBA=NBCQ=NDCP,则假"NBCQ=S"/

DCP=S“NCBA=1,不妨设DP=x，则DC=2x,在RrADCP中，尤2+（2x）2=25,

解得x=^：DC=2后，BC=4万，所以AB=10,4ABC的斜边上的高=

4cBe=2x/?x46=4,所以CR=14,所以因此本题选A.

AB10

6.【答案】D【解析】逐项分析如下表:

序号逐项分析正误

在正方形Z5CQ中，AB=BC=CD=DA,ZDAB=DB=

DBCD=nCDA=90°,ZACB=UACD=45°,,:EF〃AD,

①•••四边形EEC%、四边形EFC5是矩形，AZEFC=DADCV

=90°,EF=DC,在Rt^CGE中，ZACD=45°,：.GF=

CF,：.EF-GF=CD-CF,即EG=£>/

•；AGFC是等腰直角三角形，〃是CG的中点，I.GH=FH,

/HGF=QGFH=45。,：.ZEGH=DDFH=135°,又由□知

②EG=DF,.•.△EGA之ADF^SAS),ZHEF=DFDH,,：q

ZAEH=DAEF+DHEF=90°+DHEF,ZADH=DADC~

HFDH=90°-DFDH,：.ZAEH+DADH=180°

由□可知FH=CH,XDEF=DC,：.AEHF^/\

□q

£>HC(SSS)

□nnEGHDADFH,：.EH=DH,/EHG=UDHF,：.ZEHGV

+DAHD=DDHF+DAHD=9009BPDEHD=UAHF=90°9

4E2

••.△EX。为等腰直角二角形，•••幺^—3,・•.设ZE—2x,AB

=3x,则。£=4(2x)2+(3x)2=^13%,：.EH=DH=^

xy13x="；x,SEDH=\3DHC

1V1

中，设边上的高为〃，则＞，则

CO/z=MZ?E=ZS△"n"C=^ZCD-h

13

“2

1X3Smm不13on

—?x3xx—X2,^EDH——q,即3SED〃_13SDHC

2/43Jj曲DH/^DHC

△DHC-X2

7.【答案】Q，0)D解析：过小正方形的一个顶点。§作尸。轴于点。，过点

人作人尸，尸。于点R

1〃82c2〃83c3，

•.,正方形的边长为1,Z51C1O=60°,耳。

AZS3C3E4=60°,/。1。卢1=30。，NE282c2=30°，

111

.,.£)[£]=%]。]=],:.D[Ei=B,E,=',

1

.,.cos30°=12fz=-g^,解得：B2c2=R

：.B,E=\,COS30O=^TA

解得：83c3=1.

则2c3=；.

根据题意得出：

NO3c30=30。，ZC3D3Q=60°,ZA3D3F=30°,

111

••JD30=2X3=6,

FD〕Da-cos30。=；乂V=W.

33332O

则点名到X轴的距离

FQ=D3Q+FD=［+^=^\

8.［答案］B

t解薪】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，

灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，

全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和

性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.

：.ZAPE=ZAME=45°,'：PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=9Q°,

,:AE=AE,：./\APE^/\AME(ASA)；

②过点N作NQLZC于点0,则四边形尸NQE是矩形，...PNuE。，•.•正方形48cD,

AZPAE=ZMAE=45°,"JPMLAE,：.ZPEA=45°,：.ZR4E=ZAPE,PE=NQ,

••.△4PE等腰直角三角形，.•.ZE=PE,同理得:△NQC等腰直角三角形，.•.NQ=C0,

•；AAPE/AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,：.

PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即尸Af+PN=ZC成立；

③,?正方形ABCD,：.AC±BD,：./EOF是直角，过点P分别作AC.BD的

垂线，分别交NC、AD于点E、R•••NPEO和NPR9是直角，.•.四边形0R9E

是矩形，：.PF=OE,在R/Z\P£。中，WPE2+OE2=PO2,：.PE^+PFi=PCn,即

PE2+PF2=PO2成立；

④△3NF是等腰直角三角形，点尸不在48的中点时，^尸。尸不是等腰直角三

角形，所以^尸。尸与△5NF不一定相似，即△POES^BNF不一定成立；

⑤：是等腰直角三角形,丛PMNs丛AMP,：.是等腰直角三角形，

B/T

■:/MPN=90。,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=1-PN,：.AP=BP,.•.点尸是

22

48的中点，又为正方形的对称中点，.•.点。在M、N两点的连线上.综上，

①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B.

二、填空题

9.【答案】也-1［解析了.•四边形488为正方形，

：.CD=\,ZCDA=90°,

•••边长为1的正方形48co绕点C按顺时针方向旋转到正方形尸ECG的位置，

使得点D落在对角线C尸上，

，CF=&NCF£=45。，.•.□。口为等腰直角三角形，.•.Q8=£)P=CF-CO=Y2-1.

故答案为也-L

10.【答案】8［解析了.•四边形NCQ尸是正方形，

：.AC=AF,ZCAF=90°,：.ZCAE+ZBAF=90°,

又NCZE+NEG4=90。，

ZECA=ZBAF,则在DZCE和口久8中，

NAEC=，ABF=90%

，ECA=4BAF,

AC=AF，

.•.□ZCEdE£B(AAS),：.AB=CE=4,

・•・阴影部分的面积=。8・。£=94乂4=8.

11.【答案】8君［解析］如图，连接AD交ZC于点

・••四边形幺5CQ为正方形，J.BDLAC,OD=OB=OA=OC,

,:AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,即OE=OF,

四边形BEDF为平行四边形，且BDLEF,

...四边形尸为菱形，

：.DE=DF=BE=BF,

­：AC=BD=8,OE=OF=','=2,由勾股定理得:£>E="OD2+OENRd?+£=26,

：.四边形BEDF的周长=4DE=4x2出=8耳，故答案为:8杈

12.【答案】口及仞二切。（答案不唯一）【解析】□口ABCD的对角线AC与BD相

交于点O,且ACEJBD,.'RABCD是菱形，当口8人口=90。时，菱形ABCD为正

方形.故可添加条件：口8人口=90。.

13.【答案】（甲+2,7）【解析】如解图，过点D作DGC1BC于G，DF，x轴于

F,，.♦在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,二ABCD是等边三角形，

DF=CG=；BC=1,CF=DG=6.*.OF=>j3+2,.\D（^3+2,1）.

14.【答案】:【解析】设BD=3a，ZCDB=DCBD=45°,且四边形PQMN为

正方形，.•.DQ=PQ=QM=NM=MB,.•.正方形MNPQ的边长为a,正方形AEFG

131339

的对角线AF=,BD=]a,•・•正方形对角线互相垂直，「.S正方形AEFG=，x2aX]a=ga2,

S8

•正方形MNPQa92一--

,•s9

°正方形AEFG

8a

15.【答案】々【解析】□四边形ABCD为正方形，.•.AO=BO,ZAOF-DBOE

=90°,VAM1BE,ZAFO=DBFM,AZFAO=DEBO,在DAFO和DBEO中，

{nAOF=DBOE

|AO=BO,/.AAFO^ABEO(^S4),.*.FO=EO,•正方形ABCD的边

^□FAO=DEBO

长为2衣,E是OC的中点，.*.FO=EO=1=BF,BO=2,，在放ABOE中,

BE=qi2+22=#,由□FBM=DEBO,ZFMB=DEOB,可得口BFM"BEO,

FMBFFM1x/5

/,EO=BE,n即n丁=1'，，FM=5,

16.【答案】守口与一十【解析】DABCD是正方形，口人：6=。="人（2，口。的

取值范围与AC的长度直接相关.如解图口，当A,C两点恰好是正六边形一组

对边中点时，。的值最小，□正六边形的边长为1,DAC=艰，DAB=tz=^AC

=可;如解图口，连接MN,延长AE,BF交于点G,□正六边形和正方形ABCD,

□□MNG、DABG>DEFG为正三角形，设AE=BF=x,贝UAM=BN=1—x,

AG=BG=AB=l+x=a,DGM=MN=2,DBNM=60°,

BCa

UsinOBNM=sin60°=□小（]一x）=q,□娟（2—a）=a,解得，a=

^£•=3—^.□正方形边长a的取值范围是当土与一/

三、解答题

17.【答案】

（1）证明：□四边形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZBAQ+□DAP=90°=□DAB,

VDPXAQ,

AZDAP+DADP=90°,

AZBAQ=DADP.

在ADAP和DABQ中，

f□APD=DAQB=90°

1DADP=DBAQ,（2分）

〔AD=AB

/.ADAP^AABQ（^5）,

.\AP=BQ.（4分）

（2）解:DAQ和AP；（5分）

②DP和AP；（6分）

③AQ和BQ；（7分）

@DP和BQ.（8分）

【解法提示】□由题图直接得：AQ-AP=PQ；

②：AABQ^ADAP,

，AQ=DP,

.*.DP-AP=AQ-AP=PQ；

③：AABQ^ADAP,

，BQ=AP,

.*.AQ-BQ=AQ-AP=PQ；

④：AABQ^ADAP,

，DP=AQ,BQ=AP,

.,.DP-BQ=AQ-AP=PQ.

18.【答案】

⑴证荫：在DADF和DABE中，

1AB=AD

]DABE=DADF=90o,

〔EB=FD

△ADF^AABE（S45）.（3分）

（2）解：DAB=3,BE=1,

/.AE=^10,EC=4,

.,.ED=、CD2+EC2=5,（4分）

设AH=x,EH=y,

在AHE和AHD中，

X2+y2=10

<

、x2+（5—y）2=9'

解得，x=1.8,y=2.6,（6分）

AHx1.89

「・山〃NAED=EH=y=Z613-(8分)

19.【答案】

懈疝过点〃作HNLBM千N,利用正方形的性质及轴对称的性质，证明UABG

mLAFG,可推出ZG是N8N尸的平分线，GZ是N8G尸的平分线;证明口/BG四

△GNH,推出"V=CN,得至*/DCH=/NCH,推出CH是NQC”的平分线;再

证/HGN=ZEGH,可知GH是ZEGM的平分线.

解:过点H作HN±BM于N,

则N"VC=90。，

•••四边形4BCD为正方形，

：.AD=AB=BC,ZD=ZDAB=ZB=ZDCB=ZDCM=90°.

①,?将口幺。£沿AE所在的直线折叠得到口幺庄，

DADE^^AFE,

：.ZD=ZAFE=ZAFG=9Q°,AD=AF,/DAE=/E4E,：.AF=AB.

X'：AG=AG,

RtM5G2Rt』EG(HL),

AZBAG=ZE4G,ZAGB=ZAGF,

••.ZG是N84F的平分线，GN是N8G/的平分线.

②由①知，ZDAE=ZE4E,/BAG=/E4G,

又：ZBAD=90°,

：.ZGAF+ZEAF=^90°=45°,BPZGAH=45°.

'JGHLAG,

：.ZGHA=90°-ZGAH=45°,

...□ZG〃为等腰直角三角形，:.AG=GH.

VZAGB+ZBAG=90°,ZAGB+ZHGN=90°,

：.ZBAG=ZNGH.

XVZB=ZHNG=90°,AG=GH,

O48GdGMf(AAS),

：.BG=NH,AB=GN,：.BC=GN.

：.BC-CG=GN-CG,

：.BG=CN,：.CN=HN.

'：ZHNC=90°,

：./NCH=/NHC='、x9G。=45。,

：./DCH=/DCM-/NCH=45。,

：.ZDCH=ZNCH,

.'.CH是NQCW的平分线.

③ZJGB+/HGN=90。,/AGF+ZEGH=90°,

由①知，ZAGB=ZAGF,

：.ZHGN=ZEGH,

.••GH是NEGAf的平分线.

综上所述，ZG是N34F的平分线，GZ是N8GE的平分线，C”是NQCW的平

分线，GH是NEGW的平分线.

20.【答案】

⑴BGDCD；

【解法提示】□四边形EFGC是正方形，DCG=CE,DGCE=nGFE=nFEC=

90°,nnACB=DGCE=90°,DDGCB=HECA,DGC=CE,CB=CA,

□QCAEDnCBG.XnDACB=90o,BC=AC,。是Z5的中点，口口磁值二口口后

=45°,□50)=45°,nnCBG=DBCD,OBGOCD.

(1)UCB=CA,CDDAB,DACB=90°,

DCD=BD=AD=3,DCBA=nA=45°,

^j^DCAEnnCBG,

nnCBG=DA=45°,

□□GBA=□GBC+□CBA=90°.

□□5W+DSA®=90°,HBEN+nCED=90°,

nnBNE=DCED,

nnEBN=ncDE=90°,

□DNBEnDEDC,

BN_BE

UED=