总体离散程度的估计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计年级：高一学科：数学（人教Ａ版）问题1

有两位射击运动员在一次射击测试中各射击10次，每次命中的环数如下：甲：乙：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择?787954910749578768

6777777771.24甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，乙比甲的射击成绩稳定．如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手；如果两人的成绩都排在后面，希望比赛时有突出表现，可以选择甲选手．追问：为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩?由此估计甲运动员成绩的方差

，乙运动员成绩的方差．

方差：每个数据与其平均数的差的平方的平均数，记为

s2.

极差:数据的最大值与最小值的差.

反映数据的波动范围．极差在一定程度上刻画了数据的离散程度．极差所含的信息量很少．平均距离:每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数

平均距离越大，数据的离散程度越大；平均距离越小，数据的离散程度越小．平均距离计算公式中含有绝对值，计算不方便．问题2

除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量吗?问题3

问题1中方差的单位是什么?方差(标准差)用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的程度).在样本容量相同的情况下,方差(标准差)越大,说明数据的波动越大,越不稳定.

方差(标准差)越小,说明数据的波动越小,越稳定.标准差：方差的算术平方根，记为

s.

问题4

方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为0，这组数据有什么特点？因为方差是平方和的形式，标准差是方差的算术平方根，所以方差和标准差都是非负数.方差（标准差）为0的一组数据的特点是这组数据中所有数据都相等.总体方差的计算12能获得总体中所有个体的观测值：直接计算总体的方差获得总体中所有个体的观测值困难：

解：

根据方差的定义，总样本方差为

已知

由

可得

同理可得（1）

因此

（2）人数平均数方差男生23170.612.59女生27160.638.62总体50追问：比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么?你能解释在估计全校学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗?总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差．相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好．男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好．165.251.47追问：三组数据汇总后的数据方差如何计算呢？更多组呢？问题6

如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢?

问题7

平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起，是否能反映数据取值的信息．小结

通过平均数和标准差两个统计量，可以得到大部分数据的取值范围

．方差越大，则这个区间越大；方差越小，则这个区间也越小．总体离散程度的估计极差一组数据中最大值与最小值的差.方差标准差

或分层随机抽样总体样本方差的计算估计样本中绝大部分数据的取值范围应用

2．某学校有高中学生500

人，其中男生320

人，女生180

人．有人希望获得全体高中学生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本量为50的样本，并计算得男生身高的样本均值为173．