函数的单调性与导数 高中数学北师大版选择性必修第二册

第二章

导数及其应用6用导数研究函数的性质高中数学北师大版选择性必修第二册2.6.1函数的单调性与导数第一课时[教材要点]要点导数与函数的单调性在某个区间(a，b)上，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调________f′(x)<0单调________f′(x)＝0常数函数递增递减

(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(

)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(

)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(

)(4)判断函数单调性时，在区间上的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(

)××√√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(

)A．f′(3)>0

B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定答案：B解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B.3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)答案：D解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D.4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)上是单调递增的，则甲是乙的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，则f(x)＝x3在(－1，1)上是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A.题型一导函数与原函数图象间的关系例1

(1)设函数f(x)在定义域上可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(

)答案：D解析：由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D.(2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是(

)答案：ABC解析：A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.方法归纳函数与导数图象间的关系判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)导数与函数图象的关系函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越大f′(x)>0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f′(x)<0且越来越小绝对值越来越大f′(x)<0且越来越大绝对值越来越小跟踪训练1

(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)答案：D解析：当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D.(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)答案：D解析：当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足，故选D.

方法归纳用导数判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(4)写出结论．

答案：C

(2)函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调________．(填“递增”、“递减”)．递减解析：因为f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cosx－1<0.所以函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上单调递减．

变式探究本例中的条件“a>0”改为“a∈R”，结果如何？

方法归纳在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标准：(1)按导函数是否有零点分大类；(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类．跟踪训练3已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性．

【易错警示】出错原因纠错心得忽略了函数f(x)的定义域．在讨论函数的单调性时，要特别注意函数的定义域．[课堂十分钟]1．已知f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)答案：C解析：由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数，观察选项易知C正确，故选C.2．如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是(

)A．递增

B．递减C．先减后增D．先增后减答案：A解析：∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在(0，＋∞)上f(x)递增．故选A.3．“m<4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A

4．设f(x)＝x－sinx，则f(x)(

)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数答案：B解析：由题意知f(0)＝0，f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)是增函数，故选B.5．设函数f(x)＝ax－1－lnx，讨论函数f(x)的单调性．

第二章

导数及其应用6用导数研究函数的性质高中数学北师大版选择性必修第二册2.6.1函数的单调性与导数第二课时[基础自测]1．函数y＝x－lnx的单调递减区间为(

)A．(－1，1]

B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D．(0，1]答案：D

2．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(

)A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)答案：B解析：f′(x)＝3x2＋a，由题意知3x2＋a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．所以a≥－3.故选B.

答案：D

4．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．

方法归纳(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域上，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．

变式探究1本例中的条件“h(x)在[1，4]上单调递减”改为“h(x)在[1，4]上单调递增”，实数a的取值范围如何？

变式探究2本例中的条件“h(x)在[1，4]上单调递减”改为“h(x)在[1，4]上存在单调递减区间”，实数a的取值范围又如何？

变式探究3本例中的条件“h(x)在[1，4]上单调递减”改为“h(x)在[1，4]上不单调，”则实数a的取值范围又如何呢？

方法归纳根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)上的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2

(1)若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在区间[m，m＋4]上是单调函数，则实数m的取值范围是______________________．

(2)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1]，a>0，若f(x)在(0，1]上是增函数，则a的取值范围为__________．

答案：C

答案：D

答案：C解析：由题意可知，函数f(x)的定义域是R.因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)是定义域上的单调递增函数．因为f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可转化为f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，即不等式的解集为(－1，4)，故选C.(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为_________________．

跟踪训练3

(1)若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(

)A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．不能确定答案：B

(2)设定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集为________．(1，＋∞)

易错辨析对函数单调递增(减)的充要条件理解不透致错例5已知函数f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函数，则实数a的取值范围为___________．

【易错警示】出错原因纠错心得设函数y＝f(x)在某个区间上可导，则当f′(x)>0时，f(x)为增函数，其解集为函数f(x)的单调递增区间；当f′(x)<0时，f(x)为减函数，其解集为函数f(x)的单