2024年高考数学重难点突破第12讲 极值点偏移（原卷版）

第12讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解!极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移:函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称，必为的极值点.若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移，否则偏移.极值点偏移:若则为极值点偏移，单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系:若，则称为极值点左偏，即极值点在两根中点的左边.若，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值点偏移的判定定理求证:对于可导函数，在上只有一个极大值点，方程的解分别为，且.(1)若，则，即函数在上极大值点右偏.(2)若，则，即函数在上极小值点左偏.证明:(1)对于可导函数，在上只有一个极大值点，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于，有，且.又，，即函数极大值点右偏.(2)极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数和的对数平均定义:对数平均不等式为:.取等条件:当且仅当时，等号成立.只证:当时，，不失一般性，可设.证明:(1)先证:=1\*GB3①=1\*GB3①式(其中).构造函数:1)，则.当时，，函数在上单调递减.故，不等式=1\*GB3①成立.(2)再证:.=2\*GB3②=2\*GB3②式(其中.构造函数1)，则.当时，函数在上单调递增，故，从而不等式=2\*GB3②成立.综合=1\*GB3①=2\*GB3②知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下:题型一:若函数存在两个零点，且，求证:为函数的极值点.题型二:若函数中存在且满足，求证:为函数的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法:证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一:非对称构造(1)构造函数.(2)判断函数的单调性.(3)证明[或即[或.(4)结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或.构造方式二:对称构造(1)求出函数的极值点，及单调区间.(2)作差比较:构造一元差函数.(3)确定函数的单调性.(4)结合，判断的符号，从而确定的大小关系，结合函数的单调性，通过整体代换即可证，或.证法二:引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一:差式引参一般步骤如下:第一步:根据和的关系式，一般为，通过变形，构造出.第二步:通过整体代换，令，引入参数，如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数表示出变量，进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二:齐次引参消元一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的等式，并变形出，然后令.第二步:用参数表示出变量，进而构造一元函数，将关于待求的问题转化为关于的函数问题.第三步:构造关于的一元函数求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量，满足的条件.第二步:通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题.第三步:整体代换，构造关于的一元函数求解.证法四:对数平均不等式法一般步骤如下:第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“”及“”.第二步:通过等式两边同除以“”构建对数平均数.第三步:利用对数平均不等式将转化为后再证明，或.【例1】已知函数，如果，且，证明:.【解析】证明法一：对称构造法法二:非对称构造法法三:差式引参换元法法四:齐次分式整体消元法【例2】已知函数,上存在两个不相等的数,满足,求证:.

【解析】含参极值点偏移含参极值点偏移问题和无参的证法类似,参数可分为在函数中和在不等式中两种类型,可以通过参变分离,把含参问题转换为无参问题,其处理思路和上一节一样,注意将问题转化为,然后构造函数,利用函数的单调性可得,从而得出结论.

含参型一:函数含参极值点偏移问题

【例1】已知函数有两个零点.

(1)求的取值范围.

(2)设是的两个零点,证明:.

证明法一:非对称构造法

法二:参变分离,再对称构造

法三:参变分离,再非对称构造

含参型二:不等式含参极值点偏移问题

【例1】已知函数,.

(1)求函数的单调区间.

(2)若存在两个不相等的正数,满足,求证:.

【例2】已知,.若有两个极值点,且,求证:(为自然对数的底数).

【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法

法二:含参非对称构造

法三:单调性放缩转换法法四:差式引参消元法

法五:分式引参消元法

极值点偏移变形

一般题型

1.若函数存在两个零点且,求证:.

2.若函数中存在且,满足,求证:.3.若函数存在两个零点且,求证:.

4.若函数中存在且,满足,求证:.方法核心:要证明,即比较与极值点的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于问题,要结合基本不等式,,转换为比较与极值点的大小的问题.【例1】已知函数

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