初学小学数学的几何基础知识解答册

十、几何初步知识

279.什么叫做几何学和几何图形？

几何学是数学日勺一门分科，它是研究物体日勺形状、大小和互相位置关

系日勺科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系日勺一门科学。

在我们日勺周围世界里，多种物体都具有形状、大小和互相之间日勺位置

关系。例如：课桌日勺桌面是长方形的I,魔方日勺每个面是正方形日勺，多种车

轮的形状是圆日勺。魔方有大小之分，魔方的面日勺大小也是不一样样日勺；汽

车有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相似。还应当看到，

物体与物体之间，有着互相位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右

关系等。

公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳感人民在实践中获得日勺

几何知识，并加以系统整顿，按照图形在平面或空间日勺形式，在几何学中

分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。

由于几何学是研究物体日勺形状、大小和互相位置关系日勺科学，根据研

究成果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合

而成的，也是点、线、面日勺集合。一种图形所有的点，都在同一平面内，

这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和

圆等图形，都是平面几何图形。假如一种图形的点不全在同一平面内，这

个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都

属于立体几何图形。

280.什么叫做点、线、面、体？

点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割

的。线和线相交于一种点。也可以理解为“点”是“线”日勺界线。

在几何中，用大写字母表达点。如，图中的A点、B点、C点。

线：假如两个面相交，就会交出一条线来。也就是面和面相交于线。

一张纸对折起来日勺痕迹就是“线”。也可以理解为“线”是“面”日勺界线。

线有直线和曲线等。如：长方体相邻日勺两个面相交于一条线（也就是

长方体日勺一条棱），就是直线。圆柱体日勺侧面和一种底面相交日勺一条线，

就是曲线。

线只是面与面相交日勺界线，它没有大小（即粗细），只有长短，或者

说，线只有长，而没有宽和高。

面：任何物体都占一定日勺空间，都是用它的表面和周围分割开来。因

此，可以说“体”是由“面”围成的。如：书本的封面、黑板日勺面、粉笔

时截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。也可以理解为“面”是“体”

日勺界线。

由于面是物体日勺表面，假如放弃物体日勺自身，只单独想象物体日勺表面,

这样的面就是几何的面。几何里日勺面是没有厚度日勺（即：高），因此，面

只有长和宽，而没有高。

体：当我们只研究一种物体日勺形状、大小而不研究它日勺其他性质（如

颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体”O

例如：一块砖与一种和砖完全同样日勺纸盒，虽然它们日勺颜色、重量、硬度

以及制作材料都不一样，只要它们口勺形状、大小都相似，就可以认为它们

是完全相等日勺两个几何体。就上述的I砖和纸盒来说，它们是两个相似日勺长

方体。

281.直线、射线和线段有什么不一样？

直线、射线和线段是易于混淆日勺三个概念，它们之间也是有联络的，

直线是基础，射线和线段是直线概念日勺发展。它们也是有区别的，这是它

们之间日勺重要方面。

首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成日勺图形

就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧日勺线，都给人以直线的形象。我们把

直线看作可以向两方无限延伸日勺，直线是无头无尾的I,即是没有端点的I。

直线可以用表达它上面任意两点日勺两个大写字母来表达。例如，直线

AB,或直线BA；也可以用一种小写字母表达一条直线。例如，直线1（如

下图）。

ABa

I----------1I----------1

通过一点，可以画无数多条直线，不过,通过两点却只能画出一条直

线，这就是直线日勺基本性质。

除此之外，两条直线相交，只有一种交点。

另一方面看射线，在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做

射线日勺端点。射线日勺另一端是可以无限延伸日勺，因此，没有端点。射线只

有一种端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射出日勺光线，都可

以看作射线日勺实际例子。

射线一般用表达它日勺端点和射线上此外一点的两个大写字母来表达，

并且把表达端点日勺字母写在前面。例如，以点0为端点的射线，可以在射

线上再取一点A,记作：射线0A（如图）。

o

最终再看线段，直线上任意两点间日勺部分叫做线段。具有一定长度的

拉直了日勺细绳，可看作线段日勺实际例子。线段是有长短的，因此可以进行

度量。

线段一般用表达它日勺两个端点日勺大写字母来表达。例如，线段AB,

或者线段BA。也可以用一种小写字母表达。例如，线段a（如下图）。

在连结两点日勺所有线中，线段最短。这就是线段日勺基本性质。

282.什么叫做“角”？

几何中所指日勺“角”日勺定义是：从一点画出日勺两条射线所构成日勺图形,

叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”，

构成角日勺两条射线，叫做角日勺“边”。

角日勺大小与两边日勺长短无关，只与角两边日勺互相位置关系有关。这一

点，在初课时很轻易混淆，必须引起注意。

角用符号“N”来表达。

如:

从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它日勺端点旋转而成

一种角一般有如下三种表达措施:

(1)用“N”与三个大写字母表达角。

如:

图3中日勺角记作:ZAOB；

图4中日勺角记作:ZBOC,ZAOB,ZAOCo

(2)用“N”与一种大写字母表达角。

这里所指日勺一种大写字母，应当是角顶上日勺字母。并且这种用一种大

写字母表达角的措施，只合用于单个时角。如图3,用NO来表达，假如

是具有共同顶点日勺两个或两个以上日勺角时，则不能用这种措施来表达角。

如图4,假如用NO来表达，就表述不清究竟NO表达哪个角。

（3）用“N”与一种小写希腊字母或一种数字表达角。

例如：下图中的角分别记作：Nl、N2、Na、NB。

283.几何中的角可分为哪几种？

（1）周角：一条射线绕着它日勺端点，按逆时针方向旋转，转到这条

射线回到它日勺本来日勺位置时，就形成了一种周角。

如图

G------------A

图中的0A绕它日勺端点0.按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来

日勺位置，形成了一种周角。一种周角等于360°,一种周角是一种平角的

2倍。

（2）平角：一条射线绕着它日勺端点，按逆时针方向旋转，转到和本

来位置成为一条直线，这时所成的I角，叫做平角。

如图

B

0

图中日勺射线0A绕它的端点0,按逆时针方向旋转，转到射线0B日勺位

置上（射线0A与射线0B构成一条直线），形成一种平角。

一种平角等于180度，记作180°。

（3）优角：一种不小于平角又不不小于周角的I角，叫做优角。优角

在小学数学教材中没有出现，但在教学中常常碰到学生提出这样日勺问题:

比周角小又比平角大的角叫什么角？181°的角是什么角等等。

如图

优角不小于180°,不不小于360°o

（4）直角：等于平角二分之一的角，叫做直角。

如图

直角一般记作“RTN”o直角日勺大小一般用d来表达，这样，平角等

于2d,周角等于4d。

（5）钝角：一种比平角小又比直角大的角叫做钝角。

如图

钝角的度数不小于90°,不不小于180°。

（6）锐角：不不小于直角的角叫做锐角。

如图

锐角不不小于90°。

（7）余角：当两个锐角NA0B与NB0C之和等于一种直角NA0C时,

其中一种角NB0C叫做另一种角NA0B的余角。这两个角叫做互为余角。

如图

（8）邻角：当两个角有一种公共日勺顶点，有一条公共的边，这两个

角此外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。

如图

图中日勺0C是NAOC与NCOB的公共边，NA0C是NC0B时令B角；ZB0C

也是NC0A的邻角。

（9）补角：两个角日勺和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是

说，其中任一种角是另一种角的补角。

如图

图中的N1是N2的补角，N2是N1的补角，或者说，N1与N2互

为补角。

（10）对顶角：把一种角日勺两边分别向相反方向延长，这两条延长线

所夹的角，叫做原角时对顶角。

如图

D、/

0B

图中日勺NAOD与NBOC、NAOB与NDOC；

两对顶角是相等日勺。图中日勺NAOD=NBOC；ZAOB=ZDOC；。

(11)三线八角：

两条直线被第三条直线所截，所得日勺

八个角，叫做三线八角。

图中日勺11、12、13和Nl、N2、N3、N4、N5、N6、N7、Z8

就是三线八角。按上述

八个角日勺互相位置，给如下列不一样名称：

①同位角：当形成三线八角时，假如有两个角分别在两条直线日勺同一

方，并且在第三条直线的同一旁，这样日勺一对角，叫做同位角。

如图中的N1与N5、N2与N6、N4与N8、N3与N7都是同位角。

②内错角：假如两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线日勺两侧,

那么这样的一对角叫做内错角。

图中日勺N6与/6、N4与N5都是内错角。

③外错角：假如两个角都在两直线日勺外侧，并且在第三条直线日勺两侧,

那么这样日勺一对角叫做外错角。

图中的/I与N8、N2与N7都是外错角。

④同旁内角：假如有两个角都在两条直线日勺内侧，并且在第三条直线

的同旁，那么这样日勺一对角，叫做同旁内角。

图中日勺N3与/5、N4与N6都是同旁内角。

⑤同旁外角：假如有两个角都在两条直线日勺外侧，并且在第三条直线

的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。

图中日勺N1与N7、N2与N8都是同旁外角。

284.垂直和垂线有什么不一样？

垂直和垂线是两个不一样日勺概念。垂直日勺含义是：两条直线相交成直

角，这两条直线叫做互相垂直。

A

C----3----D

B

图中日勺直线AB与直线CD相交于0,并且它们所成日勺角等于90°,因

此，直线AB与CD互相垂直。

在两条互相垂直日勺直线中，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它

们日勺交点叫做垂足。

垂直一般用符号“，”来表达。如图中日勺AB垂直于CD,可记作AB

±CD,读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表达出来，也可以写作AB

J_CD于0,读作：AB垂直于CD于0点。

垂线还具有如下两个性质：

(1)通过一点且只有一条直线垂直于已知直线；

(2)从直线外一点到这条线上日勺各点所连结日勺线段中，和这条直线

垂直的I线段最短。

画垂线时日勺要点是什么？

一般画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另

一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。

用三角板画一条直线的垂线，一般所给日勺条件有两种：

(1)过直线外一点画这条直线的垂线。

（2）过直线上日勺一点画这条直线口勺垂线。

如图:

例如：已知点P是直线AB外日勺一点,用三角板过P点作P0垂直于

ABo

如图①，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直

角边与直线AB重叠），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住

三角板，并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线P0,直线P0与直线AB

交于0点，这样，P0就是直线AB日勺垂线。

用一种三角板作垂线时，往往在靠近垂足0点处的一段不轻易作得很

好。可以采用另一种措施，如图②所示：用两个三角板，把一种三角板（如

虚线中日勺三角板）先固定住，然后把另一种三角板与它靠紧，再拿去第一

种三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板日勺一条边（靠

上P点的一条边）画一条直线P0。这种措施的关键是第二个三角板靠P

点日勺一条边与直线AB相交，因此，在垂足0处，可以画得精确些。

又如：已知点P是直线AB上日勺一点，用三角板过P点作PC垂直于直

线AB。

如图:

如图①，把三角板日勺一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移动，使另

一条直角边靠上P点(即直角顶点靠上P点)时，把三角板固定，并且用

铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB

的I垂线。

与上例相似，也可以按图②所示，用两个三角板，当第一种三角板日勺

一条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时，固定

住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一种三角板，

用铅笔沿第二个三角板靠P点日勺一边画一条直线PC,则PC是AB日勺垂线。

用直尺和圆规画一条直线的垂线时，一般有两种状况：

(1)过直线AB外的一点P作AB的垂线。

(2)过直线AB上的一点P作AB的垂线。

如图:

图①图②

如图①,以P为圆心，以不小于P到AB的距离为半径作弧，交AB

于E、

F,再分别以E、F为圆心，以大于（EF为半径作弧交于D,过P、D作直线

PD,PD交AB于0,则PD是AB的垂线，垂足为0。

如图②，以P点为圆心，以任一长为半径作弧交AB于E、F；以E、

F为圆心，以大于：EF长为半径，作弧交于C点，连结CP,则CP是AB

日勺垂线，垂足为P。

285.平行与平行线有什么关系？

平行与平行线是两个不一样的概念，它们之间又有着内在日勺联络。

平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关

系。当线与线、线与面、面与面平行时，其共同特点是没有公共点。但一

组直线平行，除了直线之间没有公共点之外，这组直线必然在同一种平面

上。一般用表达平行。

平行线日勺概念是指在同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线。

如图：

AB

CD

直线AB与CD,无论怎样把它们向两方无限地延长出去，这两条直线

是永远不会相交日勺。类似这样日勺两条直线，就是平行线。

可记作AB/7CD,读作AB平行于CD。

平行线具有如下几种性质：

（1）通过直线外一点，且只有一条直线平行于这条直线。

（2）在同一平面内，假如两条直线都平行于第三条直线，那么这两

条直线平行。

（3）两条平行线被第三条直线所截，它们日勺同位角相等。

（4）两条平行线被第三条直线所截，它们的内错角相等。

（5）两条平行线被第三条直线所截，它们的同旁内角互补。

（6）假如一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也垂直于平

行线中的另一条。

根据上述平行线日勺性质，可以对两条直线与否为平行线进行鉴定。

286.画平行线时的要点是什么？

画平行线时，一般借助日勺工具是直尺和三角板。其画法日勺要点是：先

把三角板靠在直尺上（如下图）。

把三角板顺着直尺滑动，沿着三角板的其他一边，在滑动的不一样位

置上作两条直线（如图中AB和CD）,这两条直线就是平行线。

一般状况下，需要通过直线外一点，作已知直线日勺平行线。其画法日勺

要点是：先把三角板日勺一条边靠在直线上（如图）：

三角板所靠的直线为AB,再把直尺贴在三角板的另一边上，然后再

把直尺与三角板一起沿着直线AB移动，使直尺边靠在点P上，这时，固

定住直尺，把三角板沿着直尺推到与原直线AB靠在一起日勺一边的点P上，

最终用铅笔在这条边上画一条直线CD,这样，直线CD过P点，并且与直

线AB平行。

287.长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？

回答这个问题，首先明确一下平行四边形日勺意义及其性质，才能对此

做出肯定或否认日勺鉴定。

平行四边形日勺意义是：平面上两组对边分别平行的四边形，叫做平行

四边形。

平行四边形用符号来表示。如下图：

口D___________C

根据平行四边形的意义，图中四边形ABCD的两组对边AB〃CD；AD

//BC,因此，四边形ABCD是

平行四边形。平行四边形ABCD记作。ABCD。在标记平行四边形的四

个顶点时，要用大写字母依次次序标出。

平行四边形的性质是鉴定平行四边形的重要根据。这些性质有:

(1)对边相等。即：AB=CD,AD=BCo

(2)邻角互补。即:

ZA+ZB=ZB+ZC=180°。

(3)对角相等。即：ZA=ZC；ZB=ZDo

(4)对角线互相平分。即:AO=OC；BO=ODo

根据上述意义和性质，可以对问题做出鉴定:

长方形两组对边分别平行，符合平行四边形日勺意义，也具有其性质，

因此，长方形也属于平行四边形。同步，长方形日勺四个角都是直角。

正方形自身就是特殊日勺长方形，除了四条边都相等外，具有了长方形

日勺一切特性，因此，正方形也属于平行四边形。

菱形的四条边也相等，也具有了平行四边形日勺意义和性质，因此，

也属于平行四边形。

一般状况下，为了突出自身日勺特性，上述三种图形分别叫它们为长方

形、正方形和菱形，从实质上划分，也可以说它们都是特殊的平行四边形。

288.三角形应当怎样分类？

由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形，因

此，三角形必有三条边和三个角。三角形一般用符号来表达。

三角形日勺分类措施，一般是按“角”和“边”来划分日勺，角是根据内

角日勺大小，边是根据边的长短。按内角大小来划分，可分为三类：

（1）锐角三角形：每个角都是锐角（不不小于90°）日勺三角形，叫

做锐角三角形。左图中日勺三角形日勺三个角都是锐角，因此，AABC是锐角

三角形。

c

B

（2）直角三角形：有一种内角是直角日勺三角形，叫做直角三角形。

左图中AABC的内角A是直角，因此，这个三角形是直角三角形。

（3）钝角三角形：有一种内角是钝角的三角形，叫做钝角三角形。

左图中AABC的内角A是钝角，因此，这个三角形是钝角三角形。

钝角三角形与锐角三角形日勺合称，叫做斜三角形。

假如按三角形的边日勺长短来划分，也可分为三类：

B

/

（1）不等边三角形：三条边互不相等日勺三角形，叫做不等边三角形。

左图中AABC日勺三条边互不相等，因此，这个三角形是不等边三角形。

B

A

（2）等边三角形：三条边都相等日勺三角形，叫做等边三角形。左图

中日勺AABC三条边都相等，因此，这个三角形是等边三角形。

B

（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。左图

中时ZSABC日勺两条边是相等的，即AB=BC,因此，这个三角形是等腰三角

形。

由于等边三角形ABC中，AB=BC=AC,任选两边都相等，符合等腰三角

形日勺条件，因此，等边三角形也是等腰三角形。

上述三角形分类状况如下图所示：

斜三角形任累嚣

按角分,［钝角二角形

［直角三角形

不等边三角形

按边分户要和底不等的等腰三角形

［寺股二用形I腰和底相等的等边三角形

289.什么叫做“勾股定理”？

勾股定理是有关直角三角形边与边之间日勺关系的定理，即：在直角三

角形中，两条直角边日勺平方和等于斜边日勺平方。

假如把一种直角三角形日勺两条直角边分别记为a、b,把斜边记为c,

那么它们之间的关系式是：

a2+।b12=c2

在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

如图：

C

力股A力:

幻3B

一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长日勺一条直角

边叫做“股”，斜边叫做“弦”。因此，我国古代把边与边关系所形成日勺

定理，叫做勾股定理（如图1）。

图（2）中日勺直角三角形ABC中，勾AB=3,股BC=4,弦AC=5。按照

勾股定理，所揭示三条边日勺关系为：

32+42=52

这就是我国最古日勺算书《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）

一开始就指出日勺：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形日勺三条边长都

是整数时日勺例证。

古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年一公元前497年）证明了这

个定理。因此在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。

290.怎样推导三角形的面积公式？

在认识三角形特性日勺基础上，推导出三角形日勺面积公式，既是教学日勺

自然发展，也是教学的重点。推导三角形日勺面积公式，一般有如下三种措

施：

（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形:

采用这种措施，可让学生动手实践，先准备一张长方形纸，事先量出

它日勺长和宽，并计算出面积。在课堂上，用剪刀沿长方形日勺对角线剪开,

形成两个全等的直角三角形。

如图:

宽5厘米

通过剪完后日勺观测，启发学生找出长方形日勺长相称于三角形日勺底，长

方形日勺宽相称于三角形日勺高，而长方形面积则等于两个三角形日勺面积。由

此推导出公式：

长方形面积=长乂宽

II

三角形面积=底乂高+2

同理，也可以将两个全等日勺等腰三角形转化成正方形进行推导。

（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：

这是一种一般的推导三角形面积的措施。先剪出两个全等日勺锐角三角

形，将这两个三角形一正一反地构成平行四边形。然后对照进行推导。

如图:

转化成平行四边形后，可以观测到：平行四边形的底与三角形的底同

样，平行四边形的高与三角形日勺高也同样，由于平行四边形是两个全等三

角形构成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积。由此可推导出公

式：

平行四边形面积=底乂高

II

三角形面积=底乂高+2

也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。

如图:

由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高，长方形面

积相称于两个全等三角形面积。其公式推导同（1）。

（3）将一种三角形转化成长方形:

把一个三角形的底边各9处，向上画一线，线的终端与三角形的上角的

顶点处在同一水平线上，通过割、补即可将这个三角形转化成长方形。

如图：

福

这种图形割补日勺演示措施，也可以让学生动手实践进行剪拼。

从图形割补可观测到：三角形转化为长方形后，面积大小没有任何变

化，长方形日勺长相称于三角形日勺高，长方形的宽相称于三角形底的二分之

一(已割去

两个I还剩下()。至此，用长方形面积公式即可推导出三角形的面积。

长方形面积=长X宽

II

三角形高三角形底日勺二分之一

三角形面积=高X底+2

运用互换律得：底x高+2

291.三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别？

这是三个完全不一样日勺概念。三角形的中线是指：连结三角形日勺一种

顶点和这个顶点对边日勺中点的一条线段，叫做三角形日勺一条中线。

下图中，D是BC的中点，AD则是AABC的中线。

由于三角形有三个角，也必然有三个顶点，每个顶点都可以与这个顶

点对边日勺中点连结成一条线段，因此，每个三角形有三条中线。

三角形日勺中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中

位线。

左图中，D、E分别是三角形ABC日勺边AB、AC日勺中点，在D与E之间

作一连线，则DE是4ABC的一条中位线。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的二分之一。同理，

三角形有三条中位线。

三角形日勺高线是指：从三角形的一种顶点到它日勺对边所在日勺直线作垂

线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形日勺高线。简称三角形的高。

左图中，ADLBC于D,线段AD是AABC的一条高线。同理，三角形

中有三条高线。应当注意日勺是：

（1）直角三角形中，有两条高线与直角边重叠。

（2）钝角三角形中，有两条高线在三角形之外。如图中的钝角三角

形ABC,的一种内角NC是钝角，则AD是BC边上的高线，BE是AC边上

日勺高线。但它们分别与AC、BC日勺延长线相交于三角形ABC日勺形外。

292.四边形应当怎样分类？

由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。假如没有一组对边平行日勺四

边形，就叫做任意四边形。

在小学中所波及的四边形，都是凸的四边形，即：假如延长四边形日勺

任何一边，而整个四边形都在这边延长线日勺同旁，那么这样日勺四边形就叫

做凸四边形。

四边形在教材中包括如下八种（如下图）：

从上图中可以看到这些都属于四边形的范围之内，但各自日勺名称不相

似。1是任意四边形；2是平行四边形；3是长方形；4是正方形；5是菱

形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。

假如把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类:

任意四边形

［长方形

平行四边形（正方形

四边形《

|菱形

直角梯形

悌形

等腰梯形

293.怎样认识三角形的三个内角和是180°?

三角形日勺三个内角和是180°,这是三角形内角和日勺性质。在几何初

步知识的教学中，这是一种重要日勺内容。要通过量一量、折一折、想一想

和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同步，培养和发展学生日勺推理

判断能力。

教学前，先布置课前作业，规定每个学生剪出六个三角形，即：按角

分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等

边三角形和等腰三角。形固定，但数据不做统一规定，这样剪出来日勺三角

形是大小不一日勺。

教师谈话后，先让学生量一量。如：拿出一种直角三角形，让学生量

出此外一种角的度数，并报出来，教师立即报出第三个角日勺度数，然后让

学生进行测量核算（用量角器）。如此反复多次，就可以激起学习日勺爱好

和教学中日勺悬念。在此基础上，全体学生一起动手测量自制日勺六个三角形

三个内角日勺度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样日勺三角形，

也无论它日勺边是多长和多短，它们内角和都是180°。

接着，让学生折一折，以丰富学生日勺感性认识。

措施（1）把三角形日勺三个内角沿虚线折过去，使其构成一种平角，

证明三个内角和为180°o

如图：

措施（2）先画出一种平角，再将手中日勺一种三角形的三个角撕下来,

拼在平角上，使三个角恰好构成一种平角，深入证明三角形三个内角和是

180°o

措施(3)把一种正方形沿对角线折成两个三角形，由于正方形四个

角都是直角(90°),它的内角和是360°,因此一种三角形的内角和是

180°o

从以上日勺实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念,

这是一种抽象概括、归纳总结的过程。想日勺过程要通过语言的表述进行检

查。

最终运用练一练的形式，以到达巩固概念、运用概念的目的。练习内

容要分基本型和发展型两类。

如：基本型

①求出下面每个三角形中未知角的度数。

②已知三角形中N1是45°,N2是60°,N3是多少度？发展型:

①三角形中N是62°,N2是29°,这

是一种什么三角形？

②三角形的三个内角和是180°,假如切去一种角，剩余图形的内角

和是多少度？

294.梯形怎样分类？

梯形日勺定义是：只有一组对边平行日勺四边形，叫做梯形。梯形可分为

一般梯形、直角梯形和等腰梯形三类：

（1）一般梯形：

梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，一

般上面日勺一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行日勺两条边称作

腰。

梯形底边和腰的夹角,称作梯形的底角。上底边和腰口勺夹角，称作上

底角；下底边和腰日勺夹角，称作下底角。

图中日勺NA和NB是下底角；NC和ND是上底角。

梯形上、下底之间日勺距离，叫做梯形日勺高。图中的DELAB,DE是梯

形ABCD的高。

（2）直角梯形：

D____C

AL------AB

只有一腰垂直于底边日勺梯形，叫做直角梯形。图中的ADLAB,因此,

梯形ABCD是直角梯形。

（3）等腰梯形：

DC

A三

两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如图中，AD=BC,因此，梯形ABCD

是一种等腰梯形。等腰梯形还具有如下两个性质：

①等腰梯形日勺上底角相等，下底角也相等。如图中，ZDAB=ZCBA,

ZADC=ZBCDo

②等腰梯形的对角线相等。如图中，AC=BDo

295.怎样进行梯形面积公式的推导?

梯形的面积公式是在平行四边形面积公式日勺基础上进行推导日勺。在此

之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等

梯形。铺垫性日勺准备练习后，拿出4平方厘米的测量板，用数方格的措施,

算出梯形面积是多少。（梯形面积占满8个方格，每个方格是4平方厘米,

梯形面积为32平方厘米。）

然后，让学生将事前准备好日勺两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一

起，构成一种平行四边形。提出点拔题：这个平行四边形日勺底是由梯形日勺

什么构成日勺？②怎样求出平行四边形日勺面积？③怎样求出一种梯形的面

积？

如图:

由此得出：梯形面积=（上底+下底）X高+2o

也可以用一种梯形通过割、拼日勺措施，转化成平行四边形。

如图：

下底上底

通过上图可以清晰地推导出:

梯形面积=（上底+下底）X高xg

还可以通过对一种梯形日勺割、补，使其转化为三角形，运用求三角形

面积日勺公式，对照观测，从而推导出求梯形面积日勺公式。

对转化后的图观测可知，三角形日勺底为梯形上底加下底日勺和，三角形

时高相称于本来梯形的高。由此可以推导出梯形面积公式：

三角形面积=底、x2

梯形上底+下宸wS

iI

梯形面积=（上底+下底）X高+2

在此基础上，抽象成求梯形面积口勺字母公式为:

S=（a+b）Xh4-2o

此时，可安排具有详细数字日勺求梯形面积日勺练习，以巩固对公式的运

用。

当推导求梯形面积的第二个公式时，可先让学生在自制的梯形学具

上，找出两腰的中点，画出中位线，然后把右下角剪下来，拼在右上方,

使梯形转化为平行四边形。

如图：

害IJ、补后，梯形已转化成平行四边形，面积大小未变。梯形的中位线

相称于平行四边形的底，梯形日勺高也是平行四边形的高。

平行四边形面积=长X宽

梯形中位线梯形高

梯形面积=中位线X高

用字母公式表达为：S=mXho

第二个公式除转化成平行四边形推导外，还可以转化成长方形进行推

导。

有了前面日勺推导基础，这个推导过程，应以学生自己思索为主。

由此也可以推导出梯形面积公式：

V长方形面积=长X宽

悌形手位线嬴高

梯形面积=中位线X高

296.什么叫做“圆”？

在小学数学教材中，圆是平面图形里最终出现的图形。建立圆日勺概念、

明确圆日勺各部分之间日勺关系，对于解答圆日勺周长和面积等实际问题，无疑

都是重要日勺前提条件。

圆日勺概念是：当一条线段绕着它固定日勺一端（下图中日勺0点）在平面

上旋转一周时，它的另一种端点（下图中日勺A点）所画成的封闭曲线，叫

做圆。

到了中学，圆还可以这样下定义：”平面内和一种定点日勺距离等于定

长日勺点日勺轨迹”。或者说：“平面内和一种定点日勺距离等于定长的点日勺集

合。”

定点叫做圆日勺圆心（图中的0点）；连接圆心和图上任意一点日勺线段,

叫做圆的半径（图中的0A）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的BC）；

圆所包围的平面部分，叫做圆面。

其表达符号为：圆用符号表达，以0为圆心日勺圆、记作“。0”，

读作“圆0”；半径用字母“r”表达，直径用字母“d”表达。

通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一种圆里，所有

的半径都相等，所有日勺直径都相等，直径等于半径的2倍。

其字母公式为：

d_J

R=7或d=2r。

圆是轴对称图形。即：把圆沿着它日勺任意一条直径对折，直径两边日勺

两个半圆就完全重叠在一起。通过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆

时对称轴。

如图：

圆又是中心对称图形，圆心就是它日勺对称中心。

297.什么叫轴对称和轴对称图形？

轴对称和轴对称图形是两个有联络日勺概念。轴对称是指：对于两个几

何图形，假如连结他们日勺对应点之间日勺线段均被某一定直线垂直平分，这

样日勺两个图形叫做有关这一定直线对称。也就是说，这两个图形轴对称。

这一定直线叫对称轴。

轴对称图形是指：假如一种图形有关一定直线日勺对称图形和它自身重

叠，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这一图形的对称轴。

轴对称图形并不仅限于圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形

等，也都是轴对称图形。如图：

如图中，沿着直线MN对折后，三角形ABC所有重叠到三角形A，B，

Cz上，三角形ABC与三角形AzBzC是轴对称图形，直线MN是对称

轴。

又如右上图中，四边形ABCD沿对角线对折后，对角线两旁的图形能

所有重叠，因此，四边形ABCD是以对角线AC为对称轴日勺轴对称图形。

298.什么叫中心对称和中心对称图形？

中心对称和中心对称图形，这也是两个有联络的I概念。中心

对称是指：对于两个几何图形，假如连结它们的对应点之间日勺线段日勺

中点都和某一定点重叠，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做

对称中心。

中心对称图形是指：假如绕着一种定点旋转180°后，两个图形中的

每一种可以与另一种本来的位置互相重叠，那么，这个图形叫做以这个定

点为对称中心的I中心对称图形。

如图:

图中日勺三角形A，B，L绕着定点0旋转180°后，与三角形ABC日勺

本来位置互相重叠，因此，三角形ABC与三角形k'BzC是以0点为

对称中心的I中心对称图形。

除此之外，假如一种图形绕着某一点旋转180。后，可以和本来图形

自身位置重叠，就称这个图形为中心对称图形。这一点叫做对称中心。

以平行四边形为例：

AB

图中日勺四边形ABCD是平行四边形，绕着对角线交点0旋转180。后,

可以和本来图形位置重叠，因此，平行四边形是以对角线交点0为对称中

心的中心对称图形。

299.什么是弦和弧?

弦和弧是和圆有关日勺两个概念，这两个概念是不能混淆日勺。

弦日勺概念是：对于一种圆，连结圆上任意两点日勺线段叫做弦。弦里面

包括直径，由于通过圆心日勺弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，由于''连

结圆上任意两点日勺线段”并不一定都通过圆心。

如图：

(1)(2)的图中，AB是圆0上日勺任意两点，因此，线段AB是

圆0上的一条弦。所不一样的是：图(1)中的这条兹是圆0日勺直径；图

(2)中的这条弦则不是。

弧日勺概念是：圆上任意两点间的部分，叫做圆弧，简称弧。一般意义

下，弧即指曲线，或曲线的部分。

弧用符号“八”来表达，如：以点A、B为端点的弧，记作AB,为了

3-------\

防止混淆，有时也记作AmB。见下图：

在图中，以AB为端点的弧，记作AB；以AC为端点的弧，记作AC。

对于同圆（或等圆）的两段弧，可以加以比较：通过运动，使它们日勺

圆心相重叠，两弧日勺端点也重叠，则说这两弧是相等日勺。圆日勺任一直径日勺

两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。如上图，BC是圆日勺直径，

以B、C为端点，把圆提成两个半圆。

对于圆弧，把不不小于半圆的弧，叫做劣弧，把不小于半圆的弧，叫

做优弧。

300.圆心角和圆周角同样吗？

圆心角与圆周角是两个完全不一样日勺概念，前者与圆心有关，后者与

圆弧有关。

圆心角是指：分别连结圆心到圆弧日勺两个端点所成日勺角，叫做这个圆

弧的圆心角。

在同圆（或等圆）中，假如两个圆心角相等，则该圆心角所夹日勺弧相

等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距（从圆心到弦的距离）也相等。

如图:

(1)(2)

图（1）中，NAOB日勺顶点0即为圆0日勺圆心，因此，NAOB是圆心

角。图（2）中OCLAB,0C是AB的弦心距。

圆心角日勺度数和它所对的弧的度数相等。图（1）中，NAOB的度数

=AB日勺度数。

圆周角是指：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。

对于一种圆周角，角日勺内部必然夹了一段圆弧，一般把圆周角说成是这一

弧上的I圆周角；角的外部也有一段圆弧，有时也把圆周角说成是这一弧所

含的圆周角。

如图：圆中的NBAC日勺顶点A在圆上，并且角的两边AB、AC都与圆

相交，因此，NBAC是圆0的圆周角。

圆周角日勺度数等于它所对日勺弧日勺度数的二分之一。如

图中，ZBAC=|BCO

301.什么是圆和圆的位置关系？

圆与圆之间有如下五种位置关系：

（1）外离。

两个圆没有公共点，并且每个圆上日勺点都各在另一种日勺外部时，叫做

这两个圆外离。

图中两圆的半径分别为r、R,圆心距为d,则d>r+R—外离

（其中“一”表达等价），即当d>r+R时，两圆则外离；反之，当两

圆外离时，则d>r+Ro

（2）外切。

两个圆有唯一日勺公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上日勺点都

各在另一种圆的外部时，叫做这两个圆外切。

图中日勺两圆半径分别为r、R,圆心距d,则（1寸+区外切。

（3）相交。

两个圆有两个公共点时，这两个圆叫做相交。

图中两圆半径分别为r、R,圆心距为d,贝ijR-r<d<R+r(rNr)一

相交。

(4)内切。

两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点之外，一种