高中数学 函数的基本性质 专项训练

3.2函数的基本性质

基础巩固

1.（2021秋•高一校考课时练习）下列四个函数中，在（0,+8）上是增函数的是（）

A.〃尤）=3-尤B./（x）=x2-3x

c小）=-+D-/⑺4-1

【答案】C

【分析】根据一次函数，二次函数，及反比例函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A,函数/（x）=3-x在（0,+8）上是减函数，故A不符题意；

对于B,〃x）=/-3x在（-甩，上单调递减，在（|,+"上单调递增，故B不符题意；

对于C,函数/"）=-七的定义域为{X|XN-1},

则〃无）=-占在（。,+8）上是增函数，故C符合题意；

/\IIfx-l,x>1

对于D,,x<l，

则函数/（x）在（1,+8）上单调递增，在（-8,1）上单调递减，故D不符题意.

故选：C.

2.（2017秋•四川绵阳•高一三台县芦溪中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间（0,+"）上为增函数的

是（）

A.〃x）=3-xB./（x）=x2-2x

C./（x）=-1D./（x）=2x+l

【答案】D

【分析】根据反比例函数，一次函数以及二次函数的单调性便可判断出每个选项的函数在（0,+。）上的单调

性，从而找出正确选项.

【详解】解：A.一次函数〃x）=3-x在（0,+8）上为减函数，.•.该选项错误；

B.二次函数/（x）=x2-2x在（0,1）上为减函数，（1,+功为增函数，.•.该选项错误;

C.反比例函数〃x）=:在（0,+力）上为减函数，二该选项错误；

D.一次函数“X）=2x+l在（0,+“）上为增函数，该选项正确.

故选：D.

【点睛】考查反比例函数，一次函数，二次函数的单调性，是基础题.

3.（2020秋・辽宁大连•高一大连八中校考期中）以下函数中，在（0,+e）上单调递减且是偶函数的是（）

A.〃x)=2'B./(%)=|x|

C.f(x)=—lx1D./«=--

【答案】C

【详解】由指数函数的性质，可知〃刈=2,在（0,+“）上单调递增，故A错误;

x>0

由于/(x)=W=当xe（O,+s）时，/⑴单调递增，故B错误;

-x,x<0

由二次函数的性质可知，函数〃x）=-2/的定义域为尺，且在（0,+8）上单调递减,

又/1（—x）=—2（—x）=—2x'—f（x）,所以/（x）是偶函数，故C正确；

因为〃尤）=-‘的定义域为（-叫。）。（。，+8），又〃-无）=工=-/（乃，所以〃无）=-，是奇函数，且〃幻=-,

在（0,+8）上单调递增，故D错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题.

4.（2022春•北京海淀•高二中关村中学校考期中）若函数/（幻=--蛆+10在（-2,-1）上是减函数，则实数加

的取值范围是（）

A.[2,+oo）B.[-2,+oo）

C.（一0°,2]D.（-oo,-4]

【答案】B

【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可.

【详解】函数的对称轴是：X=

2

若函数/（》）=--g+10在（-2,-1）上是减函数,

只需万3-1,即〃让-2即可，

故选：B.

5.(2021秋•江苏苏州•高一统考期中)“函数/(无)=("2h+3在R上为减函数”是“ae(O,l)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数/(x)在R上为减函数求出实数。的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】若函数〃x)=("2)x+3在R上为减函数，则”2<0,解得”2,

又因为{@<2}[同0<。<1},

因此，“函数/(x)=(。-2卜+3在R上为减函数”是“ae(0,1)”的必要不充分条件.

故选：B.

6.(2021秋•江苏苏州•高一统考期中)已知函数/(x)=s2+2x+加在(-1,+动上单调递增，则实数加的取

值范围是()

A.(0,1]B.[0,1]C.[1,+⑹D.(-«,1]

【答案】B

【分析】分别=0、m=0两种情况讨论，在旭=0时，直接验证即可；在加力0时，利用二次函数的单调性

可得出关于实数加的不等式组，综合可得出实数加的取值范围.

【详解】当旭=0时，函数/(x)=2x在(-1,+动上单调递增，合乎题意；

当加/0时，则二次函数+2x+m图象的对称轴方程为x=-,，

m

m>0

若函数=+2x+加在(-1,+8)上单调递增，贝IpI,解得0〈加W1.

-----S-1

、m

综上所述，实数加的取值范围是[0川.

故选：B.

-x2-ax-5,x<1

7.(2022秋・广西桂林•高一校考期中)已知函数/(%)=a是R上的增函数，则。的取值范围

一,x>1I

是()

A.[-3,0)B.(-叫-2]

C.(y,0)D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.

【详解】函数/0)是R上的增函数，则/(x)在(-叫1]上单调递增，故-

此时满足函数/⑴在(1,+动上也是单调递增；

最后，只需在％=1处满足一产-4—5«Q=>Q2—3,

综上：。的取值范围是

故选：D

f2xx<2

8.(2021秋•北京•高一北京交通大学附属中学校考期中)设函数/(x)=2'>,，若〃

IX,X8/

则实数。的取值范围是()

A.(-°°,1]B.(-<»,2]

C.[2,6]D.[2,+co)

【答案】B

【分析】判断出的单调性，由此化简不等式从而求得。的取值范围.

【详解】画出/(无)的图象如下图所示，结合图象可知/(x)在R上递增，

由+1)2/(2。-1)得a+122a—1,解得a«2.

9.(2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考期中)函数/(x)=(l+x)(1的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

【答案】C

【分析】求出/(x)的定义域不关于原点对称，即可判断/(x)为非奇非偶函数.

【详解】由函数“x)=(l+x)jF的定义域可得公20,

(l+x)(l-x)20,,

则'八'nT<x41,

xw—1

由于定义域不关于原点对称，故/(x)为非奇非偶函数.

故选：C.

10.(2022秋・江西抚州•高一临川一中校联考期中)下列四个函数中是偶函数，且在(-8,0)上单调递减的是

A.y(x)=pB.f(x)=l-x2

C.=l一2xD.=

[x-2x,x<0

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义和单调性的定义求解.

【详解】对于A,/(r)=A『=]=/(》)是偶函数，当xe(-co,0)时是增函数；

对于B,〃f)=l-(一步=1-是偶函数，当xe(-8,0)时是增函数；

对于C,-x)=l+2x*/(x),不是偶函数；

对于D,设x<0,则一x>0,f(—x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=/(.x),

当x>0时，-x<0,/(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=/(x),是偶函数，

当x<0时，f(x)=x2-2x,是对称轴x=l,开口向上的抛物线，是减函数；

故选：D.

11.(2022秋•江西赣州•高一统考期中)函数/(X)="3-，-2且/(2)=2,贝1]/(-2)=()

A.-6B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】令g(x)=/(x)+2,可证明g(x)是奇函数，再利用奇函数的性质计算即可.

【详解】由/(x)="3-2一2,令g(x)=/(x)+2,

X

则g(x)=办3—,g(—x)=a(—x)3-----=—ax3H—=—g(x),

x—xx

故g(x)是奇函数，

所以g(-2)=-g(2)=-[/(2)+2]=-(2+2)=-4,

所以/(-2)=g(-2)-2=-6.

故选:A.

12.(2021秋•陕西西安・高一西安中学校考期中)函数V=/(x)在(0,2)上是增函数，函数了=〃x+2)是偶

函数，则下列结论正确的是()

A"⑴“图(佃B.佃"⑴〈喧

【答案】B

【分析】分析可知函数〃x)的图象关于直线x=2对称，可得出,电=/出，利用函数

“X)在(0,2)上的单调性可得出了匕＞〃1)、f[5)的大小关系，即可得出结果.

【详解】因为函数V=/(x+2)是偶函数，则〃2-x)=/(2+x),

所以，函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

因为唱寸图，佃U且。《＜】＜1＜2,

即佃＜"1)＜佃.

因为函数〃x)在(0,2)上为增函数，所以，

故选：B.

2

13.(2022秋•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期中)已知函数/")=2-国+“仃，则使得不等式

〃2加)＜〃加+1)成立的实数加的取值范围是(：)

A.团B.]一/

1

C.卜8,一；)D(1,+OO)D.—00—U(l,+oo)

3

【答案】c

【分析】利用偶函数的对称性结合单调性即可求解.

【详解】因为/(1=2-国+房五=/(一力,

所以“X)为偶函数，图像关于y轴对称，

2

又因为当x>0时，片2-%和片工不单调递减,

X+11

所以〃%)=2-国+内行在x>0时单调递减，

因为/(2加)</(加+1),

所以满足何+1|<127nl,即(%+1)2<(2柏

展开可得3疗-2m-1>0,解得加eU(l,+℃),

故选：C

14.(2022秋・广西桂林•高一校考期中)奇函数在(0,+。)上的解析式是〃力=无x),则在(-8,0)上

〃x)的函数解析式是()

A./(x)=-x(l-x)B.〃x)=x(l+x)

C./(X)=-X(1+JC)D./(x)=x(x-l)

【答案】B

【分析】Vxe(-co,0),则-xe(0,+oo),求出/(-x).根据奇函数的性质可得,

/(x)=-/(-x),即可求得结果.

【详解】Vxe(-co,0),则-xe(0,+oo),由已知可得〃-x)=-x(l+x).

因为/(无)为奇函数，所以/(-X)=-/(%),

所以/(x)=-/(-x)=x(l+x).

故选：B.

15.（2022秋・湖南衡阳•高一衡阳市一中校考期中）（多选题）已知函数/（工人63瓦在［2,3］上单调递减,

则«的取值范围错误的是（）

A.0<Q«-B.ci>—C.0<qV—D.0v。<1

322

【答案】BCD

【分析】根据给定的函数，利用单调性结合函数有意义的条件求出参数。的取值范围即可求解作答.

【详解】因为函数/（可="^在［2,3］上单调递减，则/（x）在x=3处取得最小值，此时1-亦取最小

1—3a,

［a>Q1

因此।2、c，解得0<0",

［1-36/>03

所以。的取值范围是。<。4；,显然选项A正确，选项BCD都是错误的.

故选：BCD

a”,x<一1

16.（2022秋・广西桂林•高一桂林市第一中学校考期中）（多选题）已知函数/（x）='是R

（^l-2a）x+3a,x>-i

上的增函数，则实数。的值可以是（）

A.4B.3C.-D.-

34

【答案】CD

【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围.

CL*,X<—1

【详解】由函数“尤）=八.|是R上的增函数，

^l-2a）x+3a,x>-1

0<Q<1

0<。<1

1

所以<1-2〃>0=><U<一

2

（T）<Q-2<7）x（-lj+3tz

1

a>—

所以！,

42

故选：CD.

17.（2022秋•黑龙江七台河•高一勃利县高级中学校考期中）（多选题）已知函数/（x）=——加x+1在区间

［3,8］上单调，则实数加的值可以是（）

A.0B.8C.16D.20

【答案】ACD

【分析】求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式解出即可.

【详解】函数/0)=--加X+1的对称轴为％=万，

若函数/(%)=%2一加工+1在区间[3,8]上单调，则万(3或万28,解得加＜6或加216.

故选：ACD.

18.(2023春・湖南长沙•高一长沙市明德中学校考期中)(多选题)已知函数/(x)的定义域为R,/Q+；

为奇函数，且对于任意xeR,都有“2-则()

C.〃x+2)为偶函数D./[x-为奇函数

【答案】BCD

【分析】由题意可得〃2-x)=f(x),结合+为奇函数可得〃x+2)=/(x),从而可判断选项A；由

=得/&]=O，在/(x+l)=—/(x)中，令》=一；可判断选项B；由〃x+2)=/(x),

/(2-力向(x)可判断选项C；由=〃x+2)=〃x)可判断选项D.

【详解】由为奇函数，可得/卜+£|=-/1工+5,即/(x)=-〃i一X),

又因为/(2-x)m'(X),所以/(2-x)=—/(l-x),即/(x+l)=—/(x),

所以f(x+2)=-/(x+1),所以/(x+2)=/(x),故选项A错误;

由=得/弓卜。，由/(x+l)=-f(x),得

所以/卜£|=0,故选项B正确；

由“x+2)=/(x),f(2-x闫(x),得〃2-x)=/(x+2),

所以/(x+2)为偶函数，故选项C正确；

由=,/(x+2)=/(x),可得-/(l-x)=-/(-l-x),

所以=

即/〔XT卜一/[r-S'故/、一为奇函数，故选项D正确.

故选：BCD

19.(2023春・湖南•高一校联考期中)(多选题)己知定义在R上的函数7=/(x)满足条件/(x+l)=-/(x),

且函数y=/(x-i)为奇函数，则下列说法中正确的是()

A.函数是周期函数

B.函数/(x)为R上的偶函数

C.函数“X)的图象关于点(-1,0)对称

D.函数〃x)为R上的单调函数

【答案】AC

【分析】由题可得〃x+2)=〃x)即可判断A；由y=〃x-l)为奇函数可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可

判断B；由〃-x)=-〃x-2)、〃苫-2)=〃尤)可得"-工)=-/卜)，即可判断C；根据/(x)为R上的奇

函数，结合单调函数的定义即可判断D.

【详解】A选项，由/(x+1)=-/(%),得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正确;

B选项，因为V=/(x-l)为奇函数，=,

用x-l换x,W/H)=-/(X-2),又〃X-2)=/(X),

所以=即函数/⑺为R上的奇函数，故B错误；

C选项，因为＞为奇函数，

所以-+=

则y=/(x)的图象关于点(T0)对称，故c正确；

D选项，因为函数/(X)为R上的奇函数，其图象关于原点对称，

函数/(X)在(-8,0)和(0,+功的单调性相同，

但函数/(无)在R上不一定为单调函数，故D错误.

故选：AC.

Jr2-Y4

20.(2020秋•福建龙岩•高一校考期中)(多选题)关于函数/(x)=7xx的性质的描述,正确的是()

A.的定义域为[7,0)501]B.“X)的值域为(-1,1)

C./(X)的图象关于了轴对称D.7(x)在定义域上是增函数

【答案】AC

【解析】首先求出函数的定义域，将函数解析式化简〃x)=m，即可判断函数的奇偶性，再根据复合

函数的单调性法则判断函数的单调性，再求出函数的值域；

ylY2-Y4%2%420

【详解】解：因为y(x)="X,所以解得-lWx<0或0<x<l,即函数的定义域为

|X|斤0

[-1,0)50刀，故A正确；

/2_4_______

所以/(%)=————=V1-X2xe[-l,0)u(0,l],

|尤|

所以/(-X)=7i=？=/(x),即函数是偶函数，函数图象关于了轴对称，故C正确；

因为了=1--在上单调递增，(0,1]上单调递减，y=正在定义域上单调递增，根据复合函数的单调

性可得/(x)在[T，。)上单调递增，(0川上单调递减，故D错误；

因为1-/40,1),所以/(x)e[0,l),故B错误;

故选：AC

21.(2022秋•广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中)(多选题)设函数“X),g(x)的定义域都为

R,且“X)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论错误的是()

A./(x)-g(x)是偶函数B.是奇函数

C.是奇函数D.是奇函数

【答案】ABD

【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】•••/(》)是奇函数,g(x)是偶函数,

/(-X)=-f(x),g(-x)=g(x),

/(-x)・g(-x)=-/(x)・g(x),故函数是奇函数，故A错误，

"(-x)卜g(-x)=|f(x)卜g(x)为偶函数，故B错误,

/(r)・|g(-x)|=-/(x)・|g(x)|是奇函数，故C正确.

I/(-X).g(-x)I="(x).g(x)|为偶函数，故D错误，

故选：ABD

22.(2023秋•广东肇庆•高一统考期末)(多选题)下列函数中是偶函数，且在(0,+8)上是减函数的是(

A.kcosxB.y=-x2

C.y=HD.7=4

X

【答案】BD

【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.

【详解】对于A：N=cosx是偶函数，但在(0,+“)上不是单调函数，A不符；

对于B：y=是偶函数，且在(0,+e)上单调递减，B符合；

对于C：>=国是偶函数，且在(0,+。)上单调递增，C不符；

对于D：y=±=x-2是偶函数，且在(0,+8)上单调递减，D符合.

故选：BD.

23.(2022秋・江西赣州•高一统考期中)函数/(x)=巴工在区间(-叱1)上单调递减，则实数。的取值范围

X-L

为.

【答案】a>2/(2,+s)/(a(a)>2)

【分析】利用函数的单调性，即可求出实数。的取值范围.

【详解】由题意，

法一：

在/(X)~~中,设存在再,乙£(—8,1)，且再<看'

x-l

则再一1<0,%2—1〈。再一次2V0，

・・・函数在区间(-*1)上单调递减，

-x(a-2)(9-%)

〃xj一/■（X2）=W一丝]ax{x2-axx-2X2+2-axxx2+ax2+2再一2_tz(x2i)+2-x2)

(再T)(%2T)(再T)(%2T)(^-1)(%2-1)

解得：a>2,

故答案为：（2,+8）.

法二:

ax-2—a+2

在〃x)=中,

x-1

•••在区间（-8,1）上单调递减,

Ar(x)<0,解得：a>2

故答案为：（2,+8）.

24.（2022秋呐蒙古包头•高一校考期中）若函数〃x）=r2+2办-2在（3,+动上是减函数，则实数。的取

值范围是.

【答案】（-*3]

【分析】由二次函数的对称轴与开口，结合单调性求解即可

【详解】函数/（X）=+2办一2的对称轴为X=a,

又函数/（》）=-尤2+2办-2在（3,+8）上是减函数，

所以。43,

故答案为：（-8,3].

25.（2022秋•吉林长春・高一东北师大附中校考期中）若函数/。）=[归：4：5,龙"1在R上单调递增，则实

1—x+2ax,x<1

数。的取值范围是.

【答案】[1,7]

【分析】根据题意，分段函数在R上单调递增，则每一段函数在相应的区间上必须单调递增，再结合分段

函数在x=l处需满足的条件，列出不等式组即可得到答案.

【详解】函数〃x)="X：4：5,X2：在R上单调递增，

［一x+2ax,x<1

当时，/(x)=|x+a|+5单调递增，故x+〃20恒成立，解得此时/(x)=%+。+5；

当时，/(%)=-工2+2办单调递增，故-三二。之1,解得a21,

—2

a>-\

要使/。)在R上单调递增，需满足*21,解得1V0V7,即a的取值范围是［1,7］.

1+6/+52—1+2a

故答案为：工刀.

26.(2022秋•福建三明•高一校联考期中)已知函数〃耳=。/+》-3,若对任意的再,马式1,+8),且

x尸zJ.)一/0)<3成立，则实数。的取值范围是________.

xx-x2

【答案】(-8,0］

【分析】不妨设士>无2，则不等式可变为/(再)-3再</(%)-3马，令g(x)=<(x)-3x,从而可得出函数g(x)

在［1,+8)上的单调性，再分。=0和aw0两种情况讨论，结合二次函数的单调性即可得解.

【详解】解：不妨设为>%,

则不等式/(%)一小)<3,

xx-x2

即为，(%)-，(工2)<3%-3%,§P/(x1)-3x1</(X2)-3X2,

令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,

则g(xj<g(x2)，

所以函数g(x)在［1,+OO)上递减，

当a=0时，g(x)=-2x-3在［1,+⑹上递减，符合题意，

当QW0时，

a<0

则11〃，解得。<0,

一s1

综上所述，实数。的取值范围是(F,0］.

故答案为：(-8,。］.

27.(2022秋・辽宁•高一沈阳市第十一中学校联考期中)已知函数〃无)=4-4对

------(x<-2),

Ix

Vx15x2GR(XL*X2),x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2/(xI),则实数a的取值范围为.

【答案】{«|4<«<5}

【分析】由已知条件得出函数为增函数，然后由分段函数为增函数求得参数取值，注意函数的定义域.

【详解】xJ(无1)+尤2/(工2)>XJ(尤2)+(xJO(再-尤2)(/(%)-f(x2)>0,

所以若再<%,则〃再)</(%),因此函数“X)实数集上是增函数，

4一。<0

<，解得4<〃45.

4-2«+6>0

故答案为：缶14<。45}.

28.(2023春・河北保定•高一保定一中校考期中)已知函数/(》)=0?+-3+3且/(2023)=16,则/(-2023)

的值为________

【答案】-10

【分析】由函数/(x)的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求

的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.

【详解】因为/(工)=0?+加3+3,/(2023)=ax20235+bx20233+3=16,

所以4x20235+6x20233=13,

所以/(-2023)=ax(-2023)5+bx(-2023)3+3

=-(ax20235+6x2023,)+3=-13+3=-10,

故答案为：-10.

29.(2023春・上海•高一上海市敬业中学校考期中)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xNO时，

f(x)=2x+2x+b(6为常数)，则〃-1)=.

【答案】-3

【分析】根据给定条件，利用"0)=0求出6,再利用奇函数定义求出/'(-1)作答.

【详解】R上的奇函数〃x),当xW。时，f(x)=T+2x+b,则/(0)=l+b=0,解得6=-1,

所以〃T=-〃1)=-(2+2X1+6)=-3.

故答案为：-3

30.(2023秋•宁夏吴忠•高一统考期中)若/(x)="：诡耳是奇函数，则。=

【答案】3

【分析】先利用奇函数的定义域关于原点对称求得。=3,再代入检验即可得解.

【详解】因为“I%一赢+)

所以(x_l)(3x+a)/0,解得xwl且

则/(x)的定义域为卜|"1且

因为函数/(x)=(x+])：2x_0)为奇函数，

所以“X)的定义域关于原点对称，故-三=-1,贝加=3,

当。=3时，/(X)=(X_I)(3X+3)=3(XT(X+1)，

所以“r)=3(r-十x+l)=-3(X-1；(X+1)=一〃x),满足题意，

所以。=3.

故答案为：3.

31.(2022秋・浙江温州•高一校考期中)已知g(x)=/(x)+|x-l|是奇函数，且=则g(l)=.

【答案】-3

【分析】根据已知条件求出g(T)的值，再根据奇函数的性质可求得g⑴的值.

【详解】因为函数g(x)=/(x)+|x-l|是奇函数，且〃-1)=1,

贝>Jg(T)=〃T)+HT|=l+2=3,故g⑴=_g(T)=_3.

故答案为：-3.

32.(2022秋•山西大同•高一大同一中校考期中)已知函数/(幻是定义在R上的奇函数，且当x<0时，

/(x)=-x2+2x.当尤20时，求函数/(x)的解析式.

［答案1/(x)=x2+2x

【分析】根据奇函数的定义即可求解.

【详解】因为函数/(X)是定义在R上的奇函数，所以"0)=0；

当x>0时，一x<0,贝lj/(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,

因为函数/(x)为奇函数，所以/(-x)=-/(x),贝|/(X)=-/(-X)=X2+2X,

当x=0时，上式也满足"0)=0,

所以当x20时，函数/⑴的解析式为〃x)=/+2x,

故答案为：f(x)=x2+2x.

33.(2022秋•四川成都•高一石室中学校考期中)己知函数/(幻=/+一

(1)判断/(x)在(。川上的单调性，并用定义加以证明；

⑵设函数g(x)=———+-+3,x>l,求g(x)的值域.

x+2x+1x

【答案】(1)单调递减，证明见解析

【分析】(1)根据函数单调性的定义，即可证明；

(2)首先将g(x)拆分成内外层函数，/=*,A(/)=f2+1+l,结合(1)的结论求出〃⑺的值域，即可

得解.

【详解】(1)“X)在(0』上的单调递减，证明如下：

22

设0"'I，则。(再)一/(%2)=%；+---X2

占x2

二(石+/)(再一”2)+

=（石一超）西+超-----，

I项X2）

因为0<再<l2<1,所以再一工2<。，0<+x2<2,0<XjX2<1,

22

--->2,gpxx+x2-----<0,

所以/(%)一/口2)>0,即/(网)>/卜2),

所以函数/（X）在（0,1］上的单调递减;

上『+上+1

x22

(2)g(x)=,+—+3X+1)X

x+2x+1x

X+1

Y11

设"——=1-----,t=1-----在上单调递增，当Xf+8时，tT

x+1x+1x+1

所以fej

令〃（f）=〃+?+1,tSI'），

由（1）可知，〃⑺在g,1）上单调递减，

乂唱］=g"1）=4,所以浸，

所以g（x）的值域为（4,日.

34.（2023春・湖北黄冈•高一黄冈中学校联考期中）求证：函数〃x）=（。＞1）在区间（T，+e）上是减函

数.

【答案】证明见解析

【分析】利用函数单调性的定义即可求证.

【详解】设也户2e（-l,+s）,且玉＜々,

则/(再)-小)=^^x2+a_(1一。)(/一12)

x2+1(Xj+l)(x2+1)

vx1?x2e(-l,+00),且不<12，

+1>0,x2+1>0,-x2<0X«>1,

1—a<0,

二去需K>。,即/(xj-〃z)>。

＞〃X2）,

故函数y（x）在区间（-1,+8）是减函数.

2r+1

35.（2023秋•宁夏吴忠・高一统考期中）已知/（x）=--

x-2

（1）根据单调性的定义证明函数/（X）在区间（2,+CO）上是减函数

(2)若函数g(x)="2r+,1无e[3,a](«>3)的最大值与最小值之差为1,求实数。的值

x-2

【答案】(1)证明见解析

13

⑵°。

【分析】⑴田户2€(2,+。)且网</，利用作差法证明/(再)>/(£)即可;

(2)由(1)求出函数的最值，再根据题意即可得解.

【详解】(1)VX],/e(2,+e)且再ex2,

2X+1_5(X-xj

则/(再)-/(>2)=22

2花"一12-2)(%-2)

因为VX1,%e(2,+oo),所以玉-2>0,超-2>0,

又因为王<X2，所以龙2-%>°，

因此/'(再)-/(%)>0,/(x1)>/(%),

所以/(X)在(2,+8)是减函数；

(2)由(1)可知,g(x)是减函数，

所以x=3时,g(x)取得最大值为g(3)=7,

x=a时，g(x)取得最小值为g(a)=",

因为最大值与最小值之差为1,

所以7-"=1,解得。=?

a-24

36.(2022秋•江苏常州・高一江苏省前黄高级中学校考期中)已知函数/■(力=咚」是定义在(-2,2)上的奇

X十4

函数,且/出=3

⑴求6的值；

(2)用单调性定义证明：函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增；

⑶若〃a+l)+〃l-2a)>0,求实数。的取值范围.

【答案】6=0

(2)证明见解析

【分析】（1）利用奇函数的性质/㈠卜-/⑴求得6,再由/[£]=静求得。、6的值;

（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；

（3）利用奇函数的性质得到再利用（2）中结论去掉了即可求

【详解】（1）由题意可知/（r）=-/（x）,.•.手耳=一竽

即-ax+b=-ax-b,

/.b=0,.\f(x)=

又・••/

(2)Vxj,x2e(-2,2),且再<%,有

%(x；+4)-无2(x；+4)（毛一占）（占马—4）

/(x)-/(x)=

12x；+4x；+4.+4）（考+4）（尤；+4乂考,+4）

由于一2<&<X2<2,x2-X[>0,x}x2-4<0,/(x；)-/(x2)<0,即/(&)</(x2),

所以函数〃x)在区间(-2,2)上单调递增.

(3)因为“X)为奇函数，所以由/(。+1)+〃1-2a)>0,

得〃0+1)>-〃1一2°)="2"1),

又因为函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增，

—2<Q+1<2

所以<-2<2a—1<2,

Q+1>2Q—1

-3<a<1

131

解得卜]<°<于故一,<a<l,

a<2

所以实数0的取值范围是\;J

37.（2022秋・江西抚州•高一临川一中校联考期中）已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,且对任意的正实数

都有，3)=/(x)+“v)且当X>1时J(x)>0J(4)=l.

⑴求7w

⑵求证:“X)为(o,+8)上的增函数；

(3)解不等式/(x)+/(x-3)Vl.

【答案】(1)-2

(2)证明见解析

⑶(3,4]

【分析】(1)利用赋值法，先令x=»=1求出〃1)；令x=V=4，可求得了(16)；再令x=16/=士，可求得

16

(2)设国Ax?>0,根据单调性定义结合当x>l时,/(x)>0证明即可；

(3)将〃x)+/(x-3)Vl转化为/[x(x-3)]v/(4),再根据(2)的结论，列不等式组求解即可.

【详解】(1)因为，(孙)=/(x)+/(y),/(4)=1,

令》=>=1,则/(1)=/(1)+/(1),解得/(1)=0,

令x=y=4,则〃16)=/(4)+/(4)=2,

令x=16)=[则/⑴=”16)+/住],

16

所以/(2)=/(1)一/(16)=-2.

(2)设石>%2

因为当X>1时J(x)>0,则2]>0,

kX27

令y则〃1)=〃x)+dJ,即(J=一/⑴，

所以/(%)-〃%)=〃网)+/[工]=/[&]>0,

\X2J\X2J

根据单调性定义J(x)为(0,+司上的增函数.

(3)因为/(x)在(0,+8)上为增函数，

又〃x)+/(x_3)=/[x(x_3)]vl=/(4),

x>0

所以，x-3>0解得3<xV4»

x(x-3)<4

即原不等式的解集为(3,4].

38.(2022秋•安徽马鞍山•高一安徽工业大学附属中学校考期中)定义在(0,+/)的函数/(X),满足

f(mn)=f{m)+f[ri)+\,且当x>l时，

⑴求了⑴的值；

(2)判断函数/(x)的单调性，并说明理由；

(3)若/(2)=1,解不等式/(x+3)+/(x)>2.

【答案】⑴/■⑴=一1;

(2)函数/(x)在(0,+动上单调递增，详见解析；

⑶{木>1}.

【分析】(1)利用赋值法结合条件即得；

(2)利用函数单调性的定义证明即可；

(3)将原不等式等价转化为打x(x+3)]>〃4),结合定义域和单调性即可得结果.

【详解】(1)因为〃俏〃)="")+〃〃)+1,

令…=1,可得/⑴+/•⑴+1,

所以〃1)=T;

(2)函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

任取X1,x26(0,+CO),且再<々，则三>1,/[|>-1,

石\x\J

所以/（%）=/[再,?]=/（玉）+/'[1+1>/（X1）,

\/（X）在（0,+“）上单调递增；

（3）,."（2）=1,

.•./（4）=/（2）+/（2）+1=3,

由/（x+3）+〃x）>2,可得/（x+3）+〃x）+l=/[x（x+3）]>3=〃4）,

又；/（x）在（0,+e）上为增函数，

x+3>0

所以<x>。，

x（x+3）>4

解得x>l,

故不等式+3）+/（尤）>2的解集为何x>1}.

能力提升B组

39.(2022秋・山东青岛•高一山东省青岛第一中学校考期中)已知函数/(x-l)(xeR)是偶函数，且函数，(幻

的图像关于点(1,0)对称，当时，f(x)^ax-l,则“2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】先由题给条件求得函数/(x)的最小正周期为8,再利用周期、对称轴的性质即可求得/(2022)的值.

【详解】根据题意，函数〃xT)(xeR)是偶函数，则函数/*)的对称轴为产-1,

则有/(尤)=/(-2-x),又由函数f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，

贝I]/'(琼鼠一/(2—x),贝IJ有/(一2-x)=-/(2-x),则〃尤+4)=-/(无)，

则有/(x+8)=-/(》+4)力x),则函数/(x)是周期为8的周期函数，

则/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故选：A.

40.(2020春•浙江宁波・高二效实中学校考期中)设函数/(幻的定义域为R,满足2/(x+l)=/(x),且当