海南省华侨中学2023届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)

海南省华侨中学2023届高三第一次模拟考试数学试题

学校：姓名:班级：考号：

一、选择题

1、已知集合4=丁卜=1081阳0<%<1卜5={,|丁=2。%<0},则A8等于（）

、2,

A.1y[O<y<g}B.{y|O<y<l}

C.卜D.①

2、设a力为实数,若复数9=1+力则（）

a+bi

31

A.〃=一,/?=—B.〃=3,b=l

22

13

C・a=—,b=—D.Q=1,/?=3

22

3、点（1,2）关于直线x+y-2=0的对称点是（）

A.（1,0）B.（O,l）C.（O,-l）D.（2,l）

4、在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的

上、下底面平行,且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示

的曲池，它的高为2,A4,8耳，CG，DR均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半

径分别为1和2,对应的圆心角为90。,则图中异面直线A及与CR所成角的余弦值为（）

5、在等比数列{%}中,卬+4=4,若4、为+2、%成等差数列，则{4}的公比为（）

A.2B.3C.4D.5

6、已知△ABC是边长为1的正三角形，8£)=2。。，45+4。=24£，则4£.人。=()

A.lB.-C.-D.1

428

7、若对函数/(%)=2x—sinx的图象上任意一点处的切线人,函数g(x)=me*+(zn-2卜

的图象上总存在一点处的切线小使得(，，2,则机的取值范围是()

A'[-f，0]B[。。C.(—1,0)D.(0,1)

8、已知a=sinC,b=2,c=早(e为自然对数的底数)，则()

eeV7i

'a>b>cB.b>c>aC.c>a>ba>c

二、多项选择题

9、已知直线乙:4x-3y+4=0,Z2:(m+2)x-(m+1)+2m+5=0(meR)贝！J()

A.直线4过定点(-2,-1)

B.当机=1时,6±l2

C.当机=2时,4/〃2

D.当/"4时,两直线IJ之间的距离为1

10、已知函数/(x)=sin%-acosM^eR)的图象关于直线％=-弓对称，则()

入〃工)的最小正周期为2兀

B.〃x)在4(上单调递增

C./(力的图象关于点院,对称

D.若/(%)+/(%2)=。，且/(%)在(%1，%2)上无极值点，则+引的最小值为会

11、已知正实数。力满足H+a+Z，=8,下列说法正确的是()

A.M的最大值为2B.q+b的最小值为4

C.a+2/?的最小值为60-3D.q0+[)+石的最小值为:

12、正方体ABCD-A4G。]的棱长是2，M、N分别是A3、3c的中点，则下列结论正确

的是()

1B.C

B.以D1为球心,75为半径的球面与侧面3CC]4的交线长是7t

C.平面D[MN截正方体所得的截面周长是72+2713

D.2片与平面D.MN所成的角的正切值是72

三、填空题

13、已知直线/的方向向量为“=(1,0,21点4(0,1,1)在直线/上，则点P(l,2,2)到直线/

的距离为.

14^求和：]+——H-------------HH---------------------=.

1+21+2+31+2+3++n

15、如图,正方形A3CD的边长为1/、。分别为边3C、CD上的点，当△CPQ的周长是

2,则ZPAQ的大小为.

16、已知函数〃尤)及其导函数广⑴的定义域均为R,若((尤+1)和〃x+2)+2均为奇

函数，则/⑴+〃2)+"3)+…+/(2023)=.

四、解答题

17、已知△AB。的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,a=2币,b=2且

百cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0-

D

CVA

(1)求A;

(2)设D为3c边上一点，且AD_LAC，求△ABD的面积.

18、2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点

工作的意见》(也称“强基计划”),《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招

生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合

素质优秀或基础学科拔尖的学生,据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中

通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且

每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为L该考生

2

报考乙大学,每门科目通过的概率依次工,三网,其中o(加＜1.

33

⑴若求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；

2

(2)“强基计戈/规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的数学

期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围.

19、如图,四棱锥p—ABCD的底面为正方形,PD_L平面A3CD,p£)=AD=2,般是侧面

P3C上一点.

P

(1)过点M作一个截面a，使得以与都与a平行.作出a与四棱锥P—ABCD表面的

交线，并证明；

(2)设BM=ABC+-BP，其中;Ie[0,”若PB与平面MCD所成角的正弦值为叵，求2

225

的值.

20、已知｛an｝为等差数列，前n项和为Sn，若S4=4S2,aln=2an+\

⑴求

⑵对VmeN*，将｛%｝中落入区间(2122”)内项的个数记为也求的和.

21、如图，过点F(1,O)和点E(4,0)的两条平行线乙和4分别交抛物线/=4x于A,B和

C,D(其中A,C在x轴的上方)交x轴于点G

(1)求证：点C、点。的纵坐标乘积为定值；

q1

(2)分别记AABG和△COG的面积为航和S?,当?=：时,求直线AD的方程.

§24

22、已知函数=Q(e*++2().

⑴证明：/(%)存在唯一零点；

x

⑵设g(%)=ac+尤,若存在%,马6(-1，+°o)使得/(X)=g(%)-g(冗2〉证明：

项—2X2>l-21n2.

参考答案

1、答案：B

解析：由对数函数y=iog[X是单调减函数，结合图象可得

2

A=J.y\y=log£x,0<x<l}=3y>0},

、2,

根据指数函数y=2,是单调增函数，结合图象可得

B=2\%<0}={y|0<J<1),

A5={九>0}{y|O<y<l}={y|O<y<l).

故选：B.

2、答案：A

解析：由上2=i+i可得l+2i=(a)+(a+〃)i,所以一=解得。=3方」,

a+bi\J\Ja+b=222

故选A.

3、答案：B

解析：设点4(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是B(a,b),

上=1

则有八c解得a=02=l，

3+3_2=0

[22

故点(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是(0,1).

故选：B.

4、答案：C

解析：设上底面圆心为孰,下底面圆心为。，连接。。，。。，。员以O为坐标原点,

分别以0c。叫oq所在直线为x,y,z轴健立空间直角坐标系，如图所示:

则C(1,O,O),A(0,2,0),4(0,1,2),A(2,0,2),

所以CD】=(1,0,2)，股=(0,-1,2)，

CD】•A31_4_4

cos<CD】,AB1>-

|CQ|.|A4「6君一不

又因为异面直线所成的角的范围为（0,手，

所以异面直线AB,与所成角的余弦值为

5

故选：C.

5、答案：B

解析：设等比数列｛4｝的公比为q,则qwO,

由题意可得2（为+2）=q+%,即2a2+q+g=4+%，则a3=3al，故4=%=3.

故选：B.

6、答案：A

解析：由AB+AC=2AE，可知E为3c中点，所以AE±BC,如图所示：

因为=2DC,根据上图可知">=AE+=AE+'3C

AE-AD=AE-^AE+^BC^=\AE^=^

故选：A.

7、答案：D

解析：由/(%)=2x-sinx,得/(%)=2-cosx£0,31所以--------£一1一；=A，

2—cosx

由g(x)=mex+(m—2)x,得g'(x)=冽e"+m—2,设该导函数值域为B,

⑴当加>0时，导函数单调递增,gf(x)e(m-2,+oo),

由题意得(石皿)=一，

V%,3X2,Lg'(%2)=-"JAoB

故加一2<-1，解得0<加<1；

(2)当机<0时，导函数单调递减,g，(x)2),同理可得根-2>-；,与机<0矛盾，舍

去；

(3)当m=0时,不符合题意.

综上所述：机的取值范围为(0,1).

故选：D.

8、答案：A

解析：因为工〈/〈工,所以q=sin巴〉sin巴=立，

3e2e32

Xe>—,/?=—<—<，所以a>b，

2e52

设〃x)=F，则尸.)=匕*，由r(x)>0,可得0<x<e，函数/(%)单调递增，

由/'("<0,可得x〉e,函数“力函数单调递减，

所以/(%)</⑻―竽<’,所以冷|,即…，

所以a〉Z?>c.

故选：A.

9、答案：CD

解析：依题意，直线/,:(x-y+2)m+(2x-y+5)=0,由1"'+2=0解得：P=-3,g

[2x-y+5=0[y=-1

此直线4恒过定点(-3,-1),A不正确;

当机=1时，直线4：3%一2y+7=0,而直线4:4x—3y+4=0,显然3x4+(—2)x(—3)w0,即直

线4,4不垂直,B不正确;

当机=2时，直线4：4x—3y+9=0,而直线4:4x—3y+4=0,显然：w[,即//4C正

确;

m+2_—(m+1)w2m+5

当《/〃2时，有，解得加=2,即直线个以-3y+9=0,

4-34

19-41

因此直线4,4之间的距离d=J1=1,D正确.

一V42+(-3)2

故选：CD

10、答案：ACD

解析：因为函数/(x)=sinx-Qcos%(a£R)的图象关于直线％=-三对称,

6

所以〃0)=/，即一4=sinacos，解得a-6，

(1.V3〕

/(x)=sinx-^cosx=2—sinx------cosx=2sin(

"2J

7171

且/2sin=—2,

6~3

对于A,丁=2兀，故A正确;

71

对于W'所以x——e0

33''

因为y=sinx在工£—上单调递减，在xe--,0上单调递增，故B错误;

322

7171

对于c,f2sin=0,故C正确;

对于口,根据题意/(%)+/5)=0,且函数/(%)在(%,光2)上单调.

71一

若/(再)+/(入2)=°，则2s叫%!--=-2sinfx21—2sinI—%2+§)，

3

可得X1—1=-x2+g+E或者Xj-j=-x2+三+兀+E,左eZ,

2兀

即玉+w———F2kli，左£Z,

当k=0时,归+到的最小值为年.

因为函数〃%）在（周㈤上单调，即/'（X）=2COS,T]在（再㈤上无零点，

因为尸（x）=2cos1-的半周期为兀，在（七,%）上无零点，则归+司的最小值为年满

足题意，故D正确.

故选:ACD.

11、答案：BCD

解析：对于ab+a+b=^>ab+2yfab，

即+2y[ab-8<0-4<y/ab<2，

又因为正实数。力，所以0<益<2，

则有必<4,当且仅当〃=b=2时取得等号，故A错误；

对于B，ab+〃+b=8<（〃；』）+（〃+人），

艮口（〃+人）2+4（〃+人）一3220,解得〃+/?<—8（舍）a+Z?N4,

当且仅当a=b=2时取得等号，故B正确；

对于C由题可得优〃+1）=8—〃所以人二女工>0,解得0<〃<8,

Q+1

a+2b=a+2^-=a+---2=a+l+—--3>2.L+1）--3=6^-3,

a+1a+1tz+1ytz+1

当且仅当a+1=S即a=3后.1时取得等号，故C正确；

a+1

“工c11111「/71、711cba(b+1)1小c、1

对于D,------+—=--------+-[〃S+1)+Z7]=—2+------+----->-(2+2)=—,

〃s+l)b8[〃S+1)Z?JL」8[〃S+1)Z?J82

当且仅当一处=人=4,a=4时取得等号，故D正确，

a(b+1)bb+15

故选:BCD.

12、答案：AC

解析：以点A为坐标原点,A3、AD.A4]所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

对于A选项,A(0,2,2)、M(1,0,0).4(2,0,2)、C(2,2,0),

RM=(1,-2,-2),BXC=(0,2,—2b则DXM.=0—4+4=0,，，与C,A对；

对于B选项，因为"Ci，平面B4GC，

所以，以9为球心，百为半径的球面与侧面3CG用的交线是以点G为圆心，半径为

75-GD；=1的:圆,

故交线长为工X71X1=&,B错;

22

对于D选项,易知点4(2,0,2)、A(0,2,2)、M(1,0,0)、N(2,l,0),

设平面D[MN的法向量为n=(x,y,z),AGV=(1,1,0),DXM=(1,-2,-2),

.[n-MN=x-^-y=Q口B/、

则n|，取％=2,可得n=(2,-2,3),

n-D1M=x—2y—2z=0

,、nnBRn-82V2

42=(-2,2,。),3＜加,

设直线4。与平面D]MN所成角为。，则sin。=逑，

V17

2

所以,cos9=Vl-sin0=，故tang=包£=马尼，

017cos。3

因此,与平面D[MN所成的角的正切值是a1,D错.

3

对于C选项,设平面2MN交棱AA|于点£(0,0,0其中0WY2,ME=(-L01),

因为"Eu平面2MN,所以,腔.“=—2+3/=0，解得”：，即点£[0,0，|)

同理可知，平面RMN交棱Cq于点/12,2,|),

由空间中两点间的距离公式可得旧石口可卜小+於-oy+1-1]、手,

同理可得卜|人叫=^^^^=后，

因此,平面D[MN截正方体所得的截面为五边形D[EMNF,

其周长是6'+2义=A/2+2y/13,C对.

故选：AC.

13、答案：叵

5

解析：AP=(1,1,1),

点P（l,2,2）到/的距离为d=网sin9,AP）=6x曰=g

故答案为：叵.

5

14、答案：

n+1

解析：易知该数列的通项q=---------i---------==—=2(工--一),

1+2+3++nn(n+1)nn+1

故该数列的前〃项和1+」一+—--+-------------

1+21+2+31+2+3++〃

为2[(1-L)+d-L+d-工)++(----)]=2[1--—]=

22334nn+1n+1n+1

15、答案：王

4

解析：设NB4B=1,NQAD=，则P3=tana,DQ=tan，

则CP=l-tane，CQ=l-tan/7

PQ=yl(l-tana)2+(l-tan^)2，

r.2=1-tantz+1-tan尸+5/(1-tana)2+(1-tan/3)2

tana+tan尸=^(l-tancr)2+(l-tanj3)2

tan(Z+tan/7=1-tan(Z-tan/?

即tan((z+/3)-l,:.a+3-—ZPAQ=—.

44

故答案为：三.

4

16、答案：-4046

解析：因为/'(x+i)为奇函数，则r(x)关于点(1,0)中心对称，

所以“对关于直线X=1对称，

所以"1-x)=〃l+x),

令下(x)=/(x)+2,

则b(1—x)=/(l—%)+2,尸(1+%)=/(1+%)+2,

所以尸(1—x)=*l+x),

所以尸⑴关于直线X=1对称，

又因为〃x+2)+2为奇函数，

所以〃x+2)+2+/(-x+2)+2=0,

所以尸(x+2)+网—x+2)=0,

所以歹(可关于点(2,0)中心对称，

令x=0,贝i]/（2）+2+/（2）+2=2[/（2）+2]=2F（2）=0nb（2）=0,

由I（lr）=7（l+力，所以I（2r）=7（x）,

所以厂（x+2）+F（x）=0,

所以厂（x+2）=-F（x）,

所以周期为T=4，

当％=1时，/（3）+尸（1）=0,

当尤=2时,-4）+尸（2）=0,

所以尸⑴+尸（2）+*3）++b（2023）=网1）+/（2）+网3）=网2）=0,

所以/⑴+/（2）+〃3）+.+/（2023）=（―2）x2023=T046.

故答案为：-4046.

2兀

17、答案：（1）y；

⑵V3-

解析：（1）百cosA（ccosB+Z?cosC）+asinA=0,

由正弦定理得：y/3cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sin2A=0，

即^3cosAsin（B+C）+sin2A=0,二百cosAsinA+sin?A=0

11

在△ABC中,sinAH0，,GcosA+sinA=0，所以tanA=s''=-73,

cosA

因为Ae（0,兀），所以A=g,

（2）由余弦定理可得a2=〃+c2_2bccosA，即28=4+C?=2X2CX

整理得：0?+2c—24=0,解得c=4或c=-6（舍去）

/2

c2=/+/—2"cosC，；.16=28+4-2x2V7x2xcosC，解得c°sC=乃，

CD二A。AC2万

在Rt^ADC中,ZDAC=C，所以-sinNAOC-cosC2不

2——

7

:.CD=-BC,^。是BC的中点，所以△AB。的面积.

2

11111A

.\S=--S=—X—・AHACsinNB4C=—X—x4x2xJ=6

222222

18、答案：（1）2

18

⑵

解析：（1）该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为:

1L1i二」117

33233233218

(2)甲通过的考试科目数XBl3,1,.-.E(X)=3x-=-

V'22

1一|卜(i)=|2(i),

设乙通过的考试科目数为匕则P（Y=0）=

IT,9

11221

p(y=D=J*i二神+1」」x(l一加)+gx——m,

333333

1211221

p(y=2)=-x-x(l-/n)+xm=一十—m

333393

P(Y=3}=-x—xm=—m,

、7339

2511c121-22”

.*.E(y)=0x-(l-m)+lx——m+2x—+—m+3x—m=m+1

93939

该考生更希望通过乙大学的笔试,

31

£”)>£(x),加+1＞—，又因为0＜加＜1,二.一＜相＜1・

22

当该考生更希望通过乙大学的笔试时"的取值范围是

19、答案：（1）答案和证明见解析

⑵

4

解析：（1）过点M作3c的平行线,分别交于点E,R,

过E作心的平行线，交AB于点N,过N作BC的平行线交CD于点Q,

则截面ERQV为所求截面a，证明如下:

因为Q4//£N,B4（Z截面a，石Nu截面a，所以K4//截面a,

因为3C//NQ,8Ca截面a,NQu截面a，所以BC〃截面a.

(2)因为,平面ABCD,DA,u平面ABCD,所以PD_L八4,P。，

且ZMLDC，所以以。为坐标原点,D4,OC，DP为x，%z轴建系如图，

则D(0,0,0),C(0,2,0),6(2,2,0),P(0,0,2)

所以3。=(-2,0,0),BP=(-2,-2,2),DC=(0,2,0)

所以=ABC+-BP=(-22,0,0)+(-1,-1,1)=(-22-1,-1,1),

2

又因为DM+=(1—24,1,1)，所以“(1—24,1,1),

设平面MCD的法向量为m=(x,y,z)，

.DC-m=2y=0人

所以<令x=l,y=0,z=2X—1

DM-m=(1-2A)x+y+2=0

所以加=(1,0,24—1),

设PB与平面MCD所成角为。,

IIBP•m|22-2|V15

则sin0-cos<BP,m>\=-------n—

11BP\\m行J4%—42+25

整理得8*2"」。，解得…;(舍)”[・

20、答案：(l)«n=2n—l

(2)|5+W

解析：(1)设｛%｝的公差为a

所以S4=4s2n4〃]+6d=4(24+d),

a2n=2an+1=4+[2n-\)d=2[q+(M-1)+L

解得%=T,d=2,

所以为=2〃-1

⑵由题意可得2P〃-1<2W与<〃<三，即

因为“eN*，所以2"i+1Vn<，

所以勾=22™-1-2'i,(-If0=(—1)'"22m-]-(-If2m-1=i(^)m--(-2)m,

所以北二口㈠小斗三高+*町"+