2024新高考数学模拟试题及答案 (二)

一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）

1.在等差数列｛〃〃｝中，〃4+。8=20,%=12,则〃4=（）

A.4B.5C.6D.8

2.在等比数列｛4｝中，若。5=2,a3a8=%，则｛q｝的公比q=（）

A.V2B.2C.2^/2D.4

3.已知两条直线（：3x+y-5=0和（：x-今=0相互垂直，则4=（)

11C

A.-B.—C.-3D.3

33

4.已知椭圆C的一个焦点为（1,0）,且过点（0,6），则椭圆C的标准方程为（)

22222222

土+匕土+匕工+匕xy1

A,=1B.=1C,=1D.-----1-----二I

23433234

)

5.在等比数列｛4｝中，3a2a4=4a3,且。6=2%，则｛〃〃｝的前6项和为（

A.22B.24C.21D.27

6.已知尸是双曲线C：/=i的一个焦点，点p在c的渐近线上，。是坐标原点，口耳=2|PF|,则

△O尸尸的面积为（）

V3V21

A.1B.C.D.一

222

22

7.已知椭圆C：++今=1（a〉6〉0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）、F2（C,0）,若椭圆C上存在一点

P,使得APK工的内切圆的半径为£,则椭圆C的离心率的取值范围是（)

122

8.已知双曲线C：%=1（。〉0,6〉0）,点3的坐标为（0/），若C上的任意一点尸都满足归回》6,

则C的离心率取值范围是（）

二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得

2分，共20分）

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,%=1,则（）

A.%+%=2B.a3a7=1C.S9=9D.510=10

10,已知圆M：X2+/-4X+3=0,则下列说法正确的是（）

A.点（4,0）在随M内B.圆M关于x+3y-2=0对称

C.半径为GD.直线x—6y=0与圆M相切

22

11.已知双曲线二—==1（a〉0,b>0）的右焦点为尸，过点b且斜率为左（左W0）的直线/交双曲线

ab

于两点，线段AB的中垂线交x轴于点D若|A回三亚口司，则双曲线的离心率的值可能是（）

A.—B.A/2C.——D.^5

32

12.若数列｛4｝满足q=%=1，an=an_x+an_2（〃，3）,则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄

金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每

个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为为边长的正方形中的扇形

面积为％,数列｛〃｝的前“项和为S,,.则下列说法正确的是（）：

B.%023是奇数

C.02+44+〃6+•••+”2022~02023D•=~

“2023.%0244

三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）

13.数列｛4｝的通项公式an=.——I——-j=,若S,=9,则〃=.

14.已知直线/：y=x被圆C（%—3『+（y—1）2=/（〃>。）截得的弦长为2,则厂=.

22

15.已知椭圆C：。+2=1（。〉6〉0）的左、右两焦点分别是耳、F2,其中闺用=2C.椭圆C上存

cib

在一点A,满足丽•正=4,2,则椭圆的离心率的取值范围是.

22

16.已知A,B分别是椭圆E：土+乙=1的左、右顶点，C,O是椭圆上异于A,8的两点，若直线AC,BD

43

的斜率左,占满足匕=2左2，则直线CO过定点，定点坐标为.

四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）

17.在平面直角坐标系xOy中，圆G：（x+l）2+/=4与圆。2：/+（丁一3）2=10相交于尸，Q两点.

（1）求线段PQ的长；

（2）记圆G与x轴正半轴交于点M，点N在圆。2上滑动，求AMNG面积最大时的直线的方程.

18.已知等差数列｛4｝的前w项和为S,,4=3,也｝为等比数列,且4=1,bn>0,b2+S2=10,

S5=5b3+3a2，neN\

（1）求数列｛。“｝,也｝的通项公式；

（2）求数列｛4•〃｝的前w项和北.

19.已知半径为3的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x-3_y+7=0相切.

（1）求圆的方程;

（2）设直线。％-丁+4-2。=0与圆相交于48两点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线/过点P（3,-1）?若存在，求出实数。的

值；若不存在，请说明理由.

20.在平面直角坐标系xOy中，圆0］：（x+2）2+/=1,圆Q：（x-Z?+尸=1,点,一动圆M

与圆a内切、与圆Q外切.

（1）求动圆圆心M的轨迹方程E;

（2）是否存在一条过定点的动直线/,与（1）中的轨迹E交于A、B两点，并且满足“A_LHB?若存在，请

找出定点；若不存在，请说明理由.

21.已知等差数列｛4｝的前n项和为SR,且&=4,数列也｝的前n项之积为7；,4=；，且S”=log仃（7；）.

⑴求小

（2令%=%,求正整数n,使得“*=cn+%+i”与“c“是c”Jcn+1的等差中项”同时成立；

吼.........."',

⑶设d〃=2a,,+7,e〃=（T）（°"+2）,求数列｛e,J的前2〃项和心.

dndll+l-

22

22.已知椭圆C：3+卓=1（^〉〃〉。）的左、右焦点为耳、笈，|耳耳|=2百，尸为椭圆C上异于长轴

端点的一个动点，。为坐标原点，直线尸耳，PO,P8分别与椭圆C交于另外三点M,Q,N,当P为椭圆上

顶点时，有两=2刖.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求"+'些的最大值。

S\PQMS\PQN

1.C

【分析】由等差数列的性质得到。5=8,从而求出公差，得到答案.

【详解】由等差数列的性质可知/+/=%+%=20,

又%=12,故〃§=8,

设等差数列的公差为d,则1=生*=经避=2,

7-52

所以%=a「d=8—2=6.

故选：C

2.B

【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.

【详解】｛4｝是等比数列，

依题意，%=2,a3a8==2。6=。7，所以q=S=2.

4

故选：B

3.D

【分析】根据两直线垂直需满足的条件建立关于a的方程求解即可.

【详解】直线心3x+y-5=0和小x-今=0相互垂直，

贝U3xl+lx（—。）=0,解得a=3.

故选：D.

4.B

【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.

22

【详解】根据题意，椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为：5+==1（。〉6〉0）,显然c=l,b=也,

ab

22

则。2=/+°2=4,故椭圆方程为工+21=1.

43

故选：B.

5.C

【分析】利用等比中项的性质求出生的值，求出等比数列｛。“｝的公比4,进而求出％的值，再利用等比数列

求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为q,则qwO,且对任意的〃wN*,

94

由302a4=4%可得3%=4/，解得=—,

因为。6=2%，则q="=2,所以，ax=^-=—x—=—f

a5q343

g。-2，）

因此，｛4｝的前6项和为；；）=3、2=21.

故选：C.

6.B

【分析】根据给定条件求出NPOF,再利用余弦定理求出|。尸|即可计算作答.

【详解】双曲线C：y-y2=l^,|OF|=2,其渐近线y=土与，它与x轴的夹角为30°,即ZPOF=30°,

在AOPE中，|O可=2|尸目=2,由余弦定理得：|「产『=|。呼+|。尸「―2|04|0刊cos/POP,

即F=|op「+22—2|O斗2cos30。，整理得：|。砰—26|。尸|+3=0,解得10Pl=百,

所以AOPF的面积为S^OPF=1|OP|-|OF|sinZPOF=：xgx2xsin30。=日.

故选：B

7.A

【分析】利用面积相等，得到=由此得到卜“|<6,消去乩整理化简求出离心率的取值

范围.

【详解】可明月的面积为5闺6卜|加|，因为AM4耳的内切圆半径为耳，所以8面积可表示为

解得|%|=三，因为|为|W6,所以专

两边平方得：［看］Wb?,又因为o2,

整理得：5c2+2。。一3。2W0,

因为e=£,不等式两边同时除以得：5e2+2e-3<0：

a

3

解得：0<eW—,

5

故选：A

8.A

【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】设P（羽y）,|尸苗21nJ%。+（,-FJ力匕=%2+J_2勿三o（*）,

22(#

占％y122

由一z-----w—1n%=〃1+=，代入不等式*中,

ab

「2

化简，得正丁―2勿+/巳0恒成立,

4〃「2

则有A=4b2---------W0=>/wa2c2=>b2W。。=>H/Wac=>/-e—1W0,

b

々4i—Vs,々i+y/5二匚i、i1-1+Vs

解得------WeW------，而e>l,所以l<eW----------

222

故选：A

【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于〃，4c中任意两

个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可.

9.AC

【分析】根据等差中项的性质可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，a2+a^=2a5=2,A对；

对于B选项，设等差数列｛g｝的公差为d,

则a3a7=（%—2d）（%+2d）=a；-4屋二1—4dNW1,B错；

对于C选项,S9=9（工为）=9%=9,C对；

对于D选项，$0=S9+〃1（）=9+40,Si。的值无法确定，D错.

故选：AC.

10.BD

【分析】A选项，代入点坐标，大于0,表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项,

配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解.

【详解】尤2+/—4x+3=0整理得：（x—2『+/=1,

,/x=4,y=0时％2+/一4》+3=3〉0,...点（4,0）在圆M外，A错;

;圆心M（2,0）在直线x+3y—2=0上，...圆M关于x+3y—2=0对称，B对;

•.,圆M半径为1,故C错;

•.•圆心”（2,0）到直线x-V3y=0的距离为d==1,与半径相等,

直线龙—Gy=0与圆M相切，D对.

故选：BD.

11.BC

【分析】根据题意利用韦达定理求|A用以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和0司，结合

\AB\^4I\DF\运算求解即可.

【详解】设双曲线的右焦点为E（GO），A（XQJ,3（%,%），则直线/：y=k（x-c）,

22

%y—i

联立方程4,消去y得：2左2)%2+2〃2左20%—〃2(攵2C2+52)=0,

y-k(x-c

,oo201k2ca2(k2c2+b2)

则可得。2一/k2wo,A〉0,+x"KcX——L_

12b2-a-k-Jb--a2k2

■(201k2cTa2(k2c2+b2)2加0+42)

则|A3|=J1+/

b2-a2k2Jb2-a2k2|/?2-下对

设线段AB的中点”（不,为），

22222

则七二&±也akc/x(akc)bkc

右声％=小。-。)=(右密-cj=一丁前,

a2k2cb2kc'

即M—

b2-a2k-b~―/吃

且左WO,线段AB的中垂线的斜率为-工,

k

a2k2c'

则线段AB的中垂线所在直线方程为y+x+

.：.112

b-ak

ni|Nkc_1(a2k2c'k2c2

令y=0,解得x=—

b2-a2k2b2-a2k\b1—a2k°

(左23\k2c3b-cii+k1}

即。--~^,0,则=_kC=IJ,,，

I-a2k2)11b2-a2k2\b2-ak2\

,「,2ab-(l+k2)回c(l+左2)

由题意可得：|4回巳行|。用，即2对上「_云2「

o_

整理得2。2也c,则e=£W—=后，

a<2

注意到双曲线的离心率e〉l,

故选：BC.

【点睛】方法定睛：双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把b用°,

c代换，求e的值（或范围）.

12.ABD

【分析】根据递推公式求出。8即可判断A;观察数列的奇偶特点即可判断B；根据递推公式，结合累加法即可

判断C；根据递推公式可得a;=anan=anan+i-anan_1,结合累加法计算即可判断D.

【详解】对于A,由q=l,a2=1,且a“一2（"23,〃eN*）,可得斐波那契数列：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,……故网=21,故A正确；

对于B：由斐波那契数列：：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.......,

可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数,且2023=3x674+1,所以出023是奇数，故B正确；

又寸于C•因Cl?=。3"1；口4=05；***〃2022="〃202342021'

相加可得：%+。4+“6+…+。2022=〃2023—1，故C错误；

对于D：因为斐波那契数列总满足g=4_I+%_2（〃23,〃£N*）,且q=%=l,

所以〃；=a2al，

。2~。2。2~~〃2(。31])=02a302al，

(X3=a3a3~~O3(〃4〃2)=^3^4a3a2，

类似的有,a：=anan=an(tz„+1-a”-)=anan+l-anan_x,

其中〃N2.

累加得a：+a；+a；----Fa；=un-an+i,

Sc“=W〃"(/。]2+%2+…+%2\)=兀

故：S2023=乌,故口正确.

°20234。20244

故答案为：ABD

【点睛】关键点睛：本题的关键是理解斐波那契数列的特点，直接计算可判断AB,利用累加法即可判断CD

13.99

【分析】利用裂项相消法进行求解即可.

【详解】因为4=^^~尸=而斤—血，

Vn+1+

所以S“=（后_1+G-后+…+标^_伺=9,

即Jn+1—l=9=>n+l=100=>??=99,

故答案为：99

14.V3

【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案.

【详解】由圆的方程（x—3）2+（丁一1）2=尸，则其圆心为（3,1）,

圆心到直线的距离d==弦长的一半为1,厂='（可+F=料,

故答案为：G

1CP>/6后

65

【分析】由福•正=4°2易知A点在以（0,0）为圆心，半径为&c的圆上，即可得圆片+才=5C2与椭圆

0+4=1有交点，需满足8W6CWa,可得离心率ee

65

【详解】由A耳,Ag=4，可得（一0一元],一%）.（°一%],一%）=%；一02+/2=4，,

可得%；+弁=5。2,即A点在以（0,0）为圆心，半径为6c的圆上；

22

又A点在椭圆上，即可得圆X；+才=5c2与椭圆0+白=1有交点，

根据对称性可知6W6cWa,即5c2W/W6c2,所以可得离心率ee—

65

已知椭圆方程:

已知A（-2,0）,5（2,0）,左]=2左2，则儿：>=匕（》+2）,lBD：y=k2[x-2^.

设C（%,〉c），。区，力）・

联立椭圆方程与lAC：（3+4左：+16代x+（-12+16左；）=0

因为匕=2左2，

.6—8k；6-32^

••x=-----——--------，

c3+4将3+16代

6-32k；24k.

联立椭圆方程与（3+4人:》2—16左2?x+(—12+16%2)=0

得XB+X。=----^7

BD3+4V

-16』16」—6+8左2?

7

L春天一“一K3+4修

'-6+8左2?-1242'

，D

、3+442?，3+的2,

2

6-32k；24k2f-6+8fe2-1242、

由得,l：9k、x+(8左2?—3)y+6k2=0

C,D22CD

[3+4)t2^+^,；

即8%y+(9x+6)比2—3y=0过定点f,0j.

17.

6Vio

(1)PQ=

5

(2)x+2y-l=0或2x—y—2=0

【详解】

（i）已知圆G的圆心为G（—L0），半径为彳=2

已知圆。2的圆心为。2（°，3），半径为々=而

所以公共弦对应的直线方程为：x+3y-l=0

圆心G到％+3y—1=0的距离为4=半

所以PQ=2M一/=^2

(2)”(1,0),C2(O,3),当AMNG的面积最大时，NC2±MC,

所以N(—3,2)或N(3,4),所以MV方程：x+2y-l=0或2x-y-2=0

x

18.(1)an=2n+l,bn=T-,“eN*；(2)7；=(2H-1)2"+1

【分析】

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也,｝的公比为4,根据题设条件列方程组求出d,q的值，从而

求出数列｛4｝,也｝的通项公式;

（2）根据数列数列｛a,•〃｝的通项构成特点，可由错位相减法求数列｛an-b,,｝的前w项和7；.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也｝的公比为小

*q+2q+d=10

由题意可得：!

5q+5；乂1=5如2+3(4+d)

17

解得4=2或4=—《（舍去），d=2.

・・・数列｛%｝的通项公式是=2〃+1,neN*

数列低｝的通项公式是bn=2"T,nsN*.

12-1

(2)Tn=3-2°+5-2+7-2+……+(2//+1)2"

23

2Tn=3-21+5-2+7-2+……+(2H+1)2\

A-7；=3-2°+2-21+2-22+……+2-2"-1-(2n+l)2n=2n+1-l-(2n+l)2"

,,

：.Tn=(2n-l)2+l,n&N*

后、(匕)

2V7

19.(1)(X-2)+/=9；(2)-00,--U—,+oo；(3)。=1

33

77

【详解】

（1）设圆心为"（天,（））,且％是整数.则点（%,0）到直线4x-3y+7=0的距离为3.

得|4%+7|=3,所以％2.

轨迹方程：（X-2）2+/=9

（2）联立轨迹方程与直线方程，（x—2『+y2=9与ax—y+4—2。=0

、

因为直线与圆有两个交点，所以A〉0,得。e_00,------U，+8

3-----33

7

（3）设/的方程为y=—：（》—3）—1

由于直线/垂直平分弦AB,故圆心M（2,0）必在/上，所以a=l.

20.

2

(1)x2=l(x-1)

(2)存在，过定点(-2,0)

【分析】(1)由题意得|MQH〃a|=2,则动圆圆心M的轨迹是以a，Q为焦点，实轴长为2的双曲线

的左支，可得a=l,c=2,b1=4-1=3,即可得出结果；

2

(2)设直线/为x=+代入V—4=1,并整理得(3疗一1)/+6加町；+3〃2—3=0,设4(和％),

3(乙,%),由题知迈•加=0,即王马―(%+%2)+%%+1=0，结合韦达定理求得“，代入直线方程即

可得出答案.

【详解】(i)由圆a方程知：圆心a(—2,0),半径6=i；由圆&方程知：圆心a(2,o)，半径2=1，

设动圆〃的半径为「，

-t

•动圆〃与圆a内切，与圆&外切，，阿a|=r—i，阿勾=r+1，

：.\MO,\-\MOl\=2,且2<|。02|=4，

.•.动圆圆心M的轨迹是以。1，Q为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，

a—1,c—2,b2=4—1=3,

2

.•.动圆圆心M的轨迹方程E为：x2_1_=i(xW—1).

(2)设直线/为1=冲+几，

2

把％=加y+〃代入--2—=1,并整理得(3加2—I)>？+6mny+3n2-3=0,

A=36m2n2-4（3m2-l）（3n2-3）>0,BP3m2+n2-l>0,

设3（%,%）,则%+%=£'

XjX2=（冲］+〃）（冲2+〃）=加2%%+加〃（%+%）+〃2

3n2—3-6mn-3m2-n2

=m2x——--Fmnx——---Fn2>0,所以3加2—1<0

3m2-13m2-13m2-1

（%+%）+2，=，""+2〃=—<。，

xx+x2=（加％+〃）+（加％+〃）=加

所以〃<0，

HALHB,：.HAHB=G,-1）（%T）+X%=。，

石元2—（再+%2）+X%+1=0，

.-3m2-n2—2n3n~-3

——+―5—+1=0即/+2=0,解得“=-2或〃=1,

3m2-13m2-13m2-1

当〃=1时，直线/为x=//zy+l,过不合题意，舍去;

当“=-2时，直线/为x=my-2,过定点(一2,0).

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(％,%),(%,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算A；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为玉+々、XxX2(或以+为、%>2)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

/I—\n-3n

21-⑴方=(码

(2)存在，〃=4符合题意，理由见解析.

/、一4〃

（3）------

24〃+9

【分析】

(1)根据题意求％,d,进而可求见,Sn,即可得结果;

n2-3n

(2)根据(=求勿，即可得g，根据题意结合等差中项分析运算.

【详解】(1)由S"=log/7；),

令〃=1,得q=S]=log](()=21og3(4)=21og3工=-2,即％=—2,

323

设等差数列｛为｝的公差为d,

%=%+3d=4,解得d=2,

.c〃(4+4)〃(-2+2〃-4)2&

=几

・・=-2+2(〃-1)=2〃­4，Sn=-----------=------------------一3〃,

即log*)=〃2_3〃,可得看二㈣"2』.

(2)存在，理由如下：

/1-\n2-3n

由⑴可得：TN=3，

2

/I-\(n-l)2-3(n-l)/I-\n-5n+4

当时，贝口i=(6)=(V3),

可得a=干=(百广4=3「2；

当”=1时，4=g也满足上式，所以d=3『2(“eN*).

4；2〃-4

故％

么一A?

nn2n-62n-4In-25/日.

要使%T=C,+C,+1成立,

即文〃-3=QM—2QW—1解得〃=4,

242、#

此时％=§，c4=-%=§，满足：2c4=q+G