初中七年级数学 立体几何与空间向量 直线、平面平行的判定及性质

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第七篇立体几何与空间向量

专题7.03直线、平面平行的判定及性质

【考试要求】

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理;

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.

【知识梳理】

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此

〃____

平面内的一条直线平bua,

判定定理

行，则该直线平行于此a//b=>a//a

平面

一条直线和一个平面

平行，则过这条直线的a//a,au"

性质定理

任一平面与此平面的aC0=b0cb

交线与该直线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条祖

交直线与另一个平面aua,bua,

判定定理

平行，则这两个平面/P______/

平行

两个平面平行，则其

性质定理a//P，aua=〃〃4

中一个平面内的直线

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平行于另一个平面

如果两个平行平面同

时和第三个平面相B，

交，那么它们的交线7A“£0/=力=。〃b

平行

【微点提醒】

平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a丄a,aLp,则a〃及

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若a〃夕，p//y,则6(〃/

(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“丿”或“X”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

(2)若直线a〃平面a,Pea,则过点尸且平行于直线a的直线有无数条.()

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

【教材衍化】

2.(必修2P61Al(2)改编)下列说法中，与“直线a〃平面a”等价的是()

A.直线a上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线a与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

3.(必修2P61Al(1)改编)下列命题中正确的是()

A.若“，6是两条直线，且a〃江那么a平行于经过b的任何平面

B.若直线a和平面a满足a//a,那么。与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,b和平面a满足。〃b,a//a,Ma,则6〃a

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【真题体验】

4.（2018•长沙模拟）已知，"，〃是两条不同的直线，a,£,y是三个不同的平面，则卜.列命题中正确的是（）

A.w/7a,n//a,则B.m//n,m//a,则〃〃a

C.w丄a,加丄夕，则a〃夕D.a丄y,A丄y,则a〃夕

5.（2019・济宁月考）若平面a〃平面夕，直线a〃平面a,点3d夕，则在平面夕内且过8点的所有直线中（）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与。平行的直线

C.存在无数条与“平行的直线

D.存在唯一与a平行的直线

6.（2019・北京十八中开学考试）如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形

EFGH的形状为.

【考点聚焦】

考点一与线、面平行相关命题的判定

【例1】（1）在空间中，a,b,c是三条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）

A.若a丄c,b丄c,贝！Ja〃b

B.若aua,buB,a丄6,则a丄b

C渚a〃a,b〃p,a〃。，则a〃b

D.若c（〃B，aua,pll]a//p

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⑵（2019・聊城模拟）下列四个正方体中，A,B,C为所在棱的中点，则能得出平面A8C〃平面3EF的是（）

【规律方法】1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是

单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断

其余选项.

2.（1）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.

（2）特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题

是否正确.

【训练1】（1）下列命题正确的是（）

A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B.若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行

C.若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

2

⑵在正方体厶8c/££）|中，M,N,。分别是棱Q£,A^D],的中点，点P在上且8尸=针巳，

则下面说法正确的是（填序号）.

①MN〃平面APC;②JQ〃平面4PC;③4,P,M三点共线；④平面MNQ〃平面4PC.

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考点二直线与平面平行的判定与性质

角度1直线与平面平行的判定

【例2一1】(2019•东北三省四市模拟)在如图所示的几何体中，四边形A8CD是正方形，PA丄平面A8CD,

E,尸分别是线段4。，PB的中点，PA=AB=l.

角度2直线与平面平行性质定理的应用

【例2一2］(2018•上饶模拟)如图所示，在正方体488—4卢］£。］中，棱长为2,E,尸分别是棱

ClDl的中点.

(1)求三棱锥B-A}BE的体积；

(2)试判断直线8尸与平面ABE是否平行，如果平行，请在平面上作出与平行的直线，并说明理

由.

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【规律方法】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中

位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平

行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.

【训练2】（2017•江苏卷）如图，在三棱锥A-8CD中，AB1.AD,BC1.BD,平面48。丄平面BCD,点E,

F（E与A,。不重合）分别在棱A。，BD上，J.EFLAD.

求证：（1）EF〃平面ABC；

（2）40丄AC.

考点三面面平行的判定与性质

【例3】（经典母题）如图所示，在三棱柱ABC—44厶中，E,F,G,H分别是AB,AC,厶百，4厶的中

点，求证：

(1)8,C,H,G四点共面；

(2)平面EE41〃平面BCHG.

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【迁移探究1］在本例中，若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A.B,,4G的中点”变为“%D

分别为耳6,8c的中点”，求证：平面A/0〃平面

【迁移探究2】在本例中，若将条件“E,F,G,H分别是A8,AC,4结，A{Ci的中点”变为“点D,

An

乌分别是AC,A£上的点，且平面BCQ〃平面ABR”,试求詳的值.

【规律方法】1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

2.面面平行条件的应用

(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.

(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

【提醒】利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

【训练3】(2019•南昌二模)如图，四棱锥中，底面A8C£＞是直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB

=2CZ)=2AO=4,侧面PAB是等腰直角三角形，PA=PB,平面PAB丄平面A8CD,点E,尸分别是棱A8,

PB上的点，平面CEF”平面PAD

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P.

（1）确定点E,尸的位置，并说明理由;

（2）求三棱锥F-DCE的体积.

【反思与感悟】

1.转化思想：三种平行关系之间的转化

性质定理

\判定定理判定定理

线呈行盜r线面平行黑^甲平行

判定定理

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.

2.直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；（2）判定定理；（3）面面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；（2）判定定理：（3）推论；（4）a丄a,a丄pna〃B.

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【易错防范】

1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.

3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.

4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决

不可过于“模式化”.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：40分钟）

一、选择题

1.若直线1不平行于平面a,且ICa,则（）

A.a内的所有直线与/异面

B.a内不存在与/平行的直线

C.a与直线/至少有两个公共点

D.a内的直线与/都相交

2.（2019•大连双基测试）已知直线1,m,平面a,p,y,则下列条件能推出l〃m的是（）

A.lca,mcp,a〃(3B.a〃0,any=l,pny=m

CA//a,meaD.lca,aAp=m

3.（2018-长郡中学质检）如图所示的三棱柱中，过为生的平面与平面ABC交于DE,则DE与

AB的位置关系是（）

AB

A.异面B.平行

C.相交D.以上均有可能

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4.（2018・重庆六校联考）设a,b是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则a〃£的一个充分条件是（）

A.存在一条直线a,a〃a,a〃卩

B.存在一条直线a,aua,a〃。

C.存在两条平行直线a,b,aca,bu|3,a〃p,b〃a

D.存在两条异面直线a,b,aca,bcp,a〃db//a

5.（2019•青岛模拟）若平面a截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面a平行的棱有（）

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

二、填空题

6.（2018•杭州模拟）如图，在正方体中，AB=2,E为4。的中点，点尸在CD上，若E尸〃

平面AB。，则EF=.

7.如图，平面a〃平面夕，/\ABC,△4BY?分别在a,4内，线段AV,BB',CC共点于O,。在a,夕之间,

若AB=2,4C=1,ZBAC=60°,04：04=3：2,则△45，。的面积为.

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8.（2019•郑州调研）设加，〃是两条不同的直线，a,dy是三个不同的平面，给出下列四个命题:

①若mua,n〃a,则m〃n；

②若a〃仇。〃丫，m丄a,则m丄y；

③若anp=n,m〃n,m〃a,则m〃0；

④若m〃a,n〃p,m〃n,则a〃p.

其中是真命题的是（填上正确命题的序号）.

三、解答题

9.（2019・武汉模拟）已知四棱锥尸一48C。的底面ABC。是平行四边形，侧面PA8丄平面ABC。，E是棱PA

的中点.

⑴求证：PC〃平面8DE；

⑵平面反汨分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.

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10.如图，A8CD与ADEF均为平行四边形，M,N,G分别是A8,AD,EF的中点.求证:

⑴〃平面DMF-,

⑵平面BDE〃平面MNG.

【能力提升题组】（建议用时：20分钟）

11.（2019•石家庄模拟）过三棱柱ABC—A向£的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB}Al平行的直线

共有（）

A.4条B.6条

C